復(fù)合梯形明渠均勻流正常水深的顯式迭代求解

傅銘煥，陳炳斌

（1.浙江省水利水電勘測設(shè)計(jì)院，浙江 杭州310002；2.紹興烈辰建設(shè)有限公司，浙江 紹興312030）

0 引言

均勻流正常水深的計(jì)算是渠道水力學(xué)的一個(gè)常見問題，梯形斷面作為農(nóng)業(yè)工程和水利工程的典型斷面，其正常水深的求解備受關(guān)注。

由于斷面形式的特殊性，梯形斷面明渠的均勻流正常水深求解往往需要多次迭代計(jì)算［1］。隨著研究的深入，文獻(xiàn)［2-10］提出了梯形明渠正常水深新的迭代計(jì)算式，大大減少了正常水深計(jì)算的工作量。

近年來隨著科技的進(jìn)步與工藝的提升，各種人工渠道（復(fù)合梯形明渠）應(yīng)運(yùn)而生。相較于一般的梯形明渠或天然河道，復(fù)合梯形明渠往往具有不同的邊坡系數(shù)或多種材質(zhì)壁面（含渠底及兩岸護(hù)坡）。故其正常水深的求解相較于一般梯形明渠愈加復(fù)雜。

對于復(fù)合明渠，現(xiàn)階段缺少對其正常水深計(jì)算的研究。根據(jù)別洛康和愛因斯坦的復(fù)合糙率系數(shù)公式，研究復(fù)合梯形明渠均勻流正常水深的計(jì)算方法，提出其穩(wěn)定的顯式迭代求解公式。

1 綜合糙率系數(shù)公式的選取

圖1為一復(fù)合梯形明渠示意圖。圖中Q為過渠流量；i為渠道坡降；nc為復(fù)合梯形明渠綜合糙率系數(shù)；h0為梯形明渠均勻流正常水深；b為復(fù)合梯形明渠底寬；m1、m2分別為梯形兩側(cè)邊坡系數(shù)；n1、n2、n3分別為梯形兩側(cè)邊坡及渠底的糙率系數(shù)；A1、A2、A3分別為梯形兩側(cè)邊坡及底部對應(yīng)的過水面積；χ1、χ2、χ3分別為梯形兩側(cè)邊坡和渠底的濕周。

圖1 復(fù)合梯形明渠簡圖

渠道均勻流正常水深的求解主要根據(jù)明渠恒定流連續(xù)性方程和謝才公式而得［11］。其中，謝才公式須知道復(fù)合梯形明渠的綜合糙率系數(shù)nc。現(xiàn)階段，nc的常用計(jì)算公式有巴甫洛夫斯基公式、別洛康和愛因斯坦公式和加權(quán)平均法公式，分別如下［1］。

巴甫洛夫斯基公式：

別洛康和愛因斯坦公式：

加權(quán)平均法公式：

本文借用張紅岐［12］的試驗(yàn)資料，對式（1）～式（3）計(jì)算的精度進(jìn)行驗(yàn)證，詳細(xì)試驗(yàn)參數(shù)及計(jì)算結(jié)果見表1。由表1可知，別洛康和愛因斯坦公式計(jì)算的綜合糙率系數(shù)位于3個(gè)公式計(jì)算值的中間。巴甫洛夫斯基公式計(jì)算的平均誤差為2.77%，最大誤差為7.77%；別洛康和愛因斯坦公式計(jì)算的平均誤差為2.74%，最大誤差為7.08%；加權(quán)平均法公式計(jì)算的平均誤差為2.74%，最大誤差為6.35%。3個(gè)公式計(jì)算的20組試驗(yàn)工況精度基本相同，均能滿足工程運(yùn)用。對于個(gè)別試驗(yàn)工況計(jì)算偏差相對較大，分析認(rèn)為是由于實(shí)際施測的測量誤差引起的。因?yàn)榍缹?shí)際糙率系數(shù)并無直接計(jì)算公式，而需根據(jù)實(shí)際測量的流速、底坡及斷面參數(shù)反算而得。文獻(xiàn)［13］的研究也表明，原型觀測糙率系數(shù)測定的最大誤差分別為5.0373%和4.3050%。由上述分析可以看出，式（1）～式（3）均能作為計(jì)算復(fù)合梯形明渠均勻流正常水深的綜合糙率計(jì)算公式。

巴甫洛夫斯基公式假定各濕周的過水?dāng)嗝嫫骄魉傧嗟纫约案鬟^水?dāng)嗝娴乃Π霃较嗟?。別洛康和愛因斯坦公式僅假定了各濕周的過水?dāng)嗝嫫骄魉傧嗟?，而未做其他假定。出于公式的理論性，加之式?）計(jì)算值位于式（1）和式（3）的中間，本文選取別洛康和愛因斯坦公式（式（2））作為復(fù)合梯形明渠的綜合糙率系數(shù)計(jì)算公式。

