二階系統(tǒng)自抗擾控制的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的改進(jìn)

李承霖，孫洪飛

(廈門大學(xué)航空航天學(xué)院，福建 廈門 361102)

自抗擾控制技術(shù)(active disturbance rejection control,ADRC)是韓京清[1]先生提出的一種非線性控制方法，由跟蹤微分器、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer,ESO)和誤差反饋控制器組成.ADRC繼承了PID(proportional integral differential)“基于誤差來(lái)消除誤差”的思想，將被控對(duì)象中的各種擾動(dòng)和不確定因素歸結(jié)為總擾動(dòng)，然后在控制器中進(jìn)行補(bǔ)償，從而將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為積分串聯(lián)的形式[2-3].它具有控制精度高、響應(yīng)速度快、抗干擾能力強(qiáng)、對(duì)控制對(duì)象的模型依賴小等特點(diǎn)[4].為了減少調(diào)節(jié)參數(shù)、推廣ADRC的應(yīng)用，GAO[5]在ADRC的基礎(chǔ)上提出了線性ADRC(LADRC)，并將待整定的參數(shù)與控制器和觀測(cè)器的帶寬聯(lián)系起來(lái)，從而將整定參數(shù)降低為3個(gè)，簡(jiǎn)化了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，極大地促進(jìn)了其在工程上的應(yīng)用.

作為L(zhǎng)ADRC最重要的結(jié)構(gòu)，線性ESO(LESO)承擔(dān)著實(shí)時(shí)估計(jì)未知擾動(dòng)的作用，從提出到現(xiàn)在，前人已經(jīng)進(jìn)行了大量細(xì)致的研究.Zheng等[6]分析了非線性時(shí)變系統(tǒng)LADRC的穩(wěn)定性，并且證明當(dāng)存在不確定性時(shí)，LESO跟蹤誤差是有界的.Xue等[7]分析了具有未知?jiǎng)恿W(xué)和非連續(xù)擾動(dòng)的不確定系統(tǒng)的自抗擾控制器性能.Zheng等[8]證明了具有不確定性n階系統(tǒng)的LESO跟蹤誤差是有界的，并且?guī)捲黾?，誤差單調(diào)遞減.Huang等[9]采用自穩(wěn)定區(qū)域(SSR)方法設(shè)計(jì)LESO，并分析了它的穩(wěn)定性.Yang等[10]論證了LESO估計(jì)不確定性的能力，并進(jìn)一步分析了LESO對(duì)正弦、方波、斜波等不同類型擾動(dòng)的跟蹤能力.LADRC已經(jīng)廣泛應(yīng)用在工業(yè)電機(jī)控制[11]、電力控制系統(tǒng)[12]、軍事武器[13]、航空航天[14]、下肢康復(fù)訓(xùn)練[15]等領(lǐng)域，其理論系統(tǒng)也更加完備.但目前研究主要關(guān)于LADRC的穩(wěn)定性和LESO的收斂性及跟蹤誤差能力，未對(duì)LESO的暫態(tài)特性進(jìn)行理論分析.文獻(xiàn)[5,16]中使用“帶寬”的思想，將極點(diǎn)統(tǒng)一配置到實(shí)軸上的一個(gè)具體位置，極大地減少了調(diào)節(jié)控制參數(shù).該方法雖然也可以調(diào)節(jié)暫態(tài)性能，但是一定程度上縮小了LESO極點(diǎn)的取值范圍，減弱了調(diào)節(jié)暫態(tài)性能的靈活性，與具有非線性結(jié)構(gòu)的ESO相比，跟蹤精度和響應(yīng)速度受到制約，從而使暫態(tài)過(guò)程品質(zhì)的提升受到限制.

為此，本文從暫態(tài)性能入手，沿用傳統(tǒng)LESO“帶寬法”的思想，通過(guò)加入兩個(gè)調(diào)節(jié)因子靈活調(diào)節(jié)觀測(cè)器的暫態(tài)性能和帶寬，并根據(jù)實(shí)際情況平衡二者的關(guān)系，以達(dá)到最佳的跟蹤效果.定量描述調(diào)節(jié)因子與暫態(tài)性能指標(biāo)之間的關(guān)系，給出一般性結(jié)論，最大程度減少參數(shù)調(diào)節(jié)帶來(lái)的困難.最后將改進(jìn)化的LESO(improved LESO,ILESO)與傳統(tǒng)的LESO做了仿真對(duì)比分析.

1 二階系統(tǒng)的ADRC模型回顧

考慮單輸入單輸出的二階系統(tǒng)

(1)

(2)

(3)

LLESO(s)=s3+β1s2+β2s+β3.

