基礎(chǔ)平動激勵下的電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動控制研究*

陳潤田,祝長生

(浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院,浙江 杭州 310027)

0 引 言

電磁軸承通過可控電磁力支承轉(zhuǎn)子,具有無機械摩擦、無需潤滑、復(fù)雜環(huán)境適應(yīng)性強等優(yōu)點。另外,通過控制電磁力,它還可以主動調(diào)節(jié)支承的動力學(xué)特性,在保證轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮的同時,可以抑制轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動[1]。

目前,對電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)及控制的研究,主要是在假設(shè)基礎(chǔ)處于不動或忽略基礎(chǔ)激勵的條件下進(jìn)行的。但是,對于許多電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng),就必須考慮基礎(chǔ)激勵的影響,否則電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不僅不能穩(wěn)定工作,甚至?xí)霈F(xiàn)轉(zhuǎn)子與保護(hù)軸承碰撞或系統(tǒng)失穩(wěn)的現(xiàn)象[2-4]。因此,在存在基礎(chǔ)激勵的情況下,需要考慮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng),應(yīng)保持轉(zhuǎn)子和定子之間的相對位移小于安全氣隙,以免轉(zhuǎn)子碰撞保護(hù)軸承或系統(tǒng)失穩(wěn)。

按照激勵的特性,基礎(chǔ)激勵可以分為單頻激勵、多頻激勵、隨機激勵(包括地震激勵)及其組合等形式?；A(chǔ)可以為剛體,也可以為柔性體;柔性基礎(chǔ)的特性相對剛性基礎(chǔ)的特性更加復(fù)雜。對于剛性基礎(chǔ),基礎(chǔ)的運動狀態(tài)可以用3個位移和3個角度變量來表示。按照基礎(chǔ)的運動狀態(tài),基礎(chǔ)激勵又可以分為平動激勵、錐動激勵[5]以及混合運動激勵[6]。其中,平動激勵是基礎(chǔ)在某個方向上發(fā)生平動運動,也就是基礎(chǔ)的某個位移變量發(fā)生變化,而角度變量保持不變;錐動激勵為基礎(chǔ)以其某一點為中心做角向運動,某個角度變量發(fā)生變化,而這個中心點的位置變量保持不變;混合運動激勵基礎(chǔ)的位置和姿態(tài)都發(fā)生變化,是最一般的基礎(chǔ)激勵形式。目前,對基礎(chǔ)激勵的研究主要以平動激勵為主。

KEOGH P S等[7]針對基礎(chǔ)沖擊激勵下,給電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)帶來的不良影響,對諧波控制器進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計,所設(shè)計的控制器可在有限時間內(nèi)抑制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。MURAL Y等[8]收集了地震波波形,并將其施加于電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng),對其振動響應(yīng)進(jìn)行了測試,但并未提出有效的控制方法。SUZUKI Y[9]根據(jù)電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在基礎(chǔ)激勵條件下的振動響應(yīng)特性,設(shè)計了一種基于FIR(finite impulse response)和IIR(infinite impulse response)的加速度前饋補償濾波器,用于抑制單個周期的正弦沖擊激勵和周期性正弦激勵給系統(tǒng)帶來的不良影響。COLE M O T等[10]將基礎(chǔ)激勵以位移的形式引入到電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中,提出了一種基于狀態(tài)反饋的自適應(yīng)Q控制方案,但這種控制方法對模型精確性要求較高。KASARDA M E等[11]搭建了一個小型的非旋轉(zhuǎn)試驗裝置,并對此進(jìn)行了測試,以研究正弦基礎(chǔ)運動對電磁軸承支撐目標(biāo)轉(zhuǎn)子質(zhì)量的影響;但是其缺陷是并未考慮轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)。KANG M S等[12]研究了不依賴被控模型的自適應(yīng)Fx-LMS的加速度前饋補償控制器,實現(xiàn)了對單自由度電磁懸浮系統(tǒng)的振動控制。MARUYAMA Y等[13]利用干擾觀測器估算的干擾信號來補償定子運動對轉(zhuǎn)子帶來的影響,其補償?shù)男ЧQ于觀測器的估算精度。MARX S等[14]考慮了帶有兩個電磁軸承的四自由度剛性轉(zhuǎn)子模型,將PD反饋和最優(yōu)前饋控制程序進(jìn)行組合,有效地抑制了諧波基礎(chǔ)運動對磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有害影響。KAMEL M等[15]研究了在多參數(shù)激勵下,具有二次非線性和三次非線性的周期性時變剛度的電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的共振情況,并應(yīng)用多時標(biāo)技術(shù),求解了其控制系統(tǒng)的非線性微分方程。

