關(guān)于初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維的比較研究

郭智

[摘? 要] 無論在什么樣的教學(xué)背景下，思維一直受到數(shù)學(xué)教師的重視;數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的每一個要素，都是思維的產(chǎn)物. 借助于比較研究的方法，將思維激活與數(shù)學(xué)發(fā)展、思維激活與思維定式、思維激活與學(xué)習(xí)反思三個關(guān)系進(jìn)行研究，可以更加深刻地認(rèn)識在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中激活學(xué)生思維的重要意義，并找到激活學(xué)生思維的操作辦法.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);初中生;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);思維激活

思維被譽(yù)為世界上最美的花朵，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的思維是根本任務(wù). 無論在什么樣的教學(xué)背景下，思維一直受到數(shù)學(xué)教師的重視，即便是在“雙基”時代，基礎(chǔ)知識的積累與基本技能的形成也伴隨著對思維的高度重視;進(jìn)入課程改革之后，又或者是在當(dāng)前核心素養(yǎng)培育的語境里，思維依然受到高度重視. 盡管數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中沒有明確提及思維這一概念，但是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的每一個要素，都是思維的產(chǎn)物. 數(shù)學(xué)抽象離不開思維，邏輯推理更加離不開思維，而數(shù)學(xué)模型則是思維的綜合產(chǎn)物，所以從這個角度講可以認(rèn)為初中是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵階段，而初中生正處于好奇心和學(xué)習(xí)性極強(qiáng)的時期，因此教師應(yīng)該把握時機(jī)，對初中生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行培養(yǎng)和鍛煉.

培養(yǎng)學(xué)生的思維需要建立在對思維有深刻理解的基礎(chǔ)之上，同時要以學(xué)生作為研究對象，以學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為研究對象. 只有把握住了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，認(rèn)識到學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中有哪些心理特征，才能真正號準(zhǔn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的脈搏，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在思維培養(yǎng)的過程中實現(xiàn)落地. 本文借助于比較研究的方法，將思維激活與數(shù)學(xué)發(fā)展、思維激活與思維定式、思維激活與學(xué)習(xí)反思三個關(guān)系進(jìn)行了研究，取得了一些認(rèn)識，總結(jié)成文章與同行分享.

思維激活與數(shù)學(xué)發(fā)展

所謂數(shù)學(xué)發(fā)展，是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識與解決數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知發(fā)展. 很顯然，數(shù)學(xué)發(fā)展的過程離不開學(xué)生思維的激活，如果學(xué)生的思維得不到激活，那數(shù)學(xué)發(fā)展是無法實現(xiàn)的. 進(jìn)一步研究表明，從數(shù)學(xué)教育角度出發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展過程大致可分為三個階段：一是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，即學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，將實際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，并進(jìn)行符號化處理，進(jìn)而抽象成數(shù)學(xué)模型或者數(shù)學(xué)問題;二是數(shù)學(xué)完善過程，即學(xué)生在初步建立了數(shù)學(xué)模型之后，對已有數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解釋，做進(jìn)一步抽象化處理，嘗試建立更新的、更完善的數(shù)學(xué)模型;三是數(shù)學(xué)應(yīng)用過程，即學(xué)生運用所獲得的數(shù)學(xué)模型解決實際問題.

研究上述數(shù)學(xué)發(fā)展的過程可以發(fā)現(xiàn)，這樣一個數(shù)學(xué)發(fā)展的界定是圍繞數(shù)學(xué)模型的建立與數(shù)學(xué)問題的解決來進(jìn)行的，事實上初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，也確實是一個建立數(shù)學(xué)模型與運用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題的過程. 而且進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，數(shù)學(xué)發(fā)展與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)建模兩個要素直接相關(guān).

以“等腰三角形的性質(zhì)和判定”這一內(nèi)容的教學(xué)為例，當(dāng)學(xué)生利用等腰三角形的對稱性發(fā)現(xiàn)了它的一些性質(zhì)之后，證明這些性質(zhì)成為主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容. 從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度來看，當(dāng)學(xué)生對等腰三角形建立了認(rèn)識之后，可以認(rèn)為等腰三角形就以模型的形態(tài)存在于學(xué)生的思維當(dāng)中，而探究等腰三角形的性質(zhì)就是豐富這一模型的過程.

再從思維的角度來看，等腰三角形性質(zhì)的探究過程，必須以學(xué)生的思維激活為前提，而這里的主要激活方向就是全等三角形的運用. 比如要證明“等腰三角形的兩個底角相等”，那就必須作出等腰三角形頂角的平分線（如圖1），這是關(guān)鍵. 那么怎樣讓學(xué)生自己想到去作這條輔助線呢？筆者采取的方法是誘導(dǎo)：要證明∠B等于∠C，那就必須將∠B和∠C分別置于兩個可能全等的三角形當(dāng)中，那么這兩個全等三角形的構(gòu)造，只可能在對稱性認(rèn)識的啟發(fā)之下，作頂角的角平分線.

類似的，“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合”這一結(jié)論的得出也可以采用這種教學(xué)方法. 對于教師而言這樣的教學(xué)是一個引導(dǎo)的過程，對于學(xué)生而言這樣的學(xué)習(xí)是一個思維被激活的過程. 在這樣的一個過程當(dāng)中，學(xué)生大腦中的等腰三角形這一模型的內(nèi)涵不斷被豐富，于是思維的激活也就促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展，同時數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素也得到了不同程度的培養(yǎng).

