柔性結(jié)構(gòu)微夾持器的分析及優(yōu)化

林 苗， 孟 剛， 盛永健， 李 巍， 曹 毅

(1. 江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 無錫 214122；2. 蘇州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215104)

微操作機(jī)器人系統(tǒng)[1]是指末端操作器在一個(gè)較小的工作空間內(nèi)進(jìn)行精度達(dá)到微米或納米級(jí)操作的系統(tǒng)，其具有結(jié)構(gòu)緊湊、運(yùn)動(dòng)精度高、分辨率高等優(yōu)點(diǎn)，適用于精密機(jī)械[2]、生物醫(yī)學(xué)[3]、光纖對(duì)接[4]等領(lǐng)域。微夾持器是微操作機(jī)器人系統(tǒng)的一種典型執(zhí)行機(jī)構(gòu)，其可以實(shí)現(xiàn)被操作對(duì)象的夾取、搬運(yùn)及釋放等作業(yè)過程，具有高精度、高可靠性等優(yōu)點(diǎn)。

目前，微夾持器的驅(qū)動(dòng)方式主要包括壓電驅(qū)動(dòng)[5]、電磁驅(qū)動(dòng)[6]、熱驅(qū)動(dòng)[7]、靜電驅(qū)動(dòng)[8]、氣驅(qū)動(dòng)[9]和形狀記憶合金驅(qū)動(dòng)[10]等。其中，壓電驅(qū)動(dòng)式微夾持器因其具有位移分辨率高和響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用，已有不少國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和理論分析開展了研究。Chen等[11]提出了一種柔順正交位移放大機(jī)構(gòu)，并以此為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)了可以兼顧緊湊性和位移放大的微夾持器；吳志剛等[12]采用Scott-Russell結(jié)構(gòu)與平行四邊形結(jié)構(gòu)串聯(lián)的結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了一種結(jié)構(gòu)緊湊、跟蹤精度高的微夾鉗；Sun等[13]采用柔性鉸鏈與柔性梁的混合結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種微夾持器，該微夾持器對(duì)不同形狀與不同尺寸的目標(biāo)均具有高精度夾持能力；楊依領(lǐng)等[14]運(yùn)用偽剛體模型分析了一種柔性微夾持器的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)性能；Lin等[15]在偽剛體模型的基礎(chǔ)上運(yùn)用鍵合圖模型推導(dǎo)了一種柔性微夾持器的狀態(tài)方程；曹毅等[16]設(shè)計(jì)了一種二自由度空間微夾持器，并考慮了鉸鏈回轉(zhuǎn)中心漂移和桿件變形對(duì)放大倍率的影響。綜上所述可知，國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)微夾持器的研究已經(jīng)取得大量成果，但不難發(fā)現(xiàn)，能夠?qū)崿F(xiàn)行程放大和末端平行輸出的微夾持器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與性能分析仍是研究的重點(diǎn)，同時(shí)此類微夾持器的參數(shù)優(yōu)化也是值得關(guān)注的一個(gè)研究方向。

基于上述，首先提出一種具有二級(jí)位移放大機(jī)構(gòu)和位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)的微夾持器；其次基于偽剛體模型推導(dǎo)了微夾持器的放大倍率、輸入剛度和固有頻率的理論模型，并通過有限元仿真驗(yàn)證理論模型的正確性；然后分析各結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)微夾持器放大倍率和固有頻率的影響靈敏度；最后運(yùn)用統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法對(duì)微夾持器的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

1 微夾持器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

微夾持器的結(jié)構(gòu)如圖1所示，包括位移放大機(jī)構(gòu)、位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)、固定基座和夾持臂，壓電驅(qū)動(dòng)器安裝在一級(jí)位移放大機(jī)構(gòu)的內(nèi)部。為了實(shí)現(xiàn)壓電驅(qū)動(dòng)器輸入位移的放大，分別選用菱形放大機(jī)構(gòu)和杠桿放大機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)一級(jí)和二級(jí)位移放大機(jī)構(gòu)。由于柔性薄板和直圓型柔性鉸鏈分別具有變形行程大和軸向漂移小的優(yōu)點(diǎn)，故將其分別引入菱形放大機(jī)構(gòu)和杠桿放大機(jī)構(gòu)，以實(shí)現(xiàn)微夾持器大行程、高精度的設(shè)計(jì)目標(biāo)。此外，為了實(shí)現(xiàn)夾持臂在x軸方向的平行輸出，基于耦合誤差抵消原理，選用兩個(gè)平行四邊形移動(dòng)副串聯(lián)的結(jié)構(gòu)以設(shè)計(jì)位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)。

