含多間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模與特性分析

王 航， 鄭雪山， 周 挺， 張國興， 侯雨雷， 曾達(dá)幸

(1.浙江萬里學(xué)院 信息與智能工程學(xué)院， 寧波315100; 2.燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 秦皇島 066004; 3.東莞理工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院， 東莞 523000)

0 引 言

復(fù)雜多變環(huán)境對(duì)機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)行品質(zhì)提出了越來越高的要求[1]。間隙的存在使得高端裝備動(dòng)力學(xué)模型呈現(xiàn)出高度非線性，非線性系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化會(huì)導(dǎo)致混沌現(xiàn)象。含有混沌運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)是一類具有初值敏感性和遍歷性，看似無法預(yù)測，但是不收斂和不回歸的非周期系統(tǒng)[2]。

伴隨混沌現(xiàn)象與混沌理論的發(fā)展，混沌特性分析已成為熱點(diǎn)研究問題[3-4]。Gogu等應(yīng)用混沌特性對(duì)間隙問題進(jìn)行研究，研究了其動(dòng)力學(xué)模型[5-6]。此后，研究人員圍繞這類機(jī)構(gòu)性能分析、非線性特性、系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立以及機(jī)構(gòu)驗(yàn)證等方面作了大量深入探究。鐘順等建立充液飛行器多頻動(dòng)作狀態(tài)時(shí)燃料液體的晃動(dòng)規(guī)律，獲得系統(tǒng)多組參數(shù)時(shí)次諧分岔和異宿分岔的數(shù)值特性，明確了混沌運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象產(chǎn)生的機(jī)理[7]。梁山等研究了具有非線性的2自由度1/4汽車懸架模型在路面不平度激勵(lì)下發(fā)生的混沌振動(dòng)，仿真和實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果揭示了系統(tǒng)發(fā)生混沌振動(dòng)的可能性[8]。馬洪濤等研究了在一定的扭矩作用下，隨著轉(zhuǎn)速的增大，行星換向機(jī)構(gòu)最終由周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)突變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)狀態(tài)[9]。文獻(xiàn)[10]針對(duì)雙級(jí)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，依據(jù)相空間軌跡以及分岔圖的方法探究系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)規(guī)律，研究結(jié)果說明系統(tǒng)正常工作模型應(yīng)符合周期運(yùn)動(dòng)規(guī)律。茍向鋒探究了齒側(cè)的間隙值改變對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)性能的影響，發(fā)現(xiàn)多組激勵(lì)頻率時(shí)系統(tǒng)能產(chǎn)生Hofp分岔現(xiàn)象[11]。孫濤等建立發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，研究了外轉(zhuǎn)子發(fā)生突加不平衡故障后引起的轉(zhuǎn)子動(dòng)靜碰摩對(duì)于對(duì)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子響應(yīng)的影響，分析了對(duì)轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔與混沌現(xiàn)象[12]。

曲柄滑塊機(jī)構(gòu)可將旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變成平移運(yùn)動(dòng)，在傳統(tǒng)機(jī)械、航空航天和機(jī)器人等領(lǐng)域都使用曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，研究含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題具有普遍意義。本文以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，考慮多組運(yùn)動(dòng)副間隙，構(gòu)建了含多組間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性方程，分析發(fā)生間隙條件下機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)變化特性，研究間隙的數(shù)目、大小和位置對(duì)機(jī)構(gòu)存在的混沌特性的作用規(guī)律，并辨識(shí)了機(jī)構(gòu)的混沌現(xiàn)象。

1 含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙描述

運(yùn)動(dòng)副構(gòu)成元素間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可分為自由運(yùn)動(dòng)、接觸運(yùn)動(dòng)和撞擊，如圖1所示。接觸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，軸與軸套不發(fā)生分離，在慣性力和摩擦力一起作用時(shí)，伴隨軸套和軸的分離轉(zhuǎn)變?yōu)樽杂蛇\(yùn)動(dòng)狀態(tài)。自由狀態(tài)下，軸在軸套所限制的區(qū)域內(nèi)作自由運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)副元素間沒有力作用。自由運(yùn)動(dòng)情形完結(jié)后，構(gòu)成運(yùn)動(dòng)副的元素產(chǎn)生撞擊而進(jìn)入撞擊狀態(tài)。撞擊狀態(tài)完成后，軸的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)往往難以辨別，與撞擊之前的恢復(fù)力參數(shù)、速率以及撞擊完結(jié)后速率等方面有關(guān)聯(lián)。

