基于ADAMS的6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化研究*

鄭江濤,田大鵬*,高志良

(1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,吉林 長春 130033; 2.中國科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

0 引 言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、剛度高、動態(tài)響應(yīng)快等優(yōu)點(diǎn),在先進(jìn)制造裝備、生物醫(yī)學(xué)裝置、航空航天運(yùn)動模擬等領(lǐng)域的應(yīng)用已取得了巨大的成功[1-3]。然而,并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能與它的結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān),當(dāng)其結(jié)構(gòu)參數(shù)選擇不太合適時,并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動性能可能會很差。

因此,許多研究者一直致力于并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能的優(yōu)化研究。最常用的優(yōu)化方法大致可以分為兩類:(1)基于目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化方法;(2)基于性能圖譜的優(yōu)化方法。

目標(biāo)函數(shù)法的原理是:首先,根據(jù)優(yōu)化指標(biāo)建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件;然后,使用算法搜索優(yōu)化結(jié)果。文獻(xiàn)[4]采用了窮盡搜索最小化算法,將并聯(lián)機(jī)構(gòu)可操作性和工作空間大小的度量結(jié)合起來,并通過運(yùn)動學(xué)優(yōu)化過程得出了可操作性和空間利用率之間的最佳折衷設(shè)計。文獻(xiàn)[5]在考慮了關(guān)節(jié)限制和連桿干涉的約束條件下,采用隨機(jī)搜索算法對Delta機(jī)器人和Gough-Stewart平臺進(jìn)行了優(yōu)化,找到了使有效規(guī)則工作空間最大化的機(jī)械手幾何結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[6]以運(yùn)動學(xué)雅克比矩陣的條件數(shù)和可操作度作為目標(biāo)函數(shù),采用了多目標(biāo)進(jìn)化算法NSGA-II對六自由度運(yùn)動模擬平臺進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[7]以雅可比矩陣的性能指標(biāo)條件數(shù)、剛度、速度極值作為目標(biāo)函數(shù),采用了罰函數(shù)法處理約束條件,提出了性能分類的方式作為多目標(biāo)優(yōu)化的準(zhǔn)則,最后利用遺傳算法進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化。

該方法多用于參數(shù)變量較多,且目標(biāo)函數(shù)過于復(fù)雜的情況。

基于性能圖譜的優(yōu)化設(shè)計方法的關(guān)鍵是:在一個有限的區(qū)域內(nèi)表達(dá)出機(jī)構(gòu)的性能與尺寸的關(guān)系,進(jìn)而得到機(jī)構(gòu)的性能圖譜。文獻(xiàn)[8]利用這種方法對3PRS機(jī)構(gòu)和二自由度球面5R并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化,使其在工作空間內(nèi)有較好的運(yùn)動和力傳遞性能。文獻(xiàn)[9]建立了3-RUU微動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺寸型模型,并根據(jù)尺寸型模型及定義的性能指標(biāo)繪制了反映機(jī)構(gòu)性能與尺寸參數(shù)關(guān)系的性能圖譜。文獻(xiàn)[10]采用了綜合性能圖譜法結(jié)合主成分分析法,對5-PSS/UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化。

該方法可以在一個有限的設(shè)計空間內(nèi)直觀地表達(dá)出設(shè)計指標(biāo)和相關(guān)設(shè)計參數(shù)的關(guān)系,但存在的最大問題是:當(dāng)需要優(yōu)化的特征參數(shù)較多時,不能在一個有限的空間中完整地表示出其性能圖譜。

以上兩種優(yōu)化方式,都存在比較繁瑣、復(fù)雜的特點(diǎn)。為找到一種更容易、更快速的優(yōu)化方法,研究人員利用ADAMS、Isight等軟件集成的先進(jìn)優(yōu)化算法。該方法實(shí)際上也是一種基于目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化方法,但其操作方便,更為便捷和直觀。如文獻(xiàn)[11]基于ADAMS對空間光學(xué)遙感器6自由度定位器的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了單目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計。文獻(xiàn)[12]采用了虛擬樣機(jī)技術(shù),對6SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動力進(jìn)行了單目標(biāo)的優(yōu)化。

本文采用基于ADAMS的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法,研究設(shè)計變量的變化對目標(biāo)函數(shù)的影響,而且利用ADAMS集成的優(yōu)化算法,對6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的承載能力和運(yùn)動范圍進(jìn)行優(yōu)化,為6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計和進(jìn)一步的研究奠定基礎(chǔ)。