圖1 微夾持器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of a micro-gripper

位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)的耦合誤差抵消原理如圖2所示，該結(jié)構(gòu)由兩個(gè)平行四邊形柔性移動(dòng)副串聯(lián)而成。由于柔性移動(dòng)副在變形時(shí)會(huì)產(chǎn)生軸向的寄生運(yùn)動(dòng)[17]，故當(dāng)輸入沿x軸方向的位移時(shí)，單個(gè)移動(dòng)副會(huì)產(chǎn)生沿y軸方向的耦合誤差(σ1和σ2)。由于兩個(gè)移動(dòng)副在結(jié)構(gòu)上是反向串聯(lián)的，故對(duì)應(yīng)產(chǎn)生的耦合誤差(σ1和σ2)的方向也是相反的，從而整個(gè)結(jié)構(gòu)的耦合誤差(σ1-σ2)將減小甚至抵消，使結(jié)構(gòu)具備x軸方向平行輸出的能力。

圖2 位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)耦合誤差抵消原理圖Fig.2 Principle diagram of coupling error cancellation for displacement guiding mechanism

圖3 微夾持器單側(cè)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)圖Fig.3 Structure parameters of one side mechanism of the micro-gripper

由于微夾持器的結(jié)構(gòu)是左右對(duì)稱的，故選取其單側(cè)結(jié)構(gòu)(如圖3所示)來描述其結(jié)構(gòu)參數(shù)。由圖3可知：一級(jí)放大機(jī)構(gòu)包括2個(gè)柔性薄板AB、CD和2個(gè)剛性構(gòu)件1、 2；二級(jí)放大機(jī)構(gòu)包括4個(gè)如圖4所示的直圓型柔性鉸鏈Hk(k=1～4)和2個(gè)剛性構(gòu)件3、4；位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)包括柔性薄板EF、GH、IJ、KM和2個(gè)剛性構(gòu)件5、6；α為柔性薄板AB、CD與y軸的夾角；l1、l2分別為二級(jí)杠桿支點(diǎn)H3與二級(jí)杠桿輸入端H2、輸出端H4之間的距離；lr、l3分別為一級(jí)放大機(jī)構(gòu)和位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)中柔性薄板的長度；l4為二級(jí)杠桿輸出端H4與位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)固定端的距離?？紤]到結(jié)構(gòu)對(duì)稱與位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)性能因素[18]，在數(shù)值上有l(wèi)4=0.5l3。

圖4 直圓型柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Schematic diagram of straight circular flexure hinge

2 微夾持器性能分析

為了深入了解微夾持器的工作特性，基于柔順機(jī)構(gòu)的理論分析方法，對(duì)微夾持器進(jìn)行靜、動(dòng)態(tài)性能分析。柔順機(jī)構(gòu)目前常見的理論分析方法主要有柔度矩陣法[19]、非線性模型法[20]和偽剛體模型法[21]。其中偽剛體模型法具有簡單、直觀的優(yōu)點(diǎn)，可以精確定性地完成微夾持器性能的理論建模。

2.1 靜態(tài)性能分析

微夾持器的輸入剛度和放大倍率是其靜態(tài)性能的重要表征。由于微夾持器在結(jié)構(gòu)上左右對(duì)稱，因此取如圖3所示的單側(cè)結(jié)構(gòu)為對(duì)象研究其靜態(tài)性能。

2.1.1 放大倍率理論模型

一級(jí)放大機(jī)構(gòu)因其結(jié)構(gòu)對(duì)稱，且下端面與固定基座相連，因此取柔性薄板AB為分析對(duì)象。當(dāng)驅(qū)動(dòng)端輸入位移xin時(shí)，柔性薄板A端的實(shí)際輸入位移為xin/2。柔性薄板AB在小變形情況(如圖5所示)下的軸向變形可忽略不計(jì)，則有：

lrcosα+xin/2=lrcosβ

(1)

lrsinα-x1=lrsinβ

(2)

式中：α、β分別為柔性薄板變形前、后與y軸的夾角；xin/2、x1分別為柔性薄板的輸入和輸出位移；lr為柔性薄板的長度。

聯(lián)立式(1)、(2)并消去β可得：

(3)

由此得到一級(jí)放大機(jī)構(gòu)的放大倍率(R1)[22]如式(4)所示。

R1=x1/(xin/2)

