把握幾何問題本質(zhì) 彰顯習(xí)題教育價值

白雪峰 張燕霞

[摘? 要] 基于對一道課本習(xí)題證明拓展過程的深度反思，闡明了改進和優(yōu)化例題、習(xí)題教學(xué)的三條基本策略，旨在引導(dǎo)教師聚焦培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的育人目標，深度挖掘教材中例題、習(xí)題所具有的拓展延伸和探究發(fā)現(xiàn)的教育價值.

[關(guān)鍵詞] 課本習(xí)題;證明拓展;教學(xué)反思;教育價值

眾所周知，教材（也稱教科書或課本）是依據(jù)課程標準編制的，它既是課程資源的核心，又是系統(tǒng)反映學(xué)科內(nèi)容的教學(xué)用書，也是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)科學(xué)文化的主要來源[1]. 近年來，研究如何有效“用教材教”已然成為研究教學(xué)活動的重要組成部分.

數(shù)學(xué)教材當然也不例外，它是數(shù)學(xué)教師備課、上課、布置作業(yè)和評定學(xué)生學(xué)業(yè)水平的主要依托.在數(shù)學(xué)教材中，包含了目錄、章引言（含圖）、正文、練習(xí)、習(xí)題、章小結(jié)等構(gòu)成要素，這些內(nèi)容也成為教師落實數(shù)學(xué)課程目標的重要途徑. 特別是，教材中的例題和習(xí)題是教材編者認真遴選、深入研究、精心構(gòu)思、反復(fù)研討并最終敲定的，對于學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、形成和發(fā)展數(shù)學(xué)基本技能都具有重要的示范意義和指導(dǎo)價值，其中一些經(jīng)典例題、習(xí)題的解題思路和方法往往也具有一定的典型性和拓展性，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識方法、增強數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、提高數(shù)學(xué)解題能力和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體，需要數(shù)學(xué)教師提高認識、倍加重視，通過精心研究、精致設(shè)計和精準實施，切實發(fā)揮教材例題、習(xí)題的育人功能和學(xué)科價值. 下面，筆者就以人教版九年級數(shù)學(xué)教材上冊習(xí)題24.2第12題為例，談?wù)勥@方面的實踐與思考，期待與同行交流.

原習(xí)題證明思路解析

AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線相垂直，垂足為點D，求證：AC平分∠DAB.

問題分析 從過去到現(xiàn)在，人教社將上述問題不是作為例題，就是作為習(xí)題編入初中幾何教材. 在初中升學(xué)考試中，本題及其逆命題作為試題也被考查多年，足以見得其在圓的內(nèi)容中的典型性. 圓的背景下所涉及的定理很多，比如圓周角定理、切線的性質(zhì)與判定定理、弦切角定理、垂徑定理等等，這些內(nèi)容對培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力、辨析能力、推理能力、應(yīng)用能力以及有條理的思考和表達能力等，都具有十分重要的作用. 經(jīng)過多年教學(xué)和探究，筆者發(fā)現(xiàn)大家對本題的拓展卻是極少的，實際上，該題的拓展探究過程同樣具有強大的數(shù)學(xué)教育價值.

正如G·波利亞所強調(diào)的：在一個精心構(gòu)造的棋局中，沒有一顆棋子是多余的. 因此，在走每一步棋時，需要將所有的棋子都考慮在內(nèi)[2]. 可以說，解題就像下棋一樣，要想正確迅速地解答問題，就必須通過認真審題，準確把握題設(shè)中的一切條件和數(shù)據(jù)，充分理解所求結(jié)論及其可能轉(zhuǎn)化的表達形式. 通過審題，不難看出本習(xí)題中（如圖2）主要有三個重要條件，即：⊙O的直徑AB、⊙O的一條切線及其切點、垂直于該切線的線段AD.而本題所要求證明的結(jié)論則是：AC平分∠DAB.如果我們將結(jié)論的表達形式進行轉(zhuǎn)化，也就是要證明兩個角相等，即∠DAC=∠BAC.下面，筆者給出本題的三種證明思路，以便為后續(xù)的拓展及其證明奠定基礎(chǔ).

思路1 如圖2，連接OC，在⊙O中，因為OA=OC，所以∠1=∠2.又因為DC是⊙O的切線，所以O(shè)C⊥DC.因為AD⊥CD于點D，容易得到AD//OC，所以∠3=∠2，這樣就得到∠1=∠3，所以AC平分∠DAB.

思路2 如圖3，連接BC，因為AB為⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，得到∠2+∠3=90°.又因為DC為⊙O的切線，所以根據(jù)弦切角定理可得∠1=∠2，等量代換得到∠1+∠3=90°.進一步的，因為AD⊥DC于點D，所以∠4+∠3=90°，根據(jù)同角的余角相等，得到∠1=∠4，所以AC平分∠DAB.