(4)

文獻(xiàn)[16]通過(guò)將觀測(cè)器的3個(gè)極點(diǎn)統(tǒng)一配置到左半實(shí)軸-ωo處，來(lái)確定觀測(cè)器增益矩陣.令

LLESO(s)=(s+ωo)3，

(5)

(6)

(7)

其中u0是虛擬控制量.將控制量u代入系統(tǒng)(1)可得

(8)

從而實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)補(bǔ)償之后的線性化.系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為積分串聯(lián)形式，進(jìn)一步選取

(9)

(10)

適當(dāng)選取參數(shù)β01和β02，可以保證系統(tǒng)輸出漸近跟蹤輸入信號(hào).顯然，控制器(6)的特征方程如下：

C(s)=s2+β02s+β01.

(11)

文獻(xiàn)[16]通過(guò)將控制器的2個(gè)極點(diǎn)配置到左半實(shí)軸-ωc處，來(lái)確定控制器狀態(tài)反饋系數(shù).即令

C(s)=(s+ωc)2，

(12)

得到狀態(tài)反饋系數(shù)為

(13)

再次削減了調(diào)節(jié)參數(shù)的數(shù)量，其中ωc為控制器的帶寬.

綜上所述，在不考慮跟蹤微分器時(shí)，式(3)、(7)和(9)共同構(gòu)成了LADRC[16].

2 改進(jìn)型線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器

2.1 ILESO的形式

文獻(xiàn)[5,16]中的LESO將極點(diǎn)統(tǒng)一配置到實(shí)軸上的一個(gè)具體位置，雖然也可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)的暫態(tài)性能，但是減弱了調(diào)節(jié)暫態(tài)性能的靈活性，一定程度上制約了跟蹤精度和響應(yīng)速度，必然使暫態(tài)過(guò)程品質(zhì)的提升受到限制.ILESO在此基礎(chǔ)上額外給兩個(gè)參數(shù)β2和β3各乘上一個(gè)調(diào)節(jié)因子，便可以靈活改變極點(diǎn)的位置，從而改進(jìn)觀測(cè)器的暫態(tài)性能.

對(duì)比傳統(tǒng)LESO的表達(dá)式(3)，給出三階ILESO的方程如下：

(14)

根據(jù)式(5)，ILESO的增益矩陣更新為

(15)

對(duì)式(14)進(jìn)行拉氏變換可得

(16)

其中LILESO(s)是ILESO的特征方程，具體為

LILESO(s)=s3+β1s2+θβ2s+λβ3.

(17)

2.2 配置ILESO的主導(dǎo)極點(diǎn)

對(duì)系統(tǒng)式(1)進(jìn)行拉氏變換：

s2Y(s)=F(s)+b0U(s).

(18)

(19)

(20)

在實(shí)際情況中，一般使調(diào)節(jié)因子θ滿足如下條件：

(21)

根據(jù)一元三次方程的盛金判別法[18]可以證明，當(dāng)滿足式(21)時(shí)，Ψ(s)的特征方程L*(s)=0有1個(gè)實(shí)根和2個(gè)共軛復(fù)根.在滿足穩(wěn)定性的條件下，它們均位于s平面左半部分.假設(shè)實(shí)根為-ra，共軛復(fù)根為-a+bi、-a-bi，其中a、b、r均為正數(shù)，i為虛數(shù)單位.因此傳遞函數(shù)式(20)可以重寫為如下形式：

Ψ(s)=(λβ3)·{[s-(-ra)][s-(-a+bi)]

[s-(-a-bi)]}-1.

(22)

根據(jù)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及LESO增益矩陣式(6)可得

(2+r)a=β1=3ωo,

(23)

(24)

(25)

根據(jù)式(23)～(25)可以進(jìn)一步推出如下關(guān)系：

3a2-2β1a+θβ2=b2,

(26)

(27)

rθβ1β2(2+r)2-2r2β13-λβ3(2+r)3=0,

(28)

(β1-2a)(a2+b2)-λβ3=0.

(29)

為了簡(jiǎn)化分析和加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，利用“主導(dǎo)極點(diǎn)”的思想，令實(shí)數(shù)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，使參數(shù)r滿足如下條件：

r>3.