(4)

圖5 柔性薄板AB變形圖Fig.5 Deformation diagram of flexible sheet AB

基于偽剛體模型，假設(shè)直圓形柔性鉸鏈只發(fā)生彎曲變形而不發(fā)生拉伸或壓縮變形[23]，則柔性鉸鏈可以等效為1個(gè)扭簧和2個(gè)繞扭簧中心轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性桿。圖6表示運(yùn)用偽剛體模型簡化后的二級(jí)放大機(jī)構(gòu)的變形原理圖，當(dāng)柔性鉸鏈H1處輸入位移x1時(shí)，二級(jí)放大機(jī)構(gòu)在柔性鉸鏈H4處輸出位移x4，從而實(shí)現(xiàn)位移放大，由此得到二級(jí)放大機(jī)構(gòu)的放大倍率(R2)如式(5)所示。

R2=x4/x1=l2/l1

(5)

式中：l1、l2為杠桿臂的長度。

圖6 二級(jí)放大機(jī)構(gòu)簡化模型圖Fig.6 Simplified model diagram of the two-stage magnification mechanism

導(dǎo)向機(jī)構(gòu)僅起位移導(dǎo)向的作用，不改變微夾持器的放大倍率，根據(jù)式(4)和(5)，可得微夾持器的放大倍率(Ramp)如式(6)所示。

Ramp=R1R2

(6)

2.1.2 輸入剛度理論模型

在給定二級(jí)放大機(jī)構(gòu)中，柔性鉸鏈Hk(k=1～4)的尺寸和轉(zhuǎn)動(dòng)的角度均相同，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為k1[24]，設(shè)定作用于柔性鉸鏈Hk上的轉(zhuǎn)矩為Mk，則有：

(7)

M1=M2=M3=M4=k1θ1

(8)

式中：b、r、t分別為柔性鉸鏈的寬度、半徑和最小厚度；E為彈性模量；θ1為柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)的角度且近似有θ1=sinθ1=x4/l2， cosθ1=1。

過渡桿3和二級(jí)杠桿4的受力分析分別如圖7和8所示，由受力平衡可得：

F1=F2=F3+F4

(9)

M2+M3-M4+F4l2cosθ1-F2l1cosθ1=0

(10)

圖7 過渡桿受力分析圖Fig.7 Stress analysis diagram of transition bar

圖8 二級(jí)杠桿受力分析圖Fig.8 Stress analysis diagram of secondary lever

基于固定-導(dǎo)向偽剛體模型，柔性薄板可以看成2個(gè)扭簧(1個(gè)固定、1個(gè)自由)和1個(gè)繞固定扭簧中心轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性桿[23]，同理可以得到位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)中柔性薄板EF和KM的簡化模型如圖9所示。柔性薄板EF、KM的尺寸和轉(zhuǎn)動(dòng)的角度都相同，對(duì)應(yīng)扭簧的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為kd，則有：

(11)

式中：Id為截面慣性矩；γ和Kθ為偽剛體常量，通常取γ=0.85，Kθ=2.65；θ2為柔性薄板轉(zhuǎn)動(dòng)的角度且近似有θ2=sinθ2=x4/(2γl3)， cosθ2=1。

圖9 柔性薄板EF、KM的簡化模型圖Fig.9 Simplified model diagram of flexible thin plate EF and KM

基于固定-導(dǎo)向偽剛體模型[23]，位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)簡化后的模型如圖10所示，由構(gòu)件6在扭簧中心F處的受力平衡可得：

M4+MF+MM-γl4F4cosθ2=0

(12)

二級(jí)放大機(jī)構(gòu)的輸入剛度(K1)定義如下：

K1=F1/x1

(13)

聯(lián)立式(7)～(13)，得到K1如式(14)所示。

(14)

圖10 位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)簡化模型圖Fig.10 Simplified model of the displacement guide mechanism

同理，基于固定-導(dǎo)向偽剛體模型[23]，一級(jí)放大機(jī)構(gòu)中的柔性薄板AB的簡化受力模型如圖11所示，對(duì)應(yīng)扭簧的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度(kr)為

kr=2γKθEIr/lr

(15)

式中：Ir為截面慣性矩；γ和Kθ為偽剛體常量，通常取γ=0.85，Kθ=2.65。

由柔性薄板AB在A處受力平衡有：

F1γlrcosα+2Mr+M1=Finγlrsinα

(16)