思路3 如圖4，設(shè)AD與⊙O相交于點E，連接BE，則∠AEB=90°.因為AD⊥DC于點D，所以∠ADC=90°，而且DC∥EB.又注意到DC為⊙O的切線，進而根據(jù)切線的性質(zhì)定理和垂徑定理可以證得EC=CB，故 = .所以∠1=∠2，結(jié)論得證.

說明 縱觀上述三種證明思路，大家可以明顯看出其中的聯(lián)系與區(qū)別. 思路1是學(xué)生使用較多的一種方法，這或許緣于原教材在把它編為例題時，證明過程采用的就是思路1，旨在指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固切線的性質(zhì)定理.在思路2中，筆者采用了弦切角定理，雖然這是教材中沒有、課標中也不要求的內(nèi)容，但對于學(xué)有余力的優(yōu)秀生的確不失為一種簡潔明快的有效方法. 在思路3中，筆者根據(jù)“平行弦夾等弧”這個重要定理的“推廣”，直接獲得結(jié)論 = .我們知道，切線是割線的一種極端情形，即當割線與圓的兩個交點重合時，割線就變?yōu)榍芯€了.事實上，當兩條平行弦中的“一條弦”變化為“切線”時，結(jié)論依然成立，即“仍夾等弧”. 因為教材中沒有這個定理，對此同學(xué)們還不十分熟悉，因此，在解題教學(xué)過程中，需要教師利用幾何畫板軟件，通過動態(tài)演示割線變切線的過程，幫助學(xué)生理解這一結(jié)論的正確性.對于數(shù)學(xué)思維比較敏捷的學(xué)生，可以通過深度解析兩種思路，引發(fā)學(xué)生深度思考，指導(dǎo)學(xué)生開展比較研究，從而進一步發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

原習(xí)題的拓展探究

基于原習(xí)題的證法，我們可以連接BC. 如圖5，因為AB為⊙O的直徑，所以BC⊥AC，也就是說BC垂直于∠DAB的平分線AC. 若再延長BC與AD的延長線交于點E，則△ABE為等腰三角形，即AB=AE，BC=CE. 當我們把原習(xí)題變化為圖5后，就為原習(xí)題的拓展做好了準備.

1. 拓展1將圓的切線變?yōu)楦罹€

在圖5中，DC為⊙O的切線，筆者把切線DC變化為⊙O的割線DC C ，此時，所得結(jié)論是什么呢？這是一個值得研究的問題.

事實上，我們可以從以下兩個角度進行思考：

思考一 根據(jù)文[3]中的分裂合并原理可以知道，通過分裂三角形中特殊的線，比如三角形的中線、高線或角平分線，可以構(gòu)造出非常多的幾何圖形，發(fā)現(xiàn)并獲得更多圖形的性質(zhì)和結(jié)論，進而編制出非常有趣的幾何問題. 如果將原習(xí)題中∠DAB的平分線AC“分裂”為∠DAB的內(nèi)等角線AC ，AC ，即∠DAC =∠BAC ，又會得到怎樣的結(jié)論呢？

思考二 原習(xí)題演變?yōu)閳D5后容易得到AB=AE，而當切線DC變化為割線DC C 后，AB不變，AE變化為AE ，AE ，那么AE ，AE 與AB又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？是2AB=AE ·AE ？還是AB2=AE ·AE ？經(jīng)過反復(fù)論證，可以判斷AB2=AE ·AE .

同樣地，圖5中BC=CE，當CE變化為C E 和C E 后，可以判斷BC ·BC =C E ·C E .

拓展問題1 如圖6，AB為⊙O直徑，點C ，C 在⊙O上，過點A作⊙O割線C C 的垂線AD，D為垂足，連接BC ，BC 并且延長，與AD的延長線分別交于點E ，E .

求證：（1）∠DAC =∠BAC ;

（2）AB2=AE ·AE ，BC ·BC =C E ·C E .

證明：（1）如圖6，設(shè)AD與⊙O交于點G，連接BG，因為AB為⊙O的直徑，所以∠AGB=90°. 又因為AD⊥DC C ，所以∠ADC =90°. 于是得到GB∥DC C .根據(jù)平行弦夾等弧，所以 = ，進而證得∠DAC =∠BAC .

（2）在⊙O中，因為AB為直徑，所以∠AC B，∠AC E ，∠AC B和∠AC E 都等于90°. 在Rt△AC B和Rt△AC E 中，容易證得∠BAC =∠E AC ，所以Rt△AC B∽Rt△AC E . 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，我們可以得到下面的等式，即 = = . ①

再根據(jù)∠BAC =∠E AC ，可以證明Rt△AC B∽Rt△AC E ，進而得到下面的等式，即 = = . ②

由上述等式①和②可以得到 = · =1，所以AB2=AE ·AE ;

再由①與②還可以得到 · = · =1，所以BC ·BC =C E ·C E .

