基于三角模糊數(shù)的灰色關(guān)聯(lián)動(dòng)態(tài)分辨系數(shù)算法研究

蘇鵬，李晉宏

（北方工業(yè)大學(xué)信息學(xué)院，北京 100144）

0 引言

灰色關(guān)聯(lián)分析是一種計(jì)算多個(gè)序列對(duì)目標(biāo)序列接近程度或叫關(guān)聯(lián)程度的算法模型，其屬于灰色理論的一個(gè)重要分支。關(guān)聯(lián)分析與分類和回歸分析等都屬于機(jī)器學(xué)習(xí)方法[1-2]?；疑P(guān)聯(lián)分析是鄧聚龍教授[3]所提出，自此提出后灰色關(guān)聯(lián)分析等相關(guān)的灰色理論在社會(huì)生產(chǎn)，資源利用，軍事評(píng)估等方面發(fā)揮著越來越重要的作用[4,5]?；疑P(guān)聯(lián)分析是指對(duì)一個(gè)系統(tǒng)發(fā)展變化態(tài)勢(shì)的定量描述和比較的方法，其基本思想是根據(jù)各因素變化曲線幾何形狀的相似程度，來判斷因素之間關(guān)聯(lián)程度的方法。此方法通過對(duì)動(dòng)態(tài)過程發(fā)展態(tài)勢(shì)的量化分析，完成對(duì)系統(tǒng)內(nèi)序列有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)幾何關(guān)系的比較，求出參考數(shù)列與各比較數(shù)列之間的灰色關(guān)聯(lián)度。與參考數(shù)列關(guān)聯(lián)度越大的比較數(shù)列，其發(fā)展方向和速率與參考數(shù)列越接近，與參考數(shù)列的關(guān)系越緊密[6]。

在灰色關(guān)聯(lián)分析的基本步驟中，計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)時(shí)，涉及到一個(gè)分辨系數(shù)ρ。這個(gè)分辨系數(shù)在鄧聚龍教授所發(fā)表的論文中描述為：“分辨系數(shù)的取值范圍為（0，1），通常取0.5”[7]。這個(gè)分辨系數(shù)，并沒有一個(gè)量化標(biāo)準(zhǔn)，無論在怎樣的模型中，無論模型設(shè)計(jì)如何，這個(gè)分辨系數(shù)ρ都是0.5。就其理論而言，這個(gè)分辨系數(shù)是來調(diào)節(jié)兩個(gè)序列在每個(gè)點(diǎn)位的關(guān)聯(lián)系數(shù)大小，從而影響最終兩個(gè)序列間的關(guān)聯(lián)度大小，并可以調(diào)節(jié)各個(gè)參考序列間關(guān)聯(lián)度的區(qū)分度。在近些年，很多人針對(duì)這個(gè)分辨系數(shù)有過研究：呂鋒[8]認(rèn)為觀測(cè)序列平穩(wěn)與否影響ρ值的大??；東亞斌等[9]分析了分辨系數(shù)對(duì)關(guān)聯(lián)度的影響，認(rèn)為當(dāng)序列波動(dòng)大時(shí)ρ應(yīng)該取較小值，當(dāng)序列平穩(wěn)時(shí)ρ應(yīng)該取較大值。這些研究者從算法模型和數(shù)據(jù)序列出發(fā)，做出了較好的分析和結(jié)論，并給出了ρ的范圍判斷。錢隼馳和仇蕾[10]提出了數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方式對(duì)ρ進(jìn)行定量取值，來增大關(guān)聯(lián)度之間的分辨率，他們給出了ρ值的量化計(jì)算方法，但過程和邏輯復(fù)雜，且主要針對(duì)只有兩個(gè)序列情況排序，對(duì)多序列排序復(fù)雜度高且可能有平衡性問題。同樣對(duì)此問題，本文給出了一個(gè)可量化的基于三角模糊數(shù)的動(dòng)態(tài)分辨系數(shù)算法。

1 傳統(tǒng)灰色關(guān)聯(lián)分析及其分辨系數(shù)

1.1 傳統(tǒng)灰色關(guān)聯(lián)分析模型

輸入：參考序列Y={Y(k)|k=1,2,...n}；比較序列Xi={Xi(k)|k=1,2,...n},i=1,2,...m。

輸出：比較序列對(duì)參考序列的關(guān)聯(lián)度排序。

步驟1：確定參考序列和比較序列。參考序列是目標(biāo)序列，比較序列是可能對(duì)參考序列有影響的參數(shù)組成的序列。

步驟2：變量的無量綱化。由于系統(tǒng)中多個(gè)因素中的數(shù)據(jù)可能量綱不同，放在一起比較會(huì)有較大誤差，因此用以下公式做數(shù)據(jù)無量綱化處理，無量綱化處理同時(shí)也完成了歸一化：