式中：Mr=krΔα， Δα為柔性薄板AB的偏轉(zhuǎn)角。

根據(jù)虛功原理有：

Finxin/4-F1x1/2=(2Mr+M1)Δα

(17)

式中：x1為柔性薄板的輸出位移，并且x1=γlrΔαcosα。

微夾持器輸入剛度(Kin)定義如下：

Kin=Fin/xin

(18)

聯(lián)立式(14)～(18)，得到Kin如式(19)所示。

(19)

2.2 動(dòng)態(tài)性能分析

模態(tài)是機(jī)構(gòu)的固有振動(dòng)特性，提高機(jī)構(gòu)的低階模態(tài)頻率，可以降低機(jī)構(gòu)工作過程中發(fā)生共振的可能性，從而提升機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能。為深入研究微夾持器的動(dòng)態(tài)性能，需要推導(dǎo)其固有頻率的理論模型。

微夾持器的動(dòng)能(EK)可以表示為

(20)

式中：m1、m2、m5和m6分別為構(gòu)件1、 2、 5和6的質(zhì)量；J3和J4分別為構(gòu)件3和4的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

聯(lián)立式(4)～(6)、(20)，可得微夾持器的等效質(zhì)量(Me)如式(21)所示。

(21)

微夾持器的等效剛度(Ke)可以表示為

Ke=Fin/xin=Kin

(22)

基于拉格朗日方程[25]，可得微夾持器固有頻率(f)的計(jì)算式如式(23)所示。

(23)

2.3 微夾持器的有限元分析及驗(yàn)證

為驗(yàn)證微夾持器放大倍率、輸入剛度和固有頻率理論模型的正確性，采用ABAQUS軟件對(duì)微夾持器進(jìn)行有限元仿真，選擇AL 7075為微夾持器的材料，其彈性模量E=71 GPa，泊松比υ=0.33，密度ρ=2 810 kg/m3，屈服極限[sy]=455 MPa。該微夾持器結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)如表1所示。

表1 微夾持器結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)

對(duì)微夾持器的固定基座添加固定約束，并采用四面體單元對(duì)微夾持器進(jìn)行網(wǎng)格劃分，柔性薄板和柔性鉸鏈處網(wǎng)格尺寸為1 mm，其余部分網(wǎng)格尺寸為5 mm，以提高有限元分析的速度和準(zhǔn)確性。

2.3.1 放大倍率模型的有限元驗(yàn)證

微夾持器的驅(qū)動(dòng)面受到輸入位移xin作用時(shí)，夾持臂末端輸出位移xout與xin的關(guān)系如式(24)所示。

xout=Ramp(xin/2)

(24)

微夾持器位移仿真圖如圖12所示。取微夾持器末端的面中心為參考點(diǎn)，在微夾持器的驅(qū)動(dòng)面施加0～0.10 mm的位移，得到相應(yīng)的微夾持器放大倍率有限元仿真值如表2所示。

由式(3)～(6)表明，微夾持器放大倍率的理論值會(huì)隨著輸入位移xin的變化而變化。當(dāng)xin取0～0.10 mm時(shí)，將表1中結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)代入式(3)～(6)得到微夾持器放大倍率的理論值如表2所示。

由表2可知，當(dāng)微夾持器輸入位移為0～0.10 mm時(shí)，其放大倍率的仿真值與理論值的相對(duì)誤差絕對(duì)值均小于5.5%。由此證明了放大倍率理論模型的正確性。

圖12 微夾持器位移仿真圖Fig.12 Simulation diagram of displacement for the micro-gripper

表2 微夾持器放大倍率的仿真值、理論值及相對(duì)誤差

2.3.2 輸入剛度模型的有限元驗(yàn)證

微夾持器的驅(qū)動(dòng)面受到輸入位移xin作用時(shí)，輸入力Fin與xin的關(guān)系如式(25)所示。

Fin=Kinxin

(25)

將表1中結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)代入式(19)得微夾持器輸入剛度理論值Kin=768.44 N/mm。

微夾持器輸入剛度仿真圖如圖13所示。

圖13 微夾持器輸入剛度仿真圖Fig.13 Simulation diagram of input stiffness for the micro-gripper

取微夾持器驅(qū)動(dòng)端的面中心為參考點(diǎn)，在參考點(diǎn)施加沿y軸方向0.10 mm的位移，得到的反作用力為80.057 N，進(jìn)而計(jì)算得到微夾持器輸入剛度的仿真值為800.57 N/mm。