思維激活與思維定式

思維定式是一個非常專業(yè)的心理學(xué)詞語，思維定式又稱學(xué)習(xí)定式或?qū)W習(xí)心向，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，思維活動所具有的心理準(zhǔn)備狀態(tài). 這種由學(xué)生先前的活動和知識經(jīng)驗、思維方式、習(xí)慣等構(gòu)成的心理準(zhǔn)備狀態(tài)，對后繼思維產(chǎn)生傾向性影響，從而使思維活動趨于一定的方向. 通常情況下，思維定式被認(rèn)為是一個貶義詞，正是因為思維定式，學(xué)生無論是在數(shù)學(xué)知識的積累過程中，還是在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，都很難有所創(chuàng)新. 因此很多時候，思維定式與思維激活之間就成了水火不容的矛盾.

但是專業(yè)的研究表明，這一認(rèn)識是有問題的，很多時候正是學(xué)生的思維定式，使得學(xué)生能夠更好地確定數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)問題解決的方向. 一個非常有說服力的例子就是，在上面探究等腰三角形的性質(zhì)——“等腰三角形的兩個底角相等”時，學(xué)生的思維之所以能夠被激活，很大程度上就是因為學(xué)生大腦當(dāng)中有“等腰三角形是軸對稱圖形”這一基本認(rèn)識，因為有這一認(rèn)識，學(xué)生才能在教師的引導(dǎo)之下順利地想到作頂角的角平分線這一最關(guān)鍵的輔助線. 因此從這個角度講，思維定式是思維激活的前提，教師只有把握住了學(xué)生思維當(dāng)中的已有材料，確定好學(xué)生起初的思維“定”在哪個水平，才能更好地進(jìn)行思維的激活.

例如，上面提到的“三線合一”這一定理的證明，其實是可以交由學(xué)生自己去探究完成的. 為什么呢？因為在證實“等邊對等角”這一結(jié)論的過程中，學(xué)生的思維定式水平已經(jīng)被提高了，這個時候更加豐富的對等腰三角形性質(zhì)的認(rèn)識，使得學(xué)生思維當(dāng)中的等腰三角形模型更加完整，學(xué)生可以在這樣的思維定式水平之上，極快地發(fā)現(xiàn)等腰三角形頂角的角平分線同時也是底邊的中線與高.

進(jìn)一步，在證明“如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”這一結(jié)論時，學(xué)生已有的思維水平無疑定在了“等邊對等角”上，而“等邊對等角”與“等角對等邊”是命題與逆命題的關(guān)系，所以教師在激活學(xué)生思維的時候，重點應(yīng)該在根據(jù)命題去尋找逆命題的正確表述上. 確定了這個重點，思維激活也就有了抓手，學(xué)生就可以在原有的思維水平上有所突破，從而順利地得到新的結(jié)論.

因此筆者認(rèn)為，思維定式并不是一個貶義詞，數(shù)學(xué)教師教學(xué)中的一個重要任務(wù)，就是去研究學(xué)生的思維水平，這樣才能找到思維激活的最佳著力點.

思維激活與學(xué)習(xí)反思

思維激活，要激活的是學(xué)生的思維，學(xué)生的思維要想被真正激活，除了教師的幫助之外，更重要的是學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力. 那學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力怎樣才能形成呢？筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中反思，在數(shù)學(xué)問題得到解決之后反思，可以有效培養(yǎng)學(xué)生思維自我激活的能力. 學(xué)習(xí)反思要特別重視系統(tǒng)性，這是因為系統(tǒng)的總結(jié)與反思是數(shù)學(xué)課堂的第二次回歸，是對新知識模塊內(nèi)在聯(lián)系的系統(tǒng)整理，是把新知識模塊通過順應(yīng)與同化有機(jī)地融入已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程. 同時這也要求學(xué)生既要回歸數(shù)學(xué)教材、數(shù)學(xué)法則，更要回歸數(shù)學(xué)的基本原理，這是數(shù)學(xué)知識系列化、系統(tǒng)化的過程.

因為反思，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中存在一個回歸的過程，回歸其實是一種感性的表述，本質(zhì)上是指思維. 也就是說在總結(jié)反思的過程中，學(xué)生用學(xué)習(xí)之后的思維去加工學(xué)習(xí)過程中的思維，并發(fā)現(xiàn)自己在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中、在數(shù)學(xué)問題解決過程中的思維存在哪些不足. 而發(fā)現(xiàn)了不足之后，學(xué)生自然會思考一個問題：怎樣彌補(bǔ)自己的不足？在這個問題的驅(qū)動之下，學(xué)生會自主地、有意識地改善自己的學(xué)習(xí)方式，提高自己的學(xué)習(xí)能力，于是也就完成了思維的自我激活過程.

例如，在“等腰三角形的性質(zhì)和判定”的學(xué)習(xí)過程中，有不少學(xué)生走了彎路，而在筆者組織的合作反思中，這些學(xué)生在與同組同學(xué)交流時，就說出“當(dāng)時如果我這么想就好了”“其實我應(yīng)該像你思考的那樣去思考”等話語，其實這樣的話語就表明學(xué)生已經(jīng)在自己的思維上形成了反思，而這必將為學(xué)生后來的思維發(fā)展奠定基礎(chǔ).

總的來說，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，數(shù)學(xué)教師要善于激活學(xué)生的思維，而在激活學(xué)生思維的過程中要善于進(jìn)行比較，這樣才能找到思維激活之基.