在國內(nèi),黃春新[16]通過仿真,分析了電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)懸掛在機翼下和在地面上旋轉(zhuǎn)工作時的不平衡響應(yīng)和激勵響應(yīng)。祝長生等[17]通過實驗,研究了電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中基礎(chǔ)的橫向振動對電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性的影響,研究結(jié)果表明,傳統(tǒng)的PID控制器對電磁軸承基礎(chǔ)橫向振動的抑制能力非常有限。HAN Qin-kai等[18]利用Lagrange方程和有限元法,建立了具有六自由度基礎(chǔ)運動和質(zhì)量不平衡的偏置單盤柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動微分方程的一般表達(dá)式,發(fā)現(xiàn)時變基礎(chǔ)運動不僅在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)上產(chǎn)生附加的參數(shù)時變阻尼和剛度效應(yīng),還會產(chǎn)生附加外激勵力。

針對基礎(chǔ)平動激勵條件下電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動控制,筆者通過建立電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動方程及狀態(tài)空間方程,提出一種基于LMS算法的,以基礎(chǔ)加速度為輸入信號的自適應(yīng)控制器,驗證基于LMS算法的變步長自適應(yīng)控制策略對基礎(chǔ)平動激勵引起的系統(tǒng)振動響應(yīng)的有效性。

1 基礎(chǔ)平動激勵下電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子的動力學(xué)模型狀態(tài)方程

常見的電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子-基礎(chǔ)系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 柔性轉(zhuǎn)子基礎(chǔ)系統(tǒng)示意圖O(x0y0z0)—固定在地面的絕對坐標(biāo)系;Ob(xbybzb)—固定在基礎(chǔ)上的相對于地面的坐標(biāo)系;Or(xyz)—固定在轉(zhuǎn)子上的相對于基礎(chǔ)的坐標(biāo)系

本文主要研究電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的徑向振動特性,而忽略軸向振動及扭轉(zhuǎn)振動的影響。

1.1 基礎(chǔ)靜止條件下柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程

當(dāng)柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基礎(chǔ)處于靜止?fàn)顟B(tài)時,基礎(chǔ)和地面相對靜止,即有:

x=x0

(1)

式中:x—轉(zhuǎn)子相對于基礎(chǔ)的位移矢量,m;x0—轉(zhuǎn)子相對于地面的位移矢量,m。

對具有n個節(jié)點的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng),筆者利用有限元或集中參數(shù)法進(jìn)行建模,容易得到柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程為:

(2)

式中:M—轉(zhuǎn)子4n×4n維的質(zhì)量矩陣,kg;G—轉(zhuǎn)子4n×4n維的陀螺效應(yīng)矩陣;K—轉(zhuǎn)子4n×4n維的等效剛度矩陣,N/m;C—轉(zhuǎn)子4n×4n維的等效阻尼矩陣,N/m·s-1;F—轉(zhuǎn)子受到的除基礎(chǔ)激勵外的激勵力矢量,N;ω—轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速,r/min。

1.2 基礎(chǔ)平動激勵條件下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程

在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基礎(chǔ)出現(xiàn)運動后,柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動方程仍然與式(2)類似,但系統(tǒng)中與剛度和阻尼相關(guān)的力,將和轉(zhuǎn)子與基礎(chǔ)之間的相對位移和相對速度相關(guān),而非轉(zhuǎn)子相對于地面的絕對位移和絕對速度。