2 正常水深迭代公式的推求

根據(jù)連續(xù)性方程及謝才公式，可得復(fù)合梯形明渠均勻流流量公式為：

式中：Ac=A1+A2+A3為復(fù)合梯形明渠總的過水?dāng)嗝婷娣e；χc=χ1+χ2+χ3為復(fù)合梯形明渠過水?dāng)嗝婵倽裰堋?/p>

將式（2）帶入式（4），整理得：

由圖1可得復(fù)合梯形明渠總的過水?dāng)嗝婷娣e：

復(fù)合明渠各段濕周分別為：

將式（6）和式（7）帶入式（5）并整理得：

由式（8）可知，復(fù)合梯形明渠均勻流正常水深的計(jì)算是一個(gè)復(fù)雜的隱函數(shù)求解過程。令寬深比β=b/h0，并帶入式（8）得：

式（9）可變形為：

由式（10）可得復(fù)合梯形明渠寬深比的迭代計(jì)算式，即：

應(yīng)用式（11）進(jìn)行迭代求解，須先證明式（10）的導(dǎo)函數(shù)在寬深比β∈（0，+∞）的變化范圍內(nèi)收斂。令β=f（β），并對式（10）求導(dǎo)可得：

對式（10）進(jìn)行轉(zhuǎn)換變形，得：

將式（13）帶入式（12）可得：

將式（2）和式（7）帶入式（14），可得：

前文已述別洛康和愛因斯坦公式假定了各濕周的過水?dāng)嗝嫫骄魉傧嗟?，即?/p>

式中：vc為復(fù)合梯形明渠全斷面平均流速；v1、v2、v3分別為A1、A2、A3過水?dāng)嗝娴钠骄魉佟?/p>

由式（16）可知：

式中：Rc=Ac/χc為過水?dāng)嗝娴乃Π霃剑籖3=h0為A3過水?dāng)嗝娴乃Π霃健?/p>

由式（17）可得：

將公式（18）帶入公式（15）可得：

令B=（m1h0+m2h0+b）為復(fù)合梯形水面寬度，則由圖1可知，復(fù)合梯形上下底面的平均寬度故式（19）可簡化為：

對于寬深比的初值，本文根據(jù)其變化范圍的上下限來定義。當(dāng)寬深比趨近于0時(shí)，由式（11）可得：

當(dāng)寬深比β趨近于正無窮時(shí)，β0也趨近于正無窮，其初值無法確定。故本文取式（21）的計(jì)算值作β0為式（11）的迭代初值。

將β=b/h0分別帶入式（11）和式（21），可得復(fù)合梯形明渠均勻流正常水深的顯示迭代計(jì)算式：

式中：hk為迭代的正常水深值。

3 算例與驗(yàn)證

由于式（8）的正常水深計(jì)算式是依據(jù)式（2）而來，故以文獻(xiàn)［12］中的20組試驗(yàn)工況為例，用式（8）多次迭代計(jì)算的復(fù)合梯形明渠均勻流正常水深，驗(yàn)證用式（2）計(jì)算復(fù)合梯形糙率的可行性，具體計(jì)算結(jié)果見表1。由表1可知，式（8）多次迭代計(jì)算的正常水深平均誤差為1.42%，最大誤差為3.8%，能滿足工程運(yùn)用要求?？梢姡檬剑?）計(jì)算的綜合糙率系數(shù)來求解復(fù)合梯形明渠正常水深是可行的。

本文同時(shí)用文獻(xiàn)［12］中的20組試驗(yàn)工況，分析式（22）的迭代計(jì)算效果，具體見表2。由表2中20組試驗(yàn)工況可知，本文式（22）迭代計(jì)算的寬深比在進(jìn)行5次迭代后，其值已經(jīng)無限接近于式（8）計(jì)算的多次迭代值。由此可知，式（22）迭代公式是正確的。式（22）進(jìn)行3次迭代后，20組工況的最大誤差為-2.35%，但進(jìn)行第4次迭代后，所有工況誤差均小于1%?？梢姡疚氖剑?2）具有較快的收斂特性，只需迭代3～4次，其計(jì)算精度就足以滿足設(shè)計(jì)要求。同時(shí)，式（22）迭代的寬深比比多次迭代值略小，故其計(jì)算的正常水深值比多次迭代值略大，工程運(yùn)用偏于安全。

表1 nc與h0的驗(yàn)證

表2 βk的迭代計(jì)算

4 結(jié)語

本文根據(jù)文獻(xiàn)［12］的試驗(yàn)工況，對現(xiàn)有常用的復(fù)合梯形明渠糙率公式——式（1）～式（3）進(jìn)行分析與比較。結(jié)果表明，式（1）～式（3）計(jì)算精度基本相同，其中式（2）的計(jì)算值位于式（1）和式（3）的中間。根據(jù)別洛康和愛因斯坦的復(fù)合明渠綜合糙率計(jì)算公式，推求了均勻流正常水深的顯性迭代計(jì)算式。結(jié)果表明，用別洛康和愛因斯坦公式計(jì)算復(fù)合梯形明渠正常水深是可行的。式（22）迭代求解的復(fù)合梯形明渠正常水深只需3～4次迭代計(jì)算，就能滿足工程運(yùn)用要求。式（22）經(jīng)4次迭代求解后，正常水深的平均誤差均小于1%。