(30)

將式(28)變換為如下形式：

(31)

在式(30)的約束下，由式(31)可以推導(dǎo)出此時(shí)調(diào)節(jié)因子θ和λ必須滿足如下關(guān)系：

(32)

根據(jù)高階系統(tǒng)的時(shí)域分析法[19]，舍掉非主導(dǎo)極點(diǎn)部分，式(22)中傳遞函數(shù)Ψ(s)可以近似為二階系統(tǒng)，重新配置增益，將其變換為如下形式：

(33)

系統(tǒng)阻尼比

(34)

顯然，此時(shí)ψ(s)為二階欠阻尼系統(tǒng).

2.3 調(diào)節(jié)因子取值范圍

根據(jù)古典控制理論中的勞斯判據(jù)，列出式(17)LILESO(s)的勞斯列表(表1).

表1 ILESO特征方程的勞斯列表Tab.1 The Routh-Hurwitz table ofILESO’s characteristic equation

為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定性，調(diào)節(jié)因子需滿足下列條件：

(35)

綜合增益矩陣式(6)和2.2中的式(21)、(30)和(32)，可得ILESO調(diào)節(jié)因子θ和λ的取值范圍如下：

(36)

值得注意的是，引入“主導(dǎo)極點(diǎn)”的思想是為了便于簡(jiǎn)化分析.在工程中可以放寬式(30)和(32)的約束要求，根據(jù)控制精度要求和抑制高頻擾動(dòng)的帶寬要求，按照實(shí)時(shí)仿真的結(jié)果，靈活改變調(diào)節(jié)因子的取值，以達(dá)到最佳控制效果.

在工程實(shí)際操作中，可以先設(shè)置θ=1,λ=1，大致調(diào)節(jié)(粗調(diào))ωo，使觀測(cè)器性能達(dá)到一個(gè)相對(duì)合理的程度，然后根據(jù)式(36)的調(diào)節(jié)因子取值范圍適當(dāng)微調(diào)(精細(xì)調(diào)節(jié))θ和λ的取值，從而達(dá)到進(jìn)一步改進(jìn)觀測(cè)器性能的目的.

3 ILESO的跟蹤誤差

(37)

(38)

E×w(τ)dτ.

(39)

(40)

進(jìn)一步計(jì)算可得LESO的穩(wěn)態(tài)誤差上界

(41)

顯然對(duì)于ILESO，它的穩(wěn)態(tài)誤差也是有界的，在傳統(tǒng)LESO的基礎(chǔ)上，其形式如下：

(42)

因此可得結(jié)論：當(dāng)線性時(shí)不變系統(tǒng)含有擾動(dòng)，且擾動(dòng)的導(dǎo)數(shù)有上界δ，那么ILESO的跟蹤誤差也有界，且遠(yuǎn)小于δ.進(jìn)一步增大觀測(cè)器增益系數(shù)，可以降低跟蹤誤差，即達(dá)到一種實(shí)用穩(wěn)定.

對(duì)于ILESO，因?yàn)棣?1,θ>1，在相同條件下，其跟蹤誤差相比于傳統(tǒng)LESO更小.

4 ILESO的時(shí)域暫態(tài)性能

4.1 調(diào)節(jié)時(shí)間

調(diào)節(jié)時(shí)間是指響應(yīng)到達(dá)并保持在終值±5%或±2% 誤差內(nèi)所需的最短時(shí)間[19]，根據(jù)欠阻尼二階系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)的結(jié)論，選取誤差帶Δ=0.02，根據(jù)式(33)，調(diào)節(jié)時(shí)間可表示為

ts=4.4/a.

(43)

在式(27)中，參數(shù)a是調(diào)節(jié)因子θ和λ的隱函數(shù)，分別對(duì)θ和λ求導(dǎo)可得

(44)

(45)

綜合式(6)、(21)和(23)可知，a′(θ)>0，a′(λ)<0恒成立，因此參數(shù)a與θ正相關(guān)，與λ負(fù)相關(guān).

綜上所述，增大調(diào)節(jié)因子θ或者減小λ，都會(huì)使調(diào)節(jié)時(shí)間減少，從而加快系統(tǒng)響應(yīng)速度.

4.2 超調(diào)量

根據(jù)欠阻尼二階系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)的結(jié)論[19]，超調(diào)量可以表示為：

(46)

下面對(duì)超調(diào)量作進(jìn)一步的討論.

(i) 調(diào)節(jié)因子λ不變，調(diào)節(jié)θ.