設(shè)基礎(chǔ)相對于地面的位移矢量為xb,代入式(2),可得到用柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在基礎(chǔ)平動激勵后用相對于地面的位移表示的動力學(xué)方程,即:

(3)

當(dāng)基礎(chǔ)相對于地面在平動方向上發(fā)生運動時:一方面只能測量轉(zhuǎn)子相對于運動基礎(chǔ)的位移,而不是轉(zhuǎn)子相對于地面的位移;另一方面,轉(zhuǎn)子相對于運動基礎(chǔ)的位移遠(yuǎn)比轉(zhuǎn)子相對于地面的位移更有意義。

在考慮柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基礎(chǔ)受外部激勵只是在平動方向上產(chǎn)生運動的條件下,轉(zhuǎn)子相對于基礎(chǔ)的位移矢量x為:

x=x0-xb

(4)

將式(4)代入式(3),就可以得到柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在基礎(chǔ)平動激勵后,用相對于運動基礎(chǔ)的位移表示的動力學(xué)方程,即:

(5)

可見,對于柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言,由于陀螺效應(yīng)的影響,基礎(chǔ)的平動激勵不僅產(chǎn)生了一個與基礎(chǔ)加速度相關(guān)的激勵項,而且還出現(xiàn)了一個與基礎(chǔ)速度有關(guān)的激勵項。這也是基礎(chǔ)平動激勵條件下,轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與一般非旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)動力學(xué)模型上的差異。

1.3 基礎(chǔ)平動激勵條件下電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程

對于n個節(jié)點的電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng),電磁軸承只是安裝在有限的節(jié)點。為方便起見,此處假設(shè)每一個節(jié)點上都安裝有電磁軸承及存在不平衡力。電磁軸承對轉(zhuǎn)子的作用按照一個外激勵力進(jìn)行處理。

電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中電磁軸承處的電磁力矢量如果采用線性化模型,則可以表示為:

FAMB=Kxx+Kii

(6)

式中:Kx—4n×4n維的電磁軸承位移剛度系數(shù)矩陣,N/m;Ki—4n×4n維的電磁軸承電流剛度系數(shù)矩陣,N/A;i—控制電流矢量,A。

Ki均為對角矩陣,對角線上的元素為各電磁軸承的位移剛度系數(shù)和電流剛度系數(shù)。

在恒速情況下,電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子的不平衡激勵力矢量為:

Fu=εMω2sin(ωt+φ)

(7)

式中:ε—每個節(jié)點的不平衡偏心率;φ—每個節(jié)點的不平衡相位角,°。

由此,可以得到基礎(chǔ)平動激勵條件下,電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程:

(8)

據(jù)式(8),可得到基礎(chǔ)平動激勵條件下,電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程的狀態(tài)空間方程:

(9)

2 控制器設(shè)計

與傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不同,在電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中,可以利用電磁軸承對基礎(chǔ)平動激勵導(dǎo)致的振動進(jìn)行主動控制。

從基礎(chǔ)平動激勵條件下電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程可以發(fā)現(xiàn),基礎(chǔ)平動激勵對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響可以等效為由基礎(chǔ)加速度和基礎(chǔ)速度導(dǎo)致的附加激勵力。不平衡轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在基礎(chǔ)平動激勵條件下,等效的激勵力不僅含有與轉(zhuǎn)速同頻的成分,而且還含有基礎(chǔ)平動激勵頻率的成分,是一個多頻激勵問題[19,20]。

為了解決基礎(chǔ)平動激勵條件下,電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動控制,筆者提出一種基于LMS算法的,以基礎(chǔ)加速度為參考信號的變步長自適應(yīng)控制器。

2.1 基于變步長LMS算法的自適應(yīng)控制器設(shè)計

基于LMS算法的自適應(yīng)控制器主要包括輸入信號延遲環(huán)節(jié)、權(quán)矢量矩陣以及輸出信號,其結(jié)構(gòu)原理圖如圖2所示。