1 參數(shù)化模型的建立

1.1 設(shè)計變量創(chuàng)建

6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型如圖1所示。

圖1 6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖

由圖1可知:就此機(jī)構(gòu)而言,需要進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計的結(jié)構(gòu)參數(shù)有:動平臺球鉸幾何中心分布的半徑r、定平臺球鉸幾何中心分布的半徑R、動平臺球鉸長邊對應(yīng)的圓心角α、定平臺球鉸短邊對應(yīng)的圓心角β、初始高度H(動平臺球鉸中心點(diǎn)所在的平面和定平臺球鉸中心點(diǎn)所在的平面之間的距離)。

因此,6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計變量寫成矢量的形式為:

x=(x1,x2,x3,x4,x5)T=(r,R,α,β,H)T

其中,各設(shè)計變量之間相互獨(dú)立,各分量的物理意義如表1所示。

表1 設(shè)計變量的物理意義及單位

根據(jù)6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的實(shí)際操作空間、機(jī)械結(jié)構(gòu)的約束要求,以及避免發(fā)生奇異性的要求,定平臺和動平臺所對應(yīng)的球鉸分布不能相似,所以各個設(shè)計變量的取值范圍為:

1.2 參數(shù)化模型創(chuàng)建

本文采用參數(shù)化關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)的方法,建立6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的參數(shù)化模型[13]。參數(shù)化點(diǎn)的坐標(biāo)如表2所示。

表2 參數(shù)化點(diǎn)的坐標(biāo)

創(chuàng)建完參數(shù)化點(diǎn)后,需要再根據(jù)圖1創(chuàng)建相應(yīng)的構(gòu)件,然后添加相應(yīng)的運(yùn)動副。

為了不失一般性,筆者首先在動平臺質(zhì)心處加一點(diǎn)驅(qū)動,六自由度方向同時加載正弦位移/轉(zhuǎn)角驅(qū)動函數(shù),沿x、y、z方向的位移函數(shù)設(shè)置為2sin(2πt),繞x、y、z軸旋轉(zhuǎn)的驅(qū)動函數(shù)為2dsin(2πt);利用ADAMS模型的運(yùn)動學(xué)逆解仿真結(jié)果得到移動副1～6對應(yīng)的樣條函數(shù),即SPLINE_1-SPLINE_6;然后去除ADAMS模型的動平臺質(zhì)心的點(diǎn)驅(qū)動,在每個移動副關(guān)節(jié)處加上平移驅(qū)動MOTION_1-MOTION_6,設(shè)定驅(qū)動函數(shù)為AKISPL(time,0,SPLINE_1,0),…,AKISPL(time,0,SPLINE_6,0);最后在動平臺的質(zhì)心處添加外部載荷,力的大小F=10 N,方向豎直向下,力矩大小T=10 N·m,方向豎直向下。

完成以上工作后,所創(chuàng)建的6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的參數(shù)化模型如圖2所示。

圖2 6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的參數(shù)模型

1.3 目標(biāo)函數(shù)創(chuàng)建

對于6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言,其要有較高的承載能力和較大的運(yùn)動范圍,將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,即是在動平臺承受相同的負(fù)載,且6個驅(qū)動副的運(yùn)動規(guī)律相同時,6個驅(qū)動副受力的最大值最小,動平臺質(zhì)心的動坐標(biāo)系相對于定坐標(biāo)系x、y、z軸的3個轉(zhuǎn)動角的最小投影角最大。

在ADAMS中創(chuàng)建兩個測量函數(shù):

Mea_1=max(max(max(Force_1,Force_2),
max(Force_3,Force_4)),max(Force_5,Force_6))

(3)

Mea_2=min(min(ABS(Alpha),ABS(Beta)),
ABS(Gamma))

(4)

式中:Mea_1—每一個運(yùn)動周期內(nèi)6個移動副驅(qū)動力的最大值;Mea_2—每一個運(yùn)動周期內(nèi)動平臺的質(zhì)心繞定坐標(biāo)系x、y、z軸的3個轉(zhuǎn)動角的最小值;Force_i(i=1、2……6)—6個移動副驅(qū)動力的測量函數(shù);Alpha,Beta,Gamm—動坐標(biāo)系相對于定坐標(biāo)系的x、y、z軸的3個轉(zhuǎn)動角的測量函數(shù)。

