剖析瓜豆原理，探究動點(diǎn)軌跡

宋璨

[摘? 要] “瓜豆原理”是解析主從聯(lián)動軌跡問題重要的數(shù)學(xué)原理，解析過程涉及幾何旋轉(zhuǎn)、相似、全等、共線等幾何知識，綜合性極強(qiáng). 探究時要挖掘動點(diǎn)關(guān)聯(lián)，確定動點(diǎn)軌跡，實(shí)現(xiàn)問題的靜態(tài)轉(zhuǎn)化. 文章將深入剖析“瓜豆原理”，探究軌跡模型，總結(jié)方法策略，應(yīng)結(jié)合實(shí)例應(yīng)用探究，并深入反思.

[關(guān)鍵詞] 瓜豆原理;軌跡;整體思想;主從關(guān)系;相似

幾何動點(diǎn)是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)問題，把握動點(diǎn)軌跡是問題突破的關(guān)鍵. 部分問題中往往描述的是動點(diǎn)P，但最終需要探究另一點(diǎn)Q，實(shí)際上兩點(diǎn)之間是“主從”關(guān)系，其中隱含了數(shù)學(xué)的“瓜豆原理”，即由古語“種瓜得瓜，種豆得豆”衍生出的“種”圓得“圓”，“種”線得“線”. 深入探究“瓜豆原理”，提煉軌跡模型，對于相關(guān)幾何動點(diǎn)問題的突破有一定幫助，下面逐步探究.

問題引例

例題 如圖1所示，點(diǎn)P是⊙O上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)A為定點(diǎn)，連接AP，設(shè)AP的中點(diǎn)為Q.

探究 當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡是什么？

分析 點(diǎn)Q是始終是AP的中點(diǎn)，點(diǎn)P和Q之間是“主從”運(yùn)動關(guān)系，聯(lián)想物理上的“連桿”，可猜想點(diǎn)Q的軌跡也是圓. 實(shí)際探究時可連接AO，取AO的中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M就是動點(diǎn)Q軌跡的圓心，再連接PO和QM，如圖2所示. 分析可知△AQM和△APO為相似三角形，且相似比為AM∶AO=1∶2，可推知QM= OP，即顯然任意時刻上述三角形相似關(guān)系均成立，則點(diǎn)Q的軌跡為圓，且半徑為 OP.

總結(jié) 點(diǎn)P和Q運(yùn)動過程中，始終有點(diǎn)A，Q，P三點(diǎn)共線，且QM= OP. 從幾何視角分析可知，動點(diǎn)Q的軌跡為點(diǎn)P軌跡的成比例縮放. 對于主從動點(diǎn)問題，可從動點(diǎn)之間的相關(guān)關(guān)系來分析運(yùn)動軌跡，動點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系反映在軌跡曲線特性上.

深入剖析

上述主從動點(diǎn)可視為常見的“連桿”運(yùn)動，若主從動點(diǎn)與定點(diǎn)之間不共線，又會出現(xiàn)怎樣的運(yùn)動軌跡，這也是常見動點(diǎn)軌跡問題的構(gòu)建形式，下面深入探究.

問題 如圖3所示，點(diǎn)P是⊙O上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)A為定點(diǎn)，連接AP，作AQ⊥AP，且AQ=AP，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡又是怎樣的？

分析 上述動點(diǎn)P和Q之間依然符合“主從”運(yùn)動關(guān)系，可理解成線段AP繞著點(diǎn)A進(jìn)行旋轉(zhuǎn). 考慮到“AQ⊥AP，AQ=AP”始終成立，初步可確定點(diǎn)Q的軌跡也是圓. 設(shè)點(diǎn)M為動點(diǎn)Q軌跡圓的圓心，連接AM和AO，如圖4所示，則可證△APO≌△AQM，顯然任意時刻均成立，可推知半徑MQ=PO，即動點(diǎn)Q的軌跡是半徑為MQ的圓，軌跡圓大小與點(diǎn)P的軌跡相同.