圖2 基于LMS算法的自適應(yīng)控制器結(jié)構(gòu)原理圖

根據(jù)圖2,輸入信號as經(jīng)過P個延時單元,構(gòu)成控制器的參考信號S(n)為:

S(n)=[as(n)as(n-1) …as(n-p)]T

(10)

每個延時位置均有一個權(quán)系數(shù),構(gòu)成權(quán)矢量W(n)為:

W(n)=[w0w1…wp]T

(11)

控制器的輸出信號out(n)為:

out(n)=WT(n)S(n)

(12)

誤差信號e(n)為期望信號ε(n)與輸出信號out(n)的差值,即:

e(n)=ε(n)-out(n)=ε(n)-WT(n)S(n)

(13)

自適應(yīng)過程即為調(diào)節(jié)權(quán)矢量,改變輸出信號out(n),使得誤差信號e(n)的絕對值最小的過程。由于絕對值函數(shù)難以進(jìn)行參數(shù)迭代和目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu),此處采用MSE(mean square error)為目標(biāo)函數(shù):

MSE=ξ(n)=e2(n)

(14)

目標(biāo)函數(shù)的梯度為:

(15)

根據(jù)最速梯度下降法,可得到權(quán)矢量W(n)的更新公式為:

(16)

式中:μ—迭代步長。

對于定步長LMS算法而言,在保證算法收斂的情況下,步長μ越大,收斂速度越快,但也會造成穩(wěn)態(tài)誤差的增大;步長μ越小,穩(wěn)態(tài)誤差越小,但收斂速度減慢。

為解決收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾,筆者利用tanh函數(shù),提出一種變步長迭代方法:

μ=αtanh2{βe(n)}.

(17)

步長μ隨不同α及β值與誤差信號間的關(guān)系如圖3所示。

圖3 步長μ隨不同α及β值與誤差信號間的關(guān)系

圖3中,當(dāng)β不變,α越大,步長的變化范圍越大;當(dāng)α不變,β越大,步長隨誤差的變化曲線斜率越大;可通過調(diào)整α來控制步長μ的取值范圍,調(diào)整β控制步長μ衰減速度。

由此可知,采用式(17)中的變步長算法,可使W(n)在誤差較大時迭代步長大,速度快;在誤差較小時迭代步長小,速度慢。

2.2 基于自適應(yīng)控制器的基礎(chǔ)平動激勵振動抑制系統(tǒng)模型

基礎(chǔ)平動激勵下,基于自適應(yīng)控制器的振動響應(yīng)抑制系統(tǒng)模型如圖4所示。

圖4 基于自適應(yīng)控制器的基礎(chǔ)平動激勵轉(zhuǎn)子振動抑制系統(tǒng)模型加速度傳感器測得的基礎(chǔ)加速度;xE—期望位移;x—相對位移;xDS—期望位移與相對位移之差;out(n)—控制器輸出信號

自適應(yīng)控制器的參考信號S(n)為基礎(chǔ)在平動方向上的加速度,即:

(18)

誤差信號e(n)為:

e(n)=xE(n)-x(n)=xDS(n)

(19)

則權(quán)值更新公式為:

W(n+1)=W(n)+μxDS(n)S(n)

(20)

3 仿真及結(jié)果分析

3.1 基礎(chǔ)平動激勵條件下柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)特性

仿真中使用的柔性轉(zhuǎn)子模型如圖5所示。

圖5 仿真中使用的柔性轉(zhuǎn)子模型

其中,轉(zhuǎn)子的具體參數(shù)如表1所示。

表1 轉(zhuǎn)子的具體參數(shù)

轉(zhuǎn)子在自由狀態(tài)下的剛體平動模態(tài)頻率約為18 Hz,一階彎曲模態(tài)頻率約為78 Hz。調(diào)整PID控制器參數(shù),使得柔性轉(zhuǎn)子穩(wěn)定運行,在水平x方向上施加等幅、不同頻的正弦基礎(chǔ)平動激勵。