正向歸一化：

負(fù)向歸一化：

還有其他歸一化方式：

步驟3：計(jì)算絕對(duì)差

步驟4：計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)

步驟5：計(jì)算關(guān)聯(lián)度。根據(jù)計(jì)算出來的關(guān)聯(lián)系數(shù)計(jì)算每個(gè)比較序列x的關(guān)聯(lián)度

步驟6：關(guān)聯(lián)度排序。將計(jì)算出來的m個(gè)關(guān)聯(lián)度按大小排序，關(guān)聯(lián)度越大代表這個(gè)x序列對(duì)原始目標(biāo)序列y影響越大。

1.2 傳統(tǒng)灰色關(guān)聯(lián)分析模型中分辨系數(shù)的缺陷

針對(duì)這個(gè)問題，我們依據(jù)灰色關(guān)聯(lián)分析的幾何意義，結(jié)合三角模糊函數(shù)，給出了分辨系數(shù)ρ的量化算法。

2 基于三角模糊數(shù)的動(dòng)態(tài)分辨系數(shù)算法

2.1 傳統(tǒng)灰色關(guān)聯(lián)分析的理論及改進(jìn)點(diǎn)

首先，我們知道灰色關(guān)聯(lián)的基本思想是，微觀上用序列的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)在二維坐標(biāo)縱軸上的接近程度來描繪它們之間的聯(lián)系，進(jìn)而在宏觀上根據(jù)序列幾何形狀的相似度來判斷不同序列之間的關(guān)聯(lián)度，兩條曲線的形狀越相似，它們的關(guān)聯(lián)度就越大。

由理論得到的是計(jì)算灰色關(guān)聯(lián)度的六個(gè)計(jì)算步驟。我們根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)的基本思想結(jié)合鄧聚龍教授給出的計(jì)算步驟，可知：此算法的核心點(diǎn)在于：計(jì)算序列數(shù)據(jù)點(diǎn)的絕對(duì)差。絕對(duì)差計(jì)算的是兩條序列上各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的差值。它代表了基本思想中“數(shù)據(jù)在二維坐標(biāo)縱軸上的接近程度”，這也是描繪兩條序列近似與否的關(guān)鍵。

針對(duì)絕對(duì)差，它反應(yīng)兩個(gè)序列的近似程度，即絕對(duì)差越小，此處關(guān)聯(lián)系數(shù)應(yīng)該越大。因此，本文瞄準(zhǔn)序列的絕對(duì)差，根據(jù)絕對(duì)差動(dòng)態(tài)調(diào)整分辨系數(shù)ρ。

則（5）式所計(jì)算的關(guān)聯(lián)系數(shù)為真分?jǐn)?shù)，又因?yàn)檎娣謹(jǐn)?shù)分子分母同時(shí)增大一個(gè)相同的值，這個(gè)真分?jǐn)?shù)也會(huì)變大，得關(guān)聯(lián)系數(shù)和分辨系數(shù)正相關(guān)。

綜上，得到兩個(gè)理論：

（1）絕對(duì)差越小，則我們應(yīng)該讓關(guān)聯(lián)系數(shù)越大；

（2）實(shí)際計(jì)算時(shí)，分辨系數(shù)可以調(diào)節(jié)關(guān)聯(lián)系數(shù)，且分辨系數(shù)越大，關(guān)聯(lián)系數(shù)越大。

所以，本文根據(jù)絕對(duì)差結(jié)合模糊三角函數(shù)，設(shè)計(jì)了一套動(dòng)態(tài)計(jì)算分辨系數(shù)的算法。

2.2 三角模糊數(shù)理論

三角模糊數(shù)源自“模糊數(shù)學(xué)”，模糊數(shù)學(xué)又稱Fuzzy數(shù)學(xué)，是研究和處理模糊性現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)理論和方法。模糊數(shù)學(xué)中常用的模型包括三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)等，本算法所用的是三角模糊數(shù)[13]。

三角模糊數(shù)，對(duì)應(yīng)二維坐標(biāo)上的一個(gè)三角形函數(shù)，如下圖：

圖1 三角模糊數(shù)圖

其隸屬度被表達(dá)如下：

2.3 對(duì)分辨系數(shù)的改進(jìn)