聯(lián)立式(23)和(30)，可得參數(shù)a的取值范圍如下：

(47)

將式(44)化成如下形式：

(48)

其中m=β1-2a，且3m+θβ2/m-2β1>0.根據(jù)式(47)可知

(49)

在式(26)中，參數(shù)b是調(diào)節(jié)因子θ的隱函數(shù)，對(duì)θ求導(dǎo)可得

(50)

將式(48)代入式(50)中可得

(51)

綜合式(6)和(49)可知，當(dāng)滿足式(21)的條件時(shí)，重寫為

可以保證b′(θ)>0恒成立.

a/b同樣是調(diào)節(jié)因子θ的隱函數(shù)，對(duì)θ求導(dǎo)可得

(52)

將式(48)和(50)代入式(52)中，聯(lián)立式(26)可得

(53)

其中

(θβ2-m(β1-m)).

(54)

綜合式(49)可知，當(dāng)θ>1時(shí)

(55)

h(θ)>0恒成立，所以a/b和調(diào)節(jié)因子θ正相關(guān).

(ii) 調(diào)節(jié)因子θ不變，調(diào)節(jié)λ.

綜合分析式(26)，考慮到式(47)，易知參數(shù)a和b負(fù)相關(guān)，即a/b和調(diào)節(jié)因子λ負(fù)相關(guān).

綜上所述，增大調(diào)節(jié)因子θ或者減小λ，都會(huì)使超調(diào)量σ%減少.

4.3 峰值時(shí)間

峰值時(shí)間是指階躍響應(yīng)超過(guò)終值，到達(dá)第一個(gè)峰值所需的最短時(shí)間[19].可以表示為

(56)

根據(jù)前面對(duì)參數(shù)a和b的分析可知，增大調(diào)節(jié)因子θ或者增大λ，都可以使峰值時(shí)間減小.

圖1 ILESO擾動(dòng)跟蹤階躍響應(yīng)曲線Fig.1 Step response curve of ILESO’s noise track

圖1(a)仿真結(jié)果說(shuō)明，增大調(diào)節(jié)因子θ可以減少調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量和峰值時(shí)間；圖1(b)說(shuō)明，增大調(diào)節(jié)因子λ會(huì)增大調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量，但峰值時(shí)間減小.該結(jié)論與上述理論分析吻合.

值得注意的是，如一直增大θ，則會(huì)破壞式(30)和(32)的約束條件，且超調(diào)量會(huì)消失，調(diào)節(jié)時(shí)間會(huì)轉(zhuǎn)而增加，響應(yīng)會(huì)變緩慢，因此調(diào)節(jié)因子θ不能無(wú)限增加.

(a)LESO和ILESO帶寬相同; (b)ILESO帶寬大于LESO.圖2 LESO和ILESO擾動(dòng)跟蹤階躍響應(yīng)曲線Fig.2 Step response curve of LESO and ILESO’s noise track

從圖2(a)中可以看出，在帶寬近似相同，即觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)抑制能力不變的情況下，依靠調(diào)節(jié)兩個(gè)因子可以使得ILESO的峰值時(shí)間比LESO更短，響應(yīng)速度更快.從圖2(b)中可以看出，增大帶寬可以加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，該結(jié)論與已有經(jīng)驗(yàn)吻合.

5 ILESO的帶寬

將式(33)中的Ψ(s)近似看作ILESO擾動(dòng)跟蹤的閉環(huán)傳遞函數(shù).根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)[19]，設(shè)ILESO的觀測(cè)帶寬為ωb，可以列出如下方程：

(57)

化簡(jiǎn)可得

(58)

(59)

綜合4.1～4.3節(jié)中的結(jié)論可知，增大調(diào)節(jié)因子θ或者增大λ，都會(huì)使觀測(cè)帶寬ωb增加；并且ILESO的觀測(cè)帶寬ωb可以由式(23)～(25)和式(59)定量計(jì)算得到.

為了驗(yàn)證上述分析，設(shè)定ωc=5 rad/s,ωo=20 rad/s，調(diào)節(jié)因子λ=80，θ分別取值為10，12，14，15，根據(jù)2.2節(jié)中式(20)給出的ILESO擾動(dòng)跟蹤的閉環(huán)傳遞函數(shù)，繪制bode圖對(duì)比曲線如圖3(a)所示，bode圖中橫坐標(biāo)是擾動(dòng)頻率，縱坐標(biāo)分別是信號(hào)幅值和相位.

其他條件不變，設(shè)定調(diào)節(jié)因子θ=10，λ分別取值為50，60，70，80，ILESO擾動(dòng)跟蹤的閉環(huán)傳遞函數(shù)的bode圖對(duì)比曲線如圖3(b)所示.

從圖3(a)可以看出，增大調(diào)節(jié)因子θ，ILESO的觀測(cè)帶寬ωb增加；從圖3(b)可以看出，增大調(diào)節(jié)因子λ，ILESO的觀測(cè)帶寬ωb增加.該結(jié)論驗(yàn)證了上述理論分析的正確性.