2. 拓展2將圓的直徑“分裂”為平行且相等的弦

進一步地，還可以根據(jù)文[3]中的分裂合并原理，把圖5中⊙O的直徑AB“分裂”為平行且相等的弦（A B =A B 且A B ∥A B ），又可以形成下面的問題. [4]

拓展問題2 如圖7，在⊙O中，弦A B =A B ，且A B //A B ，點C在 上，過A ，A 作過點C的切線的垂線，垂足分別為D ，D ，連接B C并延長交A D 的延長線于點E ，連接B C并延長交A D 的延長線于點E ，連接A C，A C. 通過類似于拓展1的探究過程可以得到如下結(jié)論：

求證：（1）∠B A C=∠D A C，∠B A C=∠D A C;

（2）A B =A E ·A E ，B C·B C=CE ·CE .

證明：（1）如圖7，我們設(shè)A E 與⊙O交于點G，再連接GB . 首先因為A B 與A B 平行且相等，所以 與 、 與 分別相等，所以 + =180°，所以∠B GA =? =90°. 進一步地，通過證明D C∥GB ，可以知道 = ，所以根據(jù)“等弧所對的圓周角相等”證得∠D A C=∠B A C.再根據(jù)A D ⊥D C，A D ⊥D C，可以證明A D ∥A D . 又根據(jù)A B ∥A B ，可以得到∠D A B =∠D A B ，所以∠B A C=∠D A C.

（2）如圖7，一方面∠A B C=? = （ - ）= （ - ）;另一方面，根據(jù)文中的“分裂合并、連續(xù)變化”兩原理可知∠A E B = （ - ）. 又 = ，所以∠A B C=∠A E B . 注意到∠B A C=∠CA E . 所以△A B C∽△A E C得證.

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到等式 = = .①類似地，一方面，∠A CE =∠A CD +∠D CE =∠A CD +∠B CF=? +? =? ;同時∠A CB =? ，由于 = ，故得到∠A CB =∠A CE . 而另一方面∠B A C=∠E A C已證，所以易證△A CB ∽△A CE .

再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到等式 = = . ②

由①與②得 · = · =1. 所以A B ·A B =A E ·A E ，即A B =A E ·A E .又因為 · = · =1. 所以證得CB ·CB =CE ·CE .

深度反思與教學(xué)啟示

波利亞認為：數(shù)學(xué)解題是一項實踐性的技能，學(xué)解題就好比學(xué)游泳，是需要通過模仿和實踐才能學(xué)會的. 因此，教師要想提高學(xué)生的解題能力，就必須認真研究、深入揣摩教材中的例題和習(xí)題，通過深挖蘊含在題目中的數(shù)學(xué)本質(zhì)和教育價值，發(fā)現(xiàn)其拓展延伸和探究發(fā)現(xiàn)的空間，并在解題教學(xué)中給學(xué)生預(yù)留足夠的時空，創(chuàng)設(shè)更多的機會，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察與模仿等實踐活動，踐行發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的生動過程，將培養(yǎng)學(xué)生思維里潛在地對數(shù)學(xué)解題的興趣落到日常教學(xué)實處.

1. 深刻挖掘習(xí)題教育價值

全面回顧上述課本習(xí)題的分析、證明與拓展全過程，我們可以看到，本題在促進學(xué)生鞏固平面幾何的基礎(chǔ)知識、強化基本技能以及提高學(xué)生幾何證明的推理能力和創(chuàng)造能力等方面具有重要的學(xué)科功能，其中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)教育價值. 特別是變與不變、特殊與一般之間的辯證關(guān)系等，都有明確的體現(xiàn).

比如，本題中的切線與割線是兩個不同的概念，但是，如果能從運動變化的角度出發(fā)，遵循特殊與一般之間這種普遍的、辯證的、聯(lián)系的觀點去審視，那么這兩個概念之間就存在著重要且深刻的關(guān)系. 事實上，切線就是割線的一種特例，也就是當直線與圓的兩個交點重合時的特殊情形. 這種研究數(shù)學(xué)問題的視角和觀點是十分有必要讓學(xué)生去理解和體驗的.

再如，“類比與歸納”這種研究方法也是需要通過解題實踐的全過程，讓學(xué)生切身體驗的. 當切線演變成割線后，到底原問題的結(jié)論將怎樣變化？結(jié)論的表達應(yīng)該是什么形式？這種形式是否正確？等等，諸如此類的問題，都將激起學(xué)生的研究熱情. 有效類比、大膽猜想、可靠驗證及嚴謹推理等思維過程，不僅可以幫助學(xué)生學(xué)會解題，同時可以促進學(xué)生學(xué)會根據(jù)類比歸納形成并作出猜想，這是一種研究數(shù)學(xué)問題的普適方法. 教師希望培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力，就必須正確且持續(xù)地指導(dǎo)學(xué)生學(xué)到“搞發(fā)明和做歸納”的這種思考能力和研究能力[5].