圖1 含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

(1)

式中單位矢量n表示成：

n=e/e

(2)

(3)

將式(3)兩邊進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，可獲得撞擊點(diǎn)的速度為：

(4)

依據(jù)投影規(guī)律能夠獲取撞擊點(diǎn)對(duì)于本身所在平面的切向速率vt與法向速率vn,可表示為：

(5)

撞擊環(huán)節(jié)運(yùn)動(dòng)副構(gòu)成元素的極大嵌入深度數(shù)值為：

δ=e-c

(6)

式中c表示間隙尺寸的數(shù)值，數(shù)值為：

c=Rj-Ri

(7)

式(7)的物理意義表示運(yùn)動(dòng)副構(gòu)成元素半徑之間的差值。當(dāng)δ值不小于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)副構(gòu)成元素處在相互接觸環(huán)節(jié)；當(dāng)δ不大于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)副構(gòu)成元素處于自由狀態(tài)；當(dāng)δ等于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)副構(gòu)成元素之間產(chǎn)生撞擊。

1.2 間隙鉸鏈接觸力模型

L-N模型既涉及撞擊時(shí)產(chǎn)生的能量耗散，又考慮撞擊體的材料性質(zhì)、局部彈性形變和撞擊速度等信息，普遍應(yīng)用于具有間隙機(jī)構(gòu)的研究中[14]。此模型將運(yùn)動(dòng)副構(gòu)成元素間撞擊環(huán)節(jié)的能量耗散、構(gòu)成運(yùn)動(dòng)副元素的材料性質(zhì)、構(gòu)成運(yùn)動(dòng)副元素的彈性形變、撞擊發(fā)生前各組構(gòu)成元素速率等因素整合起來。其接觸力模型的計(jì)算方程為:

(8)

剛度系數(shù)K的方程為：

(9)

(10)

(11)

式中：R1和R2為運(yùn)動(dòng)副構(gòu)成元素的半徑；δ1和δ2為運(yùn)動(dòng)副構(gòu)成元素的等效彈性模量；υ1和υ2為泊松比；E1和E2為楊氏模量。

阻尼系數(shù)D的表達(dá)式為：

D=μδn

(12)

式中μ為滯后系數(shù)，計(jì)算公式為：

(13)

0≤ec≤1

(14)

在運(yùn)動(dòng)副構(gòu)成元素完全彈性撞擊情形下，ec取值為0；運(yùn)動(dòng)副構(gòu)成元素在完全非彈性撞擊情形下，ec取值為1。

由式(12)和式(13)可得：

(15)

因此，式(8)可表示為：

(16)

運(yùn)動(dòng)副構(gòu)成元素之間是否發(fā)生撞擊可以根據(jù)嵌入值δ的大小來分析，條件為：

(17)

當(dāng)構(gòu)成運(yùn)動(dòng)副元素互相存有接觸情形時(shí)，處于碰撞范圍出現(xiàn)撞擊力作用。這組力的數(shù)值依據(jù)L-N模型求解，可表示為：

(18)

1.3 含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

(19)

進(jìn)而有：

(20)

圖3 含多間隙的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)示意圖

圖4 含多間隙的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)矢量圖

根據(jù)圖4計(jì)算各構(gòu)件質(zhì)心的坐標(biāo)位置，以矩陣形式表示為：

(21)

對(duì)式(20)兩邊求導(dǎo)，可得：

(22)

由于間隙值

變化很小，忽略上式高階項(xiàng)，展開余項(xiàng)為：

(23)

對(duì)式(21)兩邊求導(dǎo)，可得各構(gòu)件質(zhì)心線速度：

(24)

對(duì)式(23)兩邊求導(dǎo)，可得連桿角加速度：

(25)

對(duì)式(24)兩邊求導(dǎo)，可得各構(gòu)件質(zhì)心加速度：

(26)