為簡化分析,筆者不考慮傳感器和執(zhí)行器不同位的影響,認(rèn)為傳感器和電磁軸承的軸向位置重合。由于左、右兩個傳感器位置處轉(zhuǎn)子的振動特性及變化規(guī)律相似,這里僅給出了左端傳感器A處轉(zhuǎn)子的計算結(jié)果。

在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中,由于陀螺效應(yīng)的影響,基礎(chǔ)平動激勵不僅產(chǎn)生了一個與基礎(chǔ)加速度相關(guān)的激勵項,還出現(xiàn)了一個與基礎(chǔ)平動速度有關(guān)的激勵項;基礎(chǔ)平動速度信號由基礎(chǔ)加速度信號處理得到。

根據(jù)得到的基礎(chǔ)平動激勵條件下電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程、PID主控制器及所設(shè)計的基礎(chǔ)平動激勵控制器,筆者在MATLAB/Simulink中搭建了系統(tǒng)的仿真模型。

在PID主控制器下,轉(zhuǎn)子的位移剛度kx為2.205×106N/m,電流剛度ki為716.2 N/A。

當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為6 000 r/min時,筆者在基礎(chǔ)的x方向施加幅值A(chǔ)b為5 m·s-2、頻率fb為5 Hz、相位為0的單頻正弦基礎(chǔ)平動激勵。

傳感器A處轉(zhuǎn)子的運動軌跡如圖6所示。

圖6 傳感器A處轉(zhuǎn)子的運動軌跡

由圖6的轉(zhuǎn)子運動軌跡可見,當(dāng)在基礎(chǔ)的x方向施加基礎(chǔ)平動激勵時,轉(zhuǎn)子在激勵方向上的振動明顯增大,而對在非激勵的y方向的振動幾乎沒有影響。

3.2 轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)與基礎(chǔ)平動激勵頻率的變化關(guān)系

給基礎(chǔ)施加不同頻率、幅值相等(5 m·s-2)、相位為0的基礎(chǔ)平動激勵,激勵頻率對電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)傳感器A處轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)特性曲線的影響,如圖7所示(圖7中的曲線為轉(zhuǎn)子在無基礎(chǔ)平動激勵情況下的位移響應(yīng)曲線)。

圖7 激勵頻率對電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)傳感器A處轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)特性曲線的影響

根據(jù)圖7(b)可知:基礎(chǔ)平動激勵頻率的改變不會導(dǎo)致非施加基礎(chǔ)平動激勵方向上轉(zhuǎn)子振動的變化。

與3.2其他條件相同的情況下,在基礎(chǔ)水平方向上施加不同幅值、頻率相同(5 Hz)、相位為0的正弦平動激勵,可得到不同激勵幅值下傳感器A處轉(zhuǎn)子的振動位移響應(yīng)特性曲線,如圖8所示。

圖8 不同激勵幅值下傳感器A處轉(zhuǎn)子的振動位移響應(yīng)特性曲線

根據(jù)圖8(a)可知:在整個轉(zhuǎn)速范圍內(nèi),當(dāng)基礎(chǔ)平動激勵的頻率不變時,施加基礎(chǔ)平動激勵方向上轉(zhuǎn)子的振動響應(yīng)幅值隨平動激勵幅值的增大而增大;

根據(jù)圖8(b)可知:激勵幅值的改變不會導(dǎo)致非施加基礎(chǔ)平動激勵方向上轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)的變化。

在其他條件相同的情況下,在基礎(chǔ)水平方向上施加幅值和頻率相同(5 m·s-2,5 Hz)、相位不同的正弦平動激勵,可得到不同相位差下傳感器A處轉(zhuǎn)子的振動響應(yīng)曲線,如圖9所示。

圖9 不同相位差下傳感器A處轉(zhuǎn)子的振動響應(yīng)曲線

根據(jù)圖9(a)可知:在剛體臨界轉(zhuǎn)速附近時,相同轉(zhuǎn)速下相位的改變會引起較大的轉(zhuǎn)子振幅波動;而在一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速附近時,相同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子振幅幾乎不隨激勵相位的改變而改變。