進(jìn)一步思考：上述軌跡半徑是由“AQ=AP”來決定的，若將其替換為AP=nAQ，則△APO與△AQM不再全等，而變?yōu)橄嗨脐P(guān)系，即△APO∽△AQM，且相似比AP∶AQ=AO∶AM=n∶1，任意時刻Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足QM= OP.

模型總結(jié)：基于上述分析，對于圖5所示的動點(diǎn)運(yùn)動，可稱點(diǎn)P為“主動點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動點(diǎn)”，點(diǎn)Q運(yùn)動時會帶動點(diǎn)P運(yùn)動.

在該模型中有如下兩個定量：主動點(diǎn)、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連接的夾角是固定的（即∠PAQ為定值）;主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)距離之比為定值（即 為定值）.

解析策略 在實(shí)際分析時，可從幾何視角來看，“主從”動點(diǎn)的軌跡圖形是相似或全等關(guān)系，兩動點(diǎn)之間可視為幾何“旋轉(zhuǎn)+伸縮”的衍生. 可結(jié)合整體思想，定性探究“主從”動點(diǎn)之間的運(yùn)動規(guī)律，確定軌跡的形狀;然后結(jié)合幾何性質(zhì)，定量計算運(yùn)動軌跡的大小.

應(yīng)用探究

上述深入探究了“瓜豆原理”，并總結(jié)了“主從”動點(diǎn)問題的模型及探究策略，探究“主從”動點(diǎn)的運(yùn)動關(guān)系，確定動點(diǎn)軌跡是問題突破的關(guān)鍵. 由“主從”動點(diǎn)為基礎(chǔ)構(gòu)造的問題類型也較為眾多，總體上可分為幾何軌跡相似和全等兩種情形. 解析時可分兩步進(jìn)行：第一步，根據(jù)“瓜豆原理”確定動點(diǎn)軌跡;第二步，借助直觀的圖像，利用幾何性質(zhì)模型加以突破.

1. “瓜豆原理”之旋轉(zhuǎn)全等

例1 如圖6所示，已知正方形ABCD中AB=2 ，點(diǎn)O是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的一個動點(diǎn)，OE=2，將線段DE繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到DF，在連接AE和CF，則線段OF的最小值為______.

分析 上述求點(diǎn)E運(yùn)動過程OF的最小值，由題意可知點(diǎn)E為主動點(diǎn)，而點(diǎn)F是從動點(diǎn)，點(diǎn)D是定點(diǎn)，始終有OE=2，則點(diǎn)E的軌跡是以點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓. 由于DF⊥DE，DE=DF可作DM⊥DO，且DM=DO，由“瓜豆原理”可知點(diǎn)F的軌跡是以點(diǎn)M為圓心，2為半徑的圓，如圖7所示. 后續(xù)直觀分析動點(diǎn)軌跡，直接確定OF取得最小值時的情形即可.

解 線段OF中，點(diǎn)O為定點(diǎn)，點(diǎn)F是⊙M上的動點(diǎn)，則根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知連接OM，OM與⊙M的交點(diǎn)就為OF最小時點(diǎn)F的位置. 可構(gòu)造“三垂直”全等模型，如圖7所示. 陰影部分的兩個三角形始終垂直，則DO=DM，即△DOM為等腰直角三角形. 在Rt△DOM中，已知CD=2 ，CO= ，由勾股定理可得OD=DM=5，所以O(shè)M=5 ，OF的最小值為OM-MF=5 -2.

2. “瓜豆原理”之旋轉(zhuǎn)相似

例2 如圖8所示，已知點(diǎn)C是半圓O的圓弧AB上的一個動點(diǎn)，現(xiàn)以BC為邊作正方形BCDE（弧BC位于正方形內(nèi)），再連接OD，如果AB=4，則OD的最大值為________.