分析數(shù)據(jù)可知，微夾持器輸入剛度仿真值與理論值的相對(duì)誤差為-4.2%，吻合度較高。由此證明微夾持器輸入剛度理論模型的正確性。

2.3.3 固有頻率模型的有限元驗(yàn)證

將表1中結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)代入式(23)可得微夾持器固有頻率理論值f=42.73 Hz。

對(duì)微夾持器進(jìn)行有限元模態(tài)分析，得到如圖14所示的一階模態(tài)振型。微夾持器固有頻率的有限元仿真值為41.55 Hz，仿真值與理論值的相對(duì)誤差為2.8%，這也驗(yàn)證了固有頻率理論模型的正確性。

圖14 微夾持器的一階模態(tài)振型Fig.14 First mode shape of micro-gripper

2.3.4 微夾持器平行輸出性能的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證微夾持器的平行輸出性能，定義微夾持器輸出端的耦合誤差率(ε)如式(26)所示。

(26)

式中：xout和yout分別為微夾持器輸出端參考點(diǎn)沿x軸和y軸的輸出位移。

同樣采用2.3.1節(jié)中圖12的有限元實(shí)例，取微夾持器末端的面中心為參考點(diǎn)，在微夾持器的驅(qū)動(dòng)面輸入0～0.10 mm的位移，得到參考點(diǎn)的輸出位移xout與yout如表3所示。

表3 微夾持器的耦合誤差仿真結(jié)果

由表3可知，當(dāng)微夾持器的輸入位移為0～0.10 mm時(shí)，其耦合誤差率均小于0.80%。因此，可以認(rèn)為微夾持器完全平行輸出，這也證明微夾持器具有良好的平行輸出性能。

3 微夾持器結(jié)構(gòu)參數(shù)靈敏度分析

微夾持器的放大倍率(Ramp)是靜態(tài)性能的表征，其固有頻率(f)是動(dòng)態(tài)性能的表征。若要設(shè)計(jì)滿足性能要求的微夾持器，需要對(duì)微夾持器進(jìn)行尺寸優(yōu)化以提升Ramp和f。由式(6)、(19)和(23)可知，僅憑公式難以精確定性地分析各結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)Ramp和f的影響，故有必要確定各結(jié)構(gòu)參數(shù)與Ramp和f的靈敏度關(guān)系，為微夾持器的尺寸優(yōu)化提供依據(jù)。

同樣采用AL 7075作為微夾持器的材料，由圖3和4可知，對(duì)微夾持器的Ramp和f有影響的主要因素包括lr、α、l1、l2、l3、b、r和t?；谒茖?dǎo)Ramp和f的理論模型，利用MATLAB軟件，通過編寫分析程序，可以得到各結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)Ramp和f的影響如圖15(a)～(h)所示。

(a) 放大倍率和固有頻率與lr的關(guān)系曲線

(b) 放大倍率和固有頻率與α的關(guān)系曲線

(c) 放大倍率和固有頻率與l1的關(guān)系曲線

(d) 放大倍率和固有頻率與l2的關(guān)系曲線

(e) 放大倍率和固有頻率與l3的關(guān)系曲線

(f) 放大倍率和固有頻率與b關(guān)系曲線

(g) 放大倍率和固有頻率與r關(guān)系曲線

(h) 放大倍率和固有頻率與t關(guān)系曲線

由圖15分析可知：

(1)Ramp與lr呈小幅度曲線遞增且靈敏度不是很明顯，而f與lr呈小幅度曲線遞減；

(2)Ramp與α呈曲線遞減且減幅逐漸減小，而f與α呈小幅度曲線遞減；

(3)Ramp與l1呈曲線遞減，且減幅很大，而f與l1呈小幅度曲線遞增；

(4)Ramp與l2呈曲線遞增，且增幅很大，f與l2呈曲線遞減；

(5)Ramp與l3靈敏度不明顯，而f與l3呈小幅度曲線遞減；

(6)Ramp與b靈敏度不明顯，而f與b呈曲線遞增，且增幅很大；

(7)Ramp與r靈敏度不明顯，而f與r呈曲線遞減；

(8)Ramp與t靈敏度不明顯，而f與t呈曲線遞增，且增幅很大。

比較圖15可以發(fā)現(xiàn)：l1、l2和α對(duì)Ramp的影響靈敏度較大，lr、l3、b、r和t對(duì)Ramp無明顯影響；b和t對(duì)f的影響靈敏度較大，lr、α、l2、l3和r對(duì)f的影響次之，l1對(duì)f無明顯影響。