6 ADRC整體仿真

6.1 傳統(tǒng)LESO

綜合式(1)、(3)、(7)和(9)，搭建LADRC的Simulink仿真框圖，并編寫相應(yīng)Matlab程序.將兩個(gè)調(diào)節(jié)因子θ和λ分別置為1，此時(shí)ILESO等同于傳統(tǒng)LESO.設(shè)定輸入v為單位階躍信號(hào)，LESO的帶寬ωo為20 rad/s，控制器帶寬ωc為5 rad/s，并使系統(tǒng)(1)控制輸入系數(shù)b0=1.

假設(shè)總擾動(dòng)包含的正弦波頻率為18(rad/s)，矩形波周期為π(s)，斜坡信號(hào)斜率為0.5，即

(60)

(a)調(diào)節(jié)因子θ對(duì)ILESO帶寬的影響(λ=80); (b)調(diào)節(jié)因子λ對(duì)ILESO帶寬的影響(θ=10).圖3 ILESO擾動(dòng)跟蹤的bode圖Fig.3 Bode diagram of ILESO’s noise track

仿真結(jié)果如圖4所示，圖中橫坐標(biāo)是仿真時(shí)刻，縱坐標(biāo)是信號(hào)幅值，測(cè)得此時(shí)矩形波的調(diào)節(jié)時(shí)間為ts≈0.45 s.

6.2 改進(jìn)型LESO(ILESO)

重新設(shè)置調(diào)節(jié)因子θ=1.08,λ=1.785，保持 3.1節(jié)中其余仿真參數(shù)和仿真條件不變.此時(shí)ILESO的帶寬ωb=22.6 rad/s≈ωo，測(cè)得調(diào)節(jié)時(shí)間ts<0.35 s，超調(diào)量σ%<12%，仿真結(jié)果如圖5(a)～(d).

重新設(shè)置調(diào)節(jié)因子θ=15.5,λ=80，保持3.1節(jié)中其余仿真參數(shù)和仿真條件不變，此時(shí)ILESO觀測(cè)帶寬ωb≈205 rad/s，仿真結(jié)果如圖5(e)～(h).

從圖5(a)～(d)可以看出，在與傳統(tǒng)LESO的帶寬ωo基本保持不變的情況下，正弦波、矩形波、斜坡的暫態(tài)響應(yīng)速度已經(jīng)明顯加快.從圖5(e)～(h)可以看出，當(dāng)放開對(duì)帶寬的限制時(shí)，靈活改變兩個(gè)調(diào)節(jié)因子θ和λ的值，矩形波的調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量幾乎可以忽略不計(jì)，正弦信號(hào)跟蹤誤差也大幅減小.

對(duì)比圖4和圖5可以看出,ILESO只需通過(guò)兩個(gè)調(diào)節(jié)因子的搭配就可以優(yōu)化觀測(cè)器的調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量，靈活調(diào)節(jié)暫態(tài)響應(yīng)的速度和跟蹤誤差.

7 結(jié) 論

針對(duì)二階系統(tǒng)ADRC的LESO暫態(tài)跟蹤性能的不足和帶寬之間的矛盾，提出了一種ILESO.在傳統(tǒng)“帶寬法”配置極點(diǎn)的基礎(chǔ)上，在觀測(cè)器方程中增加兩個(gè)調(diào)節(jié)因子，從而可以根據(jù)外部噪聲的頻率和內(nèi)部擾動(dòng)的特征，靈活配置極點(diǎn)位置，增進(jìn)了觀測(cè)器的暫態(tài)性能.擾動(dòng)觀測(cè)帶寬的大小可以根據(jù)實(shí)際情況靈活調(diào)節(jié)，增強(qiáng)了對(duì)噪聲的抑制能力.通過(guò)理論分析，得到兩個(gè)調(diào)節(jié)因子與系統(tǒng)暫態(tài)性能、帶寬之間的定性關(guān)系.通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真對(duì)比，證明了該方法的優(yōu)越性，為實(shí)際的工程控制應(yīng)用提供了一種新方法.本文中基于“帶寬法”提供了時(shí)域分析的一種方法，另一種思路是直接通過(guò)“主導(dǎo)極點(diǎn)”分析給出暫態(tài)性能和觀測(cè)器主導(dǎo)極點(diǎn)參數(shù)之間的關(guān)系，是值得將來(lái)進(jìn)一步考慮的問(wèn)題.