由此可見，教師要特別重視教材中例題、習(xí)題的知識鞏固、技能示范、思維指導(dǎo)等教育功能，善于通過適時適度的拓展延伸發(fā)揮其引導(dǎo)探究與猜想發(fā)現(xiàn)的育人價值.

2. 適度開展習(xí)題拓展探究

應(yīng)該說，數(shù)學(xué)教育的一個基本任務(wù)就是將學(xué)科的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為教育的數(shù)學(xué)[6]. 這就需要教師精心設(shè)計例題、習(xí)題的教學(xué)過程，把枯燥乏味的解題訓(xùn)練轉(zhuǎn)化為充滿生機與活力的育人實踐，以便把數(shù)學(xué)這種最為精細和精確的思維方式，以最具有親和力的途徑，讓學(xué)生深切地感悟和體驗到. 這就需要教師深度研究教材例題、習(xí)題的類型結(jié)構(gòu)、功能特點，全面分析典型題目的條件結(jié)論，深入挖掘例題、習(xí)題的多種解法和基本變式，依據(jù)學(xué)情精準適度地設(shè)計例題、習(xí)題的拓展探究過程，通過巧妙地“借題發(fā)揮”，強力助推不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和思維拓展.

在本題的解題過程中，學(xué)生要想自然而然地獲得拓展的思路，就需要從條件出發(fā)，借助歸納推理來“預(yù)測”數(shù)學(xué)結(jié)論，再借助演繹推理“驗證”數(shù)學(xué)結(jié)論. 在這個思維過程中，還需要教師通過精準設(shè)計問題，在引發(fā)學(xué)生獨立思考的基礎(chǔ)上組織開展同伴之間的對話交流和思維碰撞，以便使解題學(xué)習(xí)過程充滿研究的味道和思辨的樂趣.

因此，筆者認為數(shù)學(xué)解題教學(xué)的過程，應(yīng)該是教師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)思考與數(shù)學(xué)表達的全過程，這個過程需要教師以學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心，依據(jù)課程目標和學(xué)生素養(yǎng)水平進行精心設(shè)計與精致實施.

3. 有效指導(dǎo)題后回顧反思

實際上，在精心設(shè)計與精致實施解題教學(xué)的過程中，指導(dǎo)學(xué)生自覺而有效地開展題后回顧與反思的過程是師生都最容易忽略和遺漏的. 其實，通過回顧完整的解答過程，重新斟酌和審查結(jié)果以及獲得結(jié)果的不同途徑，不僅能鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，還能提高他們的解題能力. 因此，波利亞提醒教師要讓學(xué)生深刻地認識到：沒有一個題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做，比如，徹底檢查每個解題步驟，改進和優(yōu)化解題方法，深化對解題過程與答案的理解，等等[7]. 在解題拓展之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生深入思考：以前是否有過類似的解題經(jīng)歷，二者之間有哪些異同，據(jù)此可以獲得哪些解題基本經(jīng)驗，甚至可以引導(dǎo)學(xué)生想象一些情況，去思考這些解題經(jīng)驗和已經(jīng)獲得的結(jié)論還可以在哪些方面得到更為廣泛而靈活地運用，等等.

長此以往，上述問題就可以顯現(xiàn)出特有的力量，使學(xué)生們在不斷地自我追問與主動思辨中充分意識到：數(shù)學(xué)問題之間是存在著普遍而深刻的內(nèi)在聯(lián)系的，轉(zhuǎn)化與歸納、聯(lián)系與發(fā)展是產(chǎn)生創(chuàng)新思維的重要思維過程. 當然，這種運用聯(lián)系的觀點認識和研究問題的意識也將有效促進學(xué)生再創(chuàng)造思維能力的提高，積極應(yīng)變和主動求變將使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)獲得持續(xù)而有效的發(fā)展.

參考文獻：

[1] 王本陸. 課程與教學(xué)論（第3版）[M]. 北京：高等教育出版社，2017（12）.

[2] [6] （美）G·波利亞.怎樣解題——數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的新方法[M]. 上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007（5）.

[3] 楊之，郭璋.計算機輔助教學(xué)的四條原理[J]. 數(shù)學(xué)通報，2004（04）.

[4] 白雪峰.探究促拓展 老題生新花——以一道常見幾何試題的三個拓展為例[J]. 數(shù)學(xué)通報，2019（01）.

[5] （美）G·波利亞.數(shù)學(xué)與猜想——數(shù)學(xué)中的歸納和類比[M]. 北京：科學(xué)出版社，2001（7）.

[7] 史寧中. 數(shù)學(xué)思想概論[M]. 長春：東北師范大學(xué)出版社，2009（8）.