在一個周期內(nèi),6個移動副的驅(qū)動力和動平臺質(zhì)心的轉(zhuǎn)角隨時間成正的正弦規(guī)律運(yùn)動,因此,分別取一個周期內(nèi)的均值作為目標(biāo)函數(shù)。因?yàn)橐蟛⒙?lián)機(jī)構(gòu)有較高的承載能力和較大的運(yùn)動范圍,即并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動力最小和轉(zhuǎn)動角最大,此處選擇目標(biāo)函數(shù)分別為:min(f1(x))和max(f2(x));其中,f1(x)、f2(x)可以表示為:

f1(x)=Averageof(Mea_1)=Averageof(max(max(max(Force_1,Force_2),

(5)

max(Force_3,Force_4)),max(Force_5,Force_6)))

f2(x)=Averageof(Mea_2)=Averageof(min(min(ABS(Alpha),ABS(Beta)),ABS(Gamma)))

(6)

1.4 約束函數(shù)創(chuàng)建

1.4.1 球面副轉(zhuǎn)角的限制

6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)共有12個球面副,球面副的轉(zhuǎn)角范圍是有限制的。

球面副的轉(zhuǎn)角約束條件可以表示為:

(7)

式中:θi—第i個球面副的基座固結(jié)的坐標(biāo)系的z軸和球面副連接的桿向量li之間的夾角;ni—第i個球面副的基座的z向向量;R—球面副相對于固定坐標(biāo)系的姿態(tài)。

因此,筆者分別建立12個球面副轉(zhuǎn)角的測量函數(shù),并命名為MEA_ANGLE_i,(i=1,2…12);然后,建立球面副的約束函數(shù)MEA_ANGLE_i-30°≤0,(i=1,2…12)。

1.4.2 連桿的干涉

連接上下平臺的連桿是有一定的尺寸大小的;因此,各桿之間可能發(fā)生干涉。這里假設(shè)各桿都是圓柱狀的,其直徑為D,若Di(i=1,2…6)為兩相鄰中心線之間的最短距離,則兩桿不發(fā)生干涉的條件是Di≥D[14]。對于連桿之間的干涉約束,通過在連桿之間添加實(shí)體接觸命令,使各個連桿之間不能相互穿透幾何體,從而可以防止發(fā)生干涉。

所以,由參數(shù)化模型時各個設(shè)計變量的約束和球面副轉(zhuǎn)角的約束,共同組成了6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的約束條件,即為:

(8)

2 設(shè)計變量對目標(biāo)函數(shù)的影響

2.1 動平臺球鉸幾何中心圓的半徑對目標(biāo)函數(shù)的影響

筆者在ADAMS中,研究動平臺球鉸幾何中心圓的半徑對目標(biāo)函數(shù)的影響。目標(biāo)函數(shù)隨動平臺球鉸幾何中心圓的半徑變化曲線,如圖3所示。

圖3 目標(biāo)函數(shù)隨動平臺球鉸幾何中心圓的半徑變化曲線

從圖3可以看出:目標(biāo)函數(shù)f1(x)的值與動平臺球鉸幾何中心圓的半徑成正相關(guān)的關(guān)系,目標(biāo)函數(shù)f2(x)的值與動平臺球鉸幾何中心圓的半徑成負(fù)相關(guān)的關(guān)系。

2.2 定平臺球鉸幾何中心圓的半徑對目標(biāo)函數(shù)的影響

筆者在ADAMS中,研究定平臺球鉸幾何中心圓的半徑對目標(biāo)函數(shù)的影響。目標(biāo)函數(shù)隨定平臺球鉸幾何中心圓的半徑變化曲線,如圖4所示。

圖4 目標(biāo)函數(shù)隨定平臺球鉸幾何中心圓的半徑變化曲線

從圖4可以看出:目標(biāo)函數(shù)f1(x)的值與定平臺球鉸幾何中心圓的半徑,在一定范圍內(nèi)成負(fù)相關(guān)的關(guān)系;目標(biāo)函數(shù)f2(x)的值與動平臺球鉸幾何中心圓的半徑,一定范圍內(nèi)成正相關(guān)的關(guān)系。