通過具有間隙平面多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析，軸處于軸承中像異的運(yùn)動(dòng)情形具有分階段函數(shù)的屬性，能夠?qū)⑤S和軸承的運(yùn)動(dòng)屬性一并展現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)方程之中。當(dāng)軸與軸承處在相互分離情形時(shí)，軸處于自由運(yùn)動(dòng)的情形；當(dāng)軸承與軸處于接觸情形時(shí)，軸受到軸承的約束力作用而處于約束運(yùn)動(dòng)中。因此，具有間隙的多剛體體系的運(yùn)動(dòng)情形，伴隨軸與軸承接觸狀態(tài)的變化。假定具有間隙平面多剛體體系有m組運(yùn)動(dòng)副與n組零部件，開始構(gòu)建多組構(gòu)件運(yùn)動(dòng)學(xué)的表達(dá)式，便于依據(jù)拉格朗日乘子法,列寫包含運(yùn)動(dòng)約束的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

平面多剛體體系里各個(gè)構(gòu)件的質(zhì)心位置表示成(x，y)T,構(gòu)件的方位角表示成(φ，ω)，則第i個(gè)構(gòu)件的廣義坐標(biāo)為：

qi=[x,y,φ,ω]T

(27)

系統(tǒng)n個(gè)構(gòu)件的廣義坐標(biāo)為：

q=[q1,q2,…,qn]T

(28)

第i個(gè)構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)約束方程矢量為：

Φi=[x,y,f,ω,t]T

(29)

系統(tǒng)的約束方程為：

Φ(q,t)=[Φ1,Φ2,…,Φn]

(30)

在間隙內(nèi)部引入等效接觸力后，系統(tǒng)包含拉格朗日乘子的動(dòng)力學(xué)公式表示為：

(31)

當(dāng)間隙內(nèi)部發(fā)生撞擊時(shí)，引入單位階躍函數(shù)s(δ)，其表達(dá)式為：

(32)

撞擊力大小為：

F=s(δ)(Fn+Ft)

(33)

在間隙內(nèi)部引入等效接觸力后，系統(tǒng)方程最終形式為：

(34)

2 間隙參數(shù)變化對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)影響仿真

選定機(jī)構(gòu)各個(gè)構(gòu)件材料為45鋼，其相關(guān)參數(shù)如表1所示。在動(dòng)力學(xué)仿真中，設(shè)定滑塊和連桿之間的轉(zhuǎn)動(dòng)副C處存在間隙，選取求解兩組周期作為輸出項(xiàng)，分別求取間隙半徑為0.3、0.5和1.5 mm時(shí)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)結(jié)果。仿真參數(shù)如表2所示，角速度ω=20π rad·s-1。

表1 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)各構(gòu)件幾何參數(shù)和質(zhì)量特性

對(duì)含C處間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，運(yùn)動(dòng)副構(gòu)成元素的相和軸心運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5所示，考慮1.5 mm間隙情形時(shí)的數(shù)據(jù)，位移和速度龐加萊截面圖如圖6所示。

(a) 間隙0.3 mm X軸相軌跡

(d) 間隙0.5 mm Y方向相軌跡

(g) 間隙0.3 mm軸心軌跡圖

表2 含C處間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真參數(shù)

由圖5(a)和圖5(c)可以看出，間隙尺寸為0.3和0.5 mm時(shí)，間隙之間X軸的相軌跡曲線變化偏小，整體形態(tài)總體不會(huì)發(fā)生改變；圖5(b)和圖5(d)顯示，間隙尺寸為0.3和0.5 mm時(shí)，間隙內(nèi)部Y軸的相軌跡改變較為顯著，伴隨間隙值升高，Y軸的混亂情形更加顯著。

由圖5(g)和圖5(h)可以看出，間隙尺寸為0.3與0.5 mm時(shí)，軸心軌跡基本一樣且均產(chǎn)生撞擊聚集；由圖5(a)、圖5(c)和圖5(e)可以看出，間隙尺寸為某一值時(shí)，間隙內(nèi)部X軸相軌跡將發(fā)生突變，其中圖5(e)相軌跡中顯現(xiàn)兩組相接近的“吸引子”的聚集區(qū)域；由圖5(b)、圖5(d)和圖5(f)可以看出，間隙值到達(dá)特定時(shí)間隙內(nèi)部Y軸的相軌跡同時(shí)也會(huì)產(chǎn)生突變，其中圖5(e)相軌跡中Y軸的混亂程度更加明顯，整體結(jié)構(gòu)更加發(fā)散。