由此,將轉(zhuǎn)子設(shè)定在不同轉(zhuǎn)速(剛體臨界轉(zhuǎn)速之下,剛體臨界轉(zhuǎn)速和一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速之間,一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速之上)下,保持基礎(chǔ)平動激勵的幅值、頻率不變,只改變激勵的相位,可得到不同轉(zhuǎn)速頻率下傳感器A處轉(zhuǎn)子的振動幅值和激勵相位的變化結(jié)果,如圖10所示。

圖10 不同轉(zhuǎn)速頻率下傳感器A處轉(zhuǎn)子的振動幅值和激勵相位的變化結(jié)果

結(jié)合圖9和圖10可知:當(dāng)基礎(chǔ)平動激勵頻率較低,與旋轉(zhuǎn)頻率相差不大時,激勵相位的改變會引起較大的振幅波動;當(dāng)旋轉(zhuǎn)頻率與基礎(chǔ)平動激勵頻率相差較大時,激勵相位的改變對轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)的影響較小;激勵相位的改變不會導(dǎo)致非施加基礎(chǔ)平動激勵方向上轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)的變化。

綜上所述:基礎(chǔ)平動激勵僅對轉(zhuǎn)子在激勵方向上的位移產(chǎn)生影響,不會影響與其垂直方向上的位移響應(yīng);當(dāng)激勵頻率較低,且幅值較大時,轉(zhuǎn)子的最大位移響應(yīng)幅值遠(yuǎn)大于基礎(chǔ)靜止?fàn)顟B(tài)下的幅值,這時如果不施加必要的控制,轉(zhuǎn)子極易與備用軸承發(fā)生碰撞,甚至導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。

3.3 基礎(chǔ)平動激勵下柔性轉(zhuǎn)子的振動抑制

3.3.1 單頻正弦激勵時柔性轉(zhuǎn)子的振動抑制

對轉(zhuǎn)子施加頻率為5 Hz、幅值為5 m·s-2、相位為0的正弦基礎(chǔ)平動激勵,可得到無基礎(chǔ)平動激勵、有基礎(chǔ)平動激勵和對基礎(chǔ)的平動激勵進(jìn)行控制后傳感器A處轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)結(jié)果,如圖11所示。

圖11 無基礎(chǔ)平動激勵、有基礎(chǔ)平動激勵和對基礎(chǔ)的平動激勵進(jìn)行控制后傳感器A處轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)

由圖11可知:在無基礎(chǔ)平動激勵時,傳感器A處轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)的最大幅值出現(xiàn)在轉(zhuǎn)子的一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速附近;當(dāng)基礎(chǔ)受到單頻平動激勵時,傳感器A處轉(zhuǎn)子的振動基本上按照一個常增量增大,這是因為整個轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為線性系統(tǒng),其振動響應(yīng)為基礎(chǔ)平動激勵和不平衡激勵的疊加,轉(zhuǎn)速的變化會帶來不平衡激勵的變化;而式(8)中,陀螺效應(yīng)項相對于阻尼項很小,基礎(chǔ)平動激勵所引起的轉(zhuǎn)子振動分量幾乎不會使振動位移基本按照常增量增大;最大幅值出現(xiàn)在轉(zhuǎn)子的一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速附近,最大振幅約為0.5 mm,由于一般的電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)備用支承的間隙不會超過0.5 mm,基礎(chǔ)平動激勵可能會導(dǎo)致轉(zhuǎn)子與備用軸承相碰。

在使用了自適應(yīng)控制后,轉(zhuǎn)子的位移迅速減小,并接近無基礎(chǔ)平動激勵條件下轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)曲線?？梢姴捎米赃m應(yīng)控制時,在整個轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)都十分有效。

3.3.2 多頻正弦激勵時柔性轉(zhuǎn)子的振動抑制

為驗證自適應(yīng)控制器對多頻激勵的控制效果,筆者再施加包含5 Hz、10 Hz、15 Hz頻率分量的多頻基礎(chǔ)平動激勵,其幅值分別為5 m·s-2、2 m·s-2、1 m·s-2,相位均為0,得到無基礎(chǔ)平動激勵、多頻基礎(chǔ)平動激勵和對基礎(chǔ)的平動激勵進(jìn)行控制后傳感器A處轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)結(jié)果,如圖12所示。