2.3 動平臺球鉸長邊對應(yīng)的圓心角對目標(biāo)函數(shù)的影響

在ADAMS中研究動平臺球鉸長邊對應(yīng)的圓心角對目標(biāo)函數(shù)的影響。目標(biāo)函數(shù)隨動平臺球鉸長邊對應(yīng)的圓心角變化曲線,如圖5所示。

圖5 目標(biāo)函數(shù)隨動平臺球鉸長邊對應(yīng)的圓心角變化曲線

從圖5可以看出:目標(biāo)函數(shù)f1(x)的值與動平臺球鉸長邊對應(yīng)的圓心角成負(fù)相關(guān)的關(guān)系,目標(biāo)函數(shù)f2(x)的值與動平臺球鉸長邊對應(yīng)的圓心角成負(fù)相關(guān)的關(guān)系。

2.4 定平臺球鉸短邊對應(yīng)的圓心角對目標(biāo)函數(shù)的影響

在ADAMS中研究定平臺球鉸短邊對應(yīng)的圓心角對目標(biāo)函數(shù)的影響。目標(biāo)函數(shù)隨定平臺球鉸短邊對應(yīng)的圓心角變化曲線如圖6所示。

圖6 目標(biāo)函數(shù)隨定平臺球鉸短邊對應(yīng)的圓心角變化曲線

從圖6可以看出:目標(biāo)函數(shù)f1(x)的值與定平臺球鉸短邊對應(yīng)的圓心角成正相關(guān)的關(guān)系,目標(biāo)函數(shù)f2(x)的值與定平臺球鉸短邊對應(yīng)的圓心角成正相關(guān)的關(guān)系。

2.5 初始高度對目標(biāo)函數(shù)的影響

在ADAMS中研究初始高度對目標(biāo)函數(shù)的影響。目標(biāo)函數(shù)隨初始高度變化曲線如圖7所示。

圖7 目標(biāo)函數(shù)隨初始高度變化曲線

從圖7可以看出:目標(biāo)函數(shù)f1(x)的值與初始高度成正相關(guān)的關(guān)系,目標(biāo)函數(shù)f2(x)的值與初始高度成正相關(guān)的關(guān)系。

3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化

本文第2節(jié)研究了設(shè)計變量的變化對目標(biāo)函數(shù)f1(x)和目標(biāo)函數(shù)f2(x)的影響,發(fā)現(xiàn)同一個設(shè)計變量的變化,往往會使不同的目標(biāo)函數(shù)產(chǎn)生不同的(甚至是截然相反的)變化趨勢。因此，為了使并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能最優(yōu),需要對其進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。

3.1 基于線性加權(quán)和法的多目標(biāo)優(yōu)化

本文采用線性加權(quán)和法將多目標(biāo)優(yōu)化問題重新構(gòu)造成一個新的評價函數(shù),從而將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍笤u價函數(shù)的單目標(biāo)優(yōu)化問題[15],即:

(9)

在ADAMS中進(jìn)行單目標(biāo)的優(yōu)化可得:

因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)f1(x)優(yōu)化的目標(biāo)是盡可能地小,目標(biāo)函數(shù)f2(x)優(yōu)化的目標(biāo)是盡可能地大,它們的優(yōu)化方向相反,故對f2(x)取負(fù)值進(jìn)行計算;取λ1=0.8，λ2=0.2。

綜上所述,其評價函數(shù)為:

(10)

在ADAMS中進(jìn)行多目標(biāo)的優(yōu)化,其優(yōu)化過程的設(shè)置如圖8所示。

圖8 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化

圖8中,min(FUNCTION_MEA_19)=minF(x),DV_J1=α,DV_J2=β,DV_L=H,DV_Ra=r,DV_RB=R,OPT_CONSTRAINT_1=MEA_ANGLE_i-30°≤0。

然后,利用ADAMS集成的優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化,優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)變量如表3所示。

表3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化前后的參數(shù)值

在ADAMS中,筆者對6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化前后的移動副驅(qū)動力的最大值和動平臺的質(zhì)心轉(zhuǎn)角最小值進(jìn)行測量。