由圖6(a)和圖6(b)可以看出，間隙之間X軸與Y軸上的龐加萊截面均展現(xiàn)散點(diǎn)形態(tài)，X軸上的點(diǎn)出現(xiàn)顯著的聚集形態(tài)，Y軸上的點(diǎn)愈加的分散，進(jìn)一步證實(shí)了間隙內(nèi)部Y軸的混亂程度比X軸的混亂程度顯著。由圖5(e)和圖5(f)可以看出，由于圖5(e)相軌跡中出現(xiàn)兩個(gè)類似“吸引子”的集中區(qū)域，相軌跡約束能力顯著。三組間隙情形時(shí)Y軸相內(nèi)部一直沒有發(fā)生“吸引子”的聚集區(qū)域，伴隨間隙值加大，X軸的相軌跡發(fā)生分岔形態(tài)后,最終致使相軌跡發(fā)生突變形態(tài)。

(a) X方向龐加萊截面

在Adams模型中，B、C處添加代表軸和軸套的兩個(gè)半徑不同的球體，取0.3 mm的半徑差體現(xiàn)間隙，分析多間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)行為，仿真分析的結(jié)果如圖7所示。由圖7(a)和圖7(b)對(duì)比可知，B、C間隙內(nèi)部在X方向能發(fā)生兩個(gè)“吸引子”，B處“吸引子”比C處“吸引子”的吸引作用顯著，B間隙X方向內(nèi)部相軌跡規(guī)則更強(qiáng)，C間隙X方向內(nèi)部散亂程度愈加凸顯。由圖7(c)和圖7(d)對(duì)比可知，B、C間隙之間在Y方向出現(xiàn)的“吸引子”數(shù)目相異；由圖7(c)可以看出，B間隙Y方向出現(xiàn)距離相較接近的三組“吸引子”，對(duì)相的束縛能力更顯著，據(jù)此B間隙的Y方向上相軌跡較為規(guī)律；由圖7(d)可以看出，C間隙Y方向出現(xiàn)一個(gè)“吸引子”，且這組“吸引子”對(duì)相的束縛性能相比B間隙處更小，與B間隙作比較，C間隙Y方向的相軌跡更加發(fā)散。

由圖7(e)和圖7(f)對(duì)比可知，C間隙之間的軸心間軌跡規(guī)律性比B間隙之間的軸心間軌跡更弱，B間隙兩者間的軸心撞擊點(diǎn)集中在軸心的兩側(cè)，而B間隙兩者間的軸心撞擊點(diǎn)大多數(shù)散布在軸心四周。B間隙內(nèi)部撞擊更加聚集，C間隙內(nèi)部的撞擊分散程度更高。由圖7(g)可以看出，C處的撞擊力對(duì)比B處的撞擊力更高，表明C處的混亂程度高與其內(nèi)部的撞擊力大小存在重要關(guān)聯(lián)?？梢钥闯?，多組間隙情形時(shí)，間隙之間展現(xiàn)劇烈的非線性形態(tài)。間隙值為0.3 mm時(shí)，B處的混亂狀態(tài)較C處減小更多，C處的撞擊力比B處更強(qiáng)，表明遠(yuǎn)離驅(qū)動(dòng)副的鉸鏈之間混亂程度更加顯著。