4 微夾持器優(yōu)化模型

4.1 設(shè)計(jì)變量確定

基于上述分析可知，影響微夾持器的Ramp的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)有α、l1和l2，影響f的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)有l(wèi)r、α、l2、l3、b、r和t，故取優(yōu)化模型的設(shè)計(jì)變量為

X=[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8]T=

[lr，α，l1，l2，l3，b，r，t]T

(27)

4.2 目標(biāo)函數(shù)建立

優(yōu)化微夾持器時(shí)，應(yīng)當(dāng)盡量同時(shí)增大微夾持器的Ramp和f。上述兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)可以表示為

(28)

為了解決上述兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)間的不可共度性和矛盾性[26]，基于統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法，將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，其目標(biāo)函數(shù)為

(29)

式中：w1、w2為本征權(quán)，反映了各子優(yōu)化目標(biāo)的重要程度，且w1+w2=1；β1、β2為校正權(quán)，用于調(diào)整各子優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)量級(jí)和量綱。

β1、β2取單一優(yōu)化目標(biāo)f1(X)和f2(X)在優(yōu)化模型中的極值，即

β1=f1(X)min，β2=f2(X)min

(30)

4.3 約束條件設(shè)定

尺寸邊界約束如式(31)所示。

XL≤X≤XU

(31)

式中：XL和XU分別為設(shè)計(jì)變量X的上、下限值。

直圓型柔性鉸鏈Hk易出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，需校核其最大彎曲正應(yīng)力(σmax)。由此可得應(yīng)力強(qiáng)度約束如式(32)所示。

(32)

式中：Ak為柔性鉸鏈最薄處的橫截面積；Wk為抗彎截面系數(shù)；[σ]為許用正應(yīng)力。

4.4 優(yōu)化算例分析及比較

為驗(yàn)證上述優(yōu)化模型的有效性，根據(jù)文獻(xiàn)[14]中微夾持器各結(jié)構(gòu)尺寸，定義優(yōu)化前的微夾持器的尺寸值：lr=32.25 mm，α=0.125 rad，l1=35 mm，l2=70 mm，l3=40 mm，b=10 mm，r=5 mm，t=0.5 mm。定義優(yōu)化模型的設(shè)計(jì)變量范圍為

XL=[25， 0.088， 25， 65， 35， 8， 4， 0.4]T，XU=[35， 0.698， 35， 80， 45， 12， 6， 0.6]T

(33)

Ramp和f在優(yōu)化模型中的重要性相同，因此取本征權(quán)系數(shù)w1=w2=0.5?；趦?yōu)化模型中設(shè)計(jì)變量上、下限值和約束條件，求得校正權(quán)系數(shù)β1=0.038 0，β2=0.014 8。利用基于罰函數(shù)的粒子群算法[27]對(duì)微夾持器的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)參數(shù)。優(yōu)化后設(shè)計(jì)變量的具體值為

X=[28.1， 0.088， 35， 76.2， 36.6， 12， 6， 0.6]T

(34)

優(yōu)化前后微夾持器的放大倍率與固有頻率如表4所示。由表4可知，優(yōu)化后微夾持器的放大倍率和固有頻率均有較大提升，優(yōu)化結(jié)果與預(yù)期相符。

表4 優(yōu)化前后的微夾持器性能對(duì)比

5 結(jié) 語

(1) 設(shè)計(jì)一種能夠?qū)崿F(xiàn)行程放大和末端平行輸出的壓電驅(qū)動(dòng)微夾持器，并基于偽剛體模型法建立了微夾持器放大倍率、輸入剛度和固有頻率的理論模型。

(2) 通過有限元實(shí)例驗(yàn)證所推導(dǎo)微夾持器理論模型的正確性，仿真結(jié)果表明，微夾持器具有良好的平行輸出性能且有效解決壓電陶瓷輸出行程有限的問題，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具備有效性。

(3) 分析微夾持器的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其性能的影響靈敏度，并基于靈敏度分析結(jié)果，建立微夾持器的參數(shù)優(yōu)化模型，并采用統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法對(duì)微夾持器的各結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)加權(quán)優(yōu)化。優(yōu)化結(jié)果表明，微夾持器的放大倍率提升了47.01%，固有頻率提升了36.02%，優(yōu)化模型具備可行性。