根據(jù)之前得到的理論，我們需要得到一個(gè)隨著絕對(duì)差變大，分辨系數(shù)變小的函數(shù)，在此結(jié)合三角模糊數(shù)，對(duì)分辨系數(shù)做改進(jìn)。對(duì)這種方式本文設(shè)計(jì)了如下基于三角模糊數(shù)的分辨系數(shù)計(jì)算方式：首先根據(jù)絕對(duì)差跟分辨系數(shù)的取值范圍和關(guān)系構(gòu)造以下三角模糊數(shù)：

圖2 自定義的三角模糊數(shù)圖

3 數(shù)據(jù)驗(yàn)證與對(duì)比

3.1 基于三角模糊數(shù)的動(dòng)態(tài)分辨系數(shù)算法計(jì)算過程及結(jié)果

表1 原始數(shù)據(jù)序列

計(jì)算步驟及結(jié)果如下：

表2 絕對(duì)差

根據(jù)絕對(duì)差計(jì)算每個(gè)分辨系數(shù)ρ，見表3：

表3 動(dòng)態(tài)計(jì)算的分辨系數(shù)ρ值

3.2 對(duì)比分析

關(guān)聯(lián)度計(jì)算，結(jié)果如表4：

表4 關(guān)聯(lián)度結(jié)果表

其中，Ρ=0.5，對(duì)應(yīng)傳統(tǒng)算法得到的關(guān)聯(lián)度；ρ=0.458，是文獻(xiàn)［8］優(yōu)化得到的ρ值，這行數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)文獻(xiàn)［8］優(yōu)化后得到的關(guān)聯(lián)度；動(dòng)態(tài)ρ，對(duì)應(yīng)本文算法得到的關(guān)聯(lián)度；而文獻(xiàn)［10］是計(jì)算兩個(gè)序列的關(guān)聯(lián)度，不容易展示五個(gè)關(guān)聯(lián)度，此處未展示。

與文獻(xiàn)［10］結(jié)果對(duì)比，見下表：

因?yàn)槲墨I(xiàn)［10］主要針對(duì)兩序列計(jì)算關(guān)聯(lián)度，所以在他的論文中主要比較了一些特殊序列的關(guān)聯(lián)度差值，即上表中五個(gè)差值。本文沿用這五處點(diǎn)位以方便對(duì)比結(jié)果，因?yàn)閿?shù)值進(jìn)位不同，計(jì)算時(shí)小數(shù)第三位可能略有差異。此表，第2至第6列，是列舉的五處關(guān)聯(lián)度差值，第2至第5行分別代表傳統(tǒng)灰關(guān)聯(lián)，文獻(xiàn)［8］優(yōu)化的灰關(guān)聯(lián)，文獻(xiàn)［10］優(yōu)化的灰關(guān)聯(lián)和本文優(yōu)化的灰關(guān)聯(lián)。

另外，根據(jù)表5可以看出，傳統(tǒng)ρ=0.5的灰關(guān)聯(lián)計(jì)算得到的五個(gè)關(guān)聯(lián)度都很大，主次區(qū)分不明確。我們用最大關(guān)聯(lián)度減去最小關(guān)聯(lián)度的值，來衡量區(qū)分度強(qiáng)弱。結(jié)果為：ρ=0.5時(shí)，即傳統(tǒng)灰關(guān)聯(lián)，差值為0.212；ρ=0.458，即文獻(xiàn)［8］優(yōu)化的灰關(guān)聯(lián)，差值為0.216；動(dòng)態(tài)ρ，即本文優(yōu)化的灰關(guān)聯(lián)，差值為0.335?？梢园l(fā)現(xiàn)，本文的算法能更好的提升各個(gè)序列關(guān)聯(lián)度的差異，從而擴(kuò)大區(qū)分度，提高分辨率。

表5 結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)語

針對(duì)在實(shí)際使用中發(fā)現(xiàn)灰色關(guān)聯(lián)分析分辨率低的問題，本文從理論出發(fā)結(jié)合計(jì)算公式，設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)分辨系數(shù)算法。本文探索結(jié)果總結(jié)如下：

（1）計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)時(shí)，無論在理論上還是計(jì)算公式上，絕對(duì)差都發(fā)揮重要作用。

（2）本文根據(jù)絕對(duì)差和分辨系數(shù)的關(guān)系，設(shè)計(jì)了基于三角模糊數(shù)的動(dòng)態(tài)分辨系數(shù)算法。在實(shí)際數(shù)據(jù)序列中絕對(duì)差越小的地方，則計(jì)算得到的分辨系數(shù)越大，最終得到的關(guān)聯(lián)度也越大；反之則同理越小。

（3）本文設(shè)計(jì)的算法跟以往優(yōu)化分辨系數(shù)的算法相比，用他們的比較方法，算出的分辨率完全勝過之前算法的結(jié)果。