(a) B間隙X軸相軌跡

(d) C間隙Y軸相軌跡

(e) B間隙軸心軌跡圖

(f) C間隙軸心軌跡圖

(g) B以及C間隙的撞擊力

(h) 滑塊的速度曲線

(i) 滑塊的加速度曲線

(j) 滑塊移動(dòng)曲線

在Adams模型中，依次解算B與C處間隙半徑等于0.2、0.3及0.5 mm情形時(shí)的動(dòng)力學(xué)影響結(jié)果?；瑝K的輸出響應(yīng)如圖8所示。由圖8(a)、圖8(b)與圖7(j)對(duì)比可知，間隙分別位于B、C處和同時(shí)位于B、C處時(shí)，滑塊位移變化不大。說明間隙的位置與數(shù)目對(duì)滑塊的位移輸出影響不大。由圖8(c)、圖8(d)與圖7(h)對(duì)比可知，含C處間隙滑塊速度曲線出現(xiàn)的波動(dòng)比含B處間隙強(qiáng)烈；含多間隙滑塊速度曲線出現(xiàn)波動(dòng)比含單間隙強(qiáng)烈。說明間隙的位置與數(shù)目對(duì)滑塊的速度輸出有較大影響。由圖8(e)、圖8(f)與圖7(i)對(duì)比可知，含C處間隙滑塊加速度曲線出現(xiàn)的波動(dòng)比含B處間隙強(qiáng)烈；含多間隙滑塊加速度曲線出現(xiàn)波動(dòng)比含單間隙強(qiáng)烈。說明間隙的位置與數(shù)目對(duì)滑塊的加速度輸出有較大影響。

3 含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)混沌現(xiàn)象辨識(shí)

根據(jù)定量法(李雅普諾夫指數(shù))和定性法(龐加萊映射法)對(duì)間隙值為0.3mm的多間隙曲柄滑塊系統(tǒng)的混沌特性開展了研究。含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的龐加萊截面如圖9所示?？梢钥闯觯瑱C(jī)構(gòu)龐加萊截面的各點(diǎn)相互不重復(fù)，各組點(diǎn)的散布圖表明該系統(tǒng)無周期性的解，表明系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)形態(tài)，證明兩組間隙Y方向分量的混亂程度愈發(fā)顯著。

(a) B處間隙滑塊位移圖形

(b) C處間隙滑塊位移圖形

(c) B處間隙滑塊速度圖形

(d) C處間隙滑塊速度圖形

(e) B處間隙滑塊加速度圖形

(f) C處間隙滑塊加速度圖形

(a) B間隙X軸龐加萊截面

(b) C間隙X軸龐加萊截面

(c) B間隙Y軸龐加萊截面

(d) C間隙Y軸龐加萊截面

圖10 B與C處Y軸分量的最大李雅普諾夫指數(shù)Fig.10 Maximum lyapunov exponent of Y axis components at B and C

選取間隙B與間隙C處的軸心沿Y向位移數(shù)據(jù)予以分析，B與C處Y軸分量的最大李雅普諾夫指數(shù)如圖10所示。橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示發(fā)散情況，選取曲線上升的穩(wěn)態(tài)環(huán)節(jié)，對(duì)穩(wěn)態(tài)環(huán)節(jié)的直線傾斜情況展開擬合操作，獲知曲線的擬合斜率為5.22和2.94,最大李雅普諾夫指數(shù)均大于0。

由最大李雅普諾夫指數(shù)分析法再次驗(yàn)證了曲柄滑塊系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)副之間發(fā)生的混沌現(xiàn)象；同時(shí)表明同一機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)副間隙大小相同、位置不同情況下，撞擊力、軸心軌跡和混沌運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)度不同。仿真數(shù)據(jù)的龐加萊映射及系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)說明，機(jī)構(gòu)已經(jīng)處于混沌狀態(tài)，與含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為所表現(xiàn)出的非周期特性相吻合。

4 結(jié) 論

分析了多間隙情況下曲柄滑塊機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副內(nèi)部的動(dòng)力學(xué)行為，進(jìn)一步證明間隙處的方位是致使機(jī)構(gòu)發(fā)生激烈非線性以及混沌運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵因素，以及當(dāng)間隙值相同時(shí)，間隙的數(shù)目會(huì)決定系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性。曲柄滑塊系統(tǒng)隨間隙值增加滑塊速度和加速度波動(dòng)量均增加；含C處間隙滑塊加速度曲線出現(xiàn)的波動(dòng)比含B處間隙強(qiáng)烈；含多間隙滑塊加速度曲線出現(xiàn)波動(dòng)比含單間隙強(qiáng)烈。針對(duì)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的研究表明，不論處于單個(gè)間隙式是多個(gè)間隙情形時(shí)，與驅(qū)動(dòng)副較遠(yuǎn)的運(yùn)動(dòng)副的非線性特性愈發(fā)顯著，這組運(yùn)動(dòng)副內(nèi)部更易發(fā)生撞擊區(qū)域聚集現(xiàn)象。