移動副驅(qū)動力最大值變化曲線結(jié)果如圖9所示。

圖9 優(yōu)化前后移動副驅(qū)動力最大值變化曲線

動平臺質(zhì)心轉(zhuǎn)角最小值變化曲線如圖10所示。

圖10 優(yōu)化前后動平臺質(zhì)心轉(zhuǎn)角最小值變化曲線

由圖(9,10)可知:優(yōu)化后,移動副驅(qū)動力最大值的均值比初始值減小了6.5%,動平臺質(zhì)心轉(zhuǎn)角最小值的均值比初始值增大了17.9%。

同時,筆者在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動空間內(nèi)選取了7組典型的靜態(tài)的不同的位姿,測量6個移動副在優(yōu)化前后最大的驅(qū)動力,如圖11所示。

圖11 靜平衡下不同位姿6個移動副最大驅(qū)動力優(yōu)化前后變化曲線

由圖11可知:優(yōu)化后在靜態(tài)位姿下,移動副的最大驅(qū)動力減小了,從而提高了電機(jī)的重力補(bǔ)償能力。

3.2 基于蒙特卡羅法的工作空間分析

蒙特卡羅法是一種通過隨機(jī)抽樣來解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法,該方法特別適用于計算由復(fù)雜曲面包圍的體積[16，17]。例如機(jī)械手工作空間的體積,因?yàn)樗谟嬎愎ぷ骺臻g體積時不需要邊界曲面的分析表達(dá)式;相反,只需要確定機(jī)械手末端的參考點(diǎn)是否可以到達(dá)空間中隨機(jī)選擇的點(diǎn)。6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間是一個不規(guī)則的三維曲面所包圍的區(qū)域,因此,本文采用蒙特卡羅法對6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行求解。

該方法是基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)位置逆解而進(jìn)行的一種搜索方法。其原理如下:首先給出一個包含并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的范圍,在此范圍內(nèi),產(chǎn)生大量隨機(jī)的點(diǎn);然后由機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)逆解判斷每一點(diǎn)是否滿足約束條件,如果滿足約束條件則是空間內(nèi)的點(diǎn),如果不滿足,則剔除[18，19]。所有滿足約束條件的點(diǎn)組成了機(jī)構(gòu)的工作空間。

由蒙特卡羅法得出的值并不是一個精確值,而是一個近似值,但是當(dāng)投點(diǎn)的數(shù)量越來越大時,這個近似值也越接近真實(shí)值。文獻(xiàn)[20]中首次基于蒙特卡羅法給出了計算機(jī)械手工作空間的公式,即公式(11);并給出了幾個實(shí)際的例子,從而證明了蒙特卡羅法是一種簡單、易于實(shí)現(xiàn)、自然適用于計算機(jī)應(yīng)用的方法,即:

式中:V1—機(jī)構(gòu)的工作空間體積;V2—總的給定空間體積;n—機(jī)構(gòu)滿足約束條件的位置點(diǎn)數(shù);N—總的點(diǎn)數(shù)。

根據(jù)蒙特卡羅法求解工作空間的原理,筆者在MATLAB中進(jìn)行編程和仿真,求得優(yōu)化前后的n/N的數(shù)值,如表4所示(N=1000 000)。

表4 優(yōu)化前后n/N的數(shù)值對比

優(yōu)化前的工作空間為:40×40×20×0.081=2 592 mm3,優(yōu)化后的工作空間為40×40×20×0.089=2 848 mm3;可見,其工作空間提高了9.8%。

優(yōu)化前的工作空間如圖12所示。

圖12 優(yōu)化前機(jī)構(gòu)的工作空間

優(yōu)化后的工作空間如圖13所示。

圖13 優(yōu)化后機(jī)構(gòu)的工作空間

4 結(jié)束語

本文基于ADAMS軟件對6PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了多目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計;首先建立了機(jī)構(gòu)的參數(shù)化模型、約束條件和目標(biāo)函數(shù),然后研究了設(shè)計變量的變化對單目標(biāo)函數(shù)的影響,最后采用線性加權(quán)和法,進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化,優(yōu)化后移動副驅(qū)動力最大值的均值比初始值減小了6.5%;利用蒙特卡羅法計算了機(jī)構(gòu)的工作空間,優(yōu)化后工作空間提高了9.8%,提高了機(jī)構(gòu)的承載能力,擴(kuò)大了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動范圍。

與其他多目標(biāo)優(yōu)化方法相比,這種方法更為簡單、直觀,可以高效率地用于多參數(shù)的復(fù)雜并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。