圖12 無基礎(chǔ)平動激勵、多頻基礎(chǔ)平動激勵和對基礎(chǔ)的平動激勵進(jìn)行控制后傳感器A處轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)

由圖12可知:當(dāng)基礎(chǔ)受到多頻平動激勵時,傳感器A處轉(zhuǎn)子的振動也基本上按照一個常增量增大,多頻基礎(chǔ)平動激勵條件下振幅的常增量比單頻基礎(chǔ)平動激勵條件下振幅的常增量大,最大幅值同樣出現(xiàn)在轉(zhuǎn)子的一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速附近,最大振幅約為0.8 mm,所以基礎(chǔ)平動激勵將會導(dǎo)致轉(zhuǎn)子與備用軸承相碰,使系統(tǒng)不能正常工作;

在使用了自適應(yīng)控制后,轉(zhuǎn)子位移迅速減小,并接近無基礎(chǔ)平動激勵條件下轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)曲線?？梢姴捎米赃m應(yīng)控制時,在整個轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)都十分有效。

筆者將轉(zhuǎn)子設(shè)定在6 000 r/min穩(wěn)定轉(zhuǎn)速下,施加多頻基礎(chǔ)平動激勵,并開啟自適應(yīng)控制。

在開啟自適應(yīng)控制前后,傳感器A處轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)的FFT分析結(jié)果如圖13所示。

圖13 控制前后傳感器A處轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)的FFT分析結(jié)果

將全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)基礎(chǔ)平動激勵自適應(yīng)控制前后轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)的控制效果和圖13進(jìn)行對比可知:

(1)所設(shè)計的基于LMS算法的變步長自適應(yīng)控制器可以有效地抑制基礎(chǔ)單頻及多頻平動激勵對轉(zhuǎn)子振動位移的影響;

(2)根據(jù)3.2中的結(jié)論和實際情況下轉(zhuǎn)子運行轉(zhuǎn)速較高,旋轉(zhuǎn)頻率與基礎(chǔ)平動激勵頻率差值較大的情況,因此不考慮二者頻率相同的情況。

4 結(jié)束語

在基礎(chǔ)平動激勵條件下,筆者首先建立了電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子的動力學(xué)方程及狀態(tài)空間模型;然后基于LMS算法,設(shè)計了變步長自適應(yīng)控制器;最后,利用MATLAB/Simulink仿真工具,分析了在PID主控器下全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在基礎(chǔ)平動激勵條件下的振動特性,驗證了所設(shè)計的自適應(yīng)控制器在基礎(chǔ)平動激勵條件下,對電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動的控制效果,得到如下結(jié)論:

(1)基礎(chǔ)平動激勵僅對激勵方向上轉(zhuǎn)子的振動產(chǎn)生影響,不會影響與其垂直方向上轉(zhuǎn)子的振動;基礎(chǔ)平動激勵的頻率越低,轉(zhuǎn)子的振動越大,基礎(chǔ)平動激勵的頻率越高,轉(zhuǎn)子的振動越小;轉(zhuǎn)子在基礎(chǔ)平動激勵方向上的振動隨平動激勵幅值的增大而增大;

(2)當(dāng)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速較低,基礎(chǔ)平動激勵與不平衡激勵力的相位相差不大時,基礎(chǔ)平動激勵相位的改變會引起較大的轉(zhuǎn)子振幅波動;當(dāng)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速較高,基礎(chǔ)平動激勵與不平衡激勵力的相位相差較大時,基礎(chǔ)平動激勵相位的改變對轉(zhuǎn)子振動的影響較小;

(3)所設(shè)計的基于LMS算法的變步長自適應(yīng)控制器,能夠有效地抑制基礎(chǔ)單頻及多頻平動激勵對轉(zhuǎn)子振動的影響,使轉(zhuǎn)子的振動接近無基礎(chǔ)平動激勵時的水平。