分析 本題目中點(diǎn)C的軌跡是確定的，是圓弧AB，而點(diǎn)D是由動點(diǎn)所在邊為基礎(chǔ)構(gòu)造的正方形BCDE的一個頂點(diǎn)，顯然符合“瓜豆原理”，初步由“主從聯(lián)動”可確定點(diǎn)D的軌跡也為半圓. 根據(jù)題干信息可知，點(diǎn)D可由點(diǎn)C繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°獲得，故可連接BD，分析可知BD= CB，即點(diǎn)D的軌跡是點(diǎn)C軌跡繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°，且半徑擴(kuò)大 倍的半圓.

解 根據(jù)上述分析點(diǎn)D的軌跡同為半圓，將OB順時針旋轉(zhuǎn)45°，半徑擴(kuò)大 倍，可得O′B，如圖9所示. 點(diǎn)O′就為點(diǎn)D軌跡半圓的圓心，且點(diǎn)O′位于點(diǎn)O正上方的半圓弧上. 分析可知，當(dāng)點(diǎn)O，O′和D三點(diǎn)共線，且點(diǎn)D位于OO′延長線上時，OD可取得最大值. 此時OB=2，O′B=2 ，OO′=2，O′D=2 ，OD≤OO′+O′D，所以O(shè)D的最大值為2+2 .

解后反思

“瓜豆原理”是破解動點(diǎn)軌跡問題的常用模型策略，該策略準(zhǔn)確把握運(yùn)動本質(zhì)，剖析動點(diǎn)規(guī)律，借助幾何直觀“化動為靜”. 同時解析過程，注重整體思想、數(shù)形結(jié)合思想，深入探究有利于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，下面進(jìn)行深入反思.

1. 關(guān)于動點(diǎn)問題的策略總結(jié)

“瓜豆原理”常用于解析軌跡為線段和圓弧的動點(diǎn)問題，實(shí)際應(yīng)用時可結(jié)合整體思想和數(shù)形結(jié)合思想逐步剖析. 分析過程可分如下五步進(jìn)行：第一步，確定主動點(diǎn)的軌跡;第二步，挖掘主、從動點(diǎn)的幾何關(guān)系;第三步，確定主動點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，結(jié)合幾何相似或全等來推導(dǎo)從動點(diǎn)的軌跡;第四步，根據(jù)動點(diǎn)軌跡求解點(diǎn)、線、最值等問題. 同時，軌跡探究過程可結(jié)合“猜想—驗(yàn)證”的方法，提取問題中的運(yùn)動條件，基于“幾何不變量”猜想動點(diǎn)軌跡，然后結(jié)合條件嚴(yán)格論證. “共線原理”是動點(diǎn)最值問題常用的幾何原理，實(shí)際求解時可合理利用，巧妙確定最值情形.

2. 關(guān)于“瓜豆原理”的教學(xué)建議

“瓜豆原理”及動點(diǎn)軌跡問題的教學(xué)應(yīng)立足知識基礎(chǔ)，重視模型剖析，強(qiáng)化解題策略，滲透思想方法，通過知識探究來提升學(xué)生的綜合能力. 因此，教學(xué)中可設(shè)置四個環(huán)節(jié)逐步開展：環(huán)節(jié)一，預(yù)備知識引入，強(qiáng)化“瓜豆原理”的基礎(chǔ)知識，如點(diǎn)圓最值、旋轉(zhuǎn)相似或全等、軌跡意識，為后續(xù)原理探究作鋪墊;環(huán)節(jié)二，探究軌跡模型，剖析模型的解析過程，總結(jié)方法策略;環(huán)節(jié)三，開展應(yīng)用探究，歸納“瓜豆原理”適用的問題類型，幫助學(xué)生積累解題技巧;環(huán)節(jié)四，開展拓展探究，可設(shè)置變式問題，引導(dǎo)學(xué)生充分感知原理，感受模型思想. 總之，教學(xué)過程要合理設(shè)問引導(dǎo)，讓學(xué)生參與課堂討論，充分思考問題，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為教學(xué)根本.