線性代數(shù)學(xué)習(xí)難點(diǎn)與對策

王芝蘭，戴忠智

中國礦業(yè)大學(xué)（北京）理學(xué)院，北京100083

線性代數(shù)是重要的基礎(chǔ)課程，在理工類學(xué)科中有重要應(yīng)用，從二維碼到網(wǎng)頁排序，從計(jì)算機(jī)圖形學(xué)到機(jī)器學(xué)習(xí)，都會(huì)用到線性代數(shù)的知識(shí)。線性代數(shù)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)不高，具有初中數(shù)學(xué)知識(shí)就可以學(xué)習(xí)，但同時(shí)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)難度比較大，學(xué)生往往難以理解其中的代數(shù)學(xué)概念。本文將結(jié)合筆者在教學(xué)與學(xué)習(xí)中的實(shí)例，對怎樣應(yīng)對線性代數(shù)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的難點(diǎn)，提出一些見解。

1 把握知識(shí)脈絡(luò)，抓住重點(diǎn)知識(shí)

線性代數(shù)概念很多，行列式、矩陣、方程組、向量空間等等概念中又穿插著各種各樣的性質(zhì)與定理，學(xué)生往往“只見樹木不見樹林“，不能把握其中的聯(lián)系。我們要弄清楚知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，特別是抓住重點(diǎn)知識(shí)的作用。

線性代數(shù)中的很多概念都是圍繞線性方程組展開的。我們可以通過線性方程組的系數(shù)與未知數(shù)來引入矩陣與向量，從求解方程與未知數(shù)一樣多的線性方程組看到行列式，而線性方程組的解空間也是向量空間的重要例子。也就是說，這些重要概念都可以從線性方程組中發(fā)現(xiàn)。另一方面，我們也可以利用線性方程組的理論來理解這些概念。比如，在理解矩陣乘法時(shí)，就是把以第一個(gè)矩陣為系數(shù)的方程，代入以第二個(gè)矩陣為系數(shù)的方程，得到的新的線性方程組的系數(shù)矩陣，就是原來兩個(gè)矩陣的乘積。再比如，在判斷向量組是否線性相關(guān)時(shí)，我們考查的是以向量組矩陣為系數(shù)的齊次線性方程是否有非零解。于是我們發(fā)現(xiàn)，抓住線性方程組，我們就可以收獲更多的概念與性質(zhì)。

線性代數(shù)的另外一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)是矩陣的運(yùn)算與變換。矩陣的運(yùn)算包括矩陣的轉(zhuǎn)置、求和、數(shù)乘、乘法、求逆及求行列式，矩陣的變換指矩陣的初等行列變換。這些是解決線性代數(shù)題目的基本工具，需要通過練習(xí)熟練掌握。

如果能夠掌握矩陣的運(yùn)算與變換，同時(shí)抓住線性方程組與其相關(guān)知識(shí)，那么線性代數(shù)的題目就可以掌握大半了。除此之外，只剩下矩陣的特征值與特征向量、二次型等內(nèi)容。

2 從實(shí)例出發(fā)，從特殊例子理解一般情況

線性代數(shù)中，定義和定理中出現(xiàn)的矩陣的階數(shù)、向量的維數(shù)等等經(jīng)常是任意的，學(xué)生面對這種抽象的一般情況，往往束手無策。我們可以利用特殊的例子，從直觀上把握定義與定理的本質(zhì)。

例如，當(dāng)我們學(xué)習(xí)如何解線性方程組時(shí)，如果直接學(xué)習(xí)任意階矩陣的高斯消元法是很困難的。我們可以從我國古代的著名問題雞兔同籠出發(fā)：“今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何。”我們可以用下面這種有趣的解法：先號(hào)令所有動(dòng)物抬起一條腿，這樣剩下五十九條腿；再號(hào)令所有動(dòng)物再抬一條腿，這樣雞沒有腿了坐在了地上，只剩兔子兩條腿著地，剩下二十四條腿，于是有十二只兔子，二十三只雞。我們比較這一過程與高斯消元法可以看到，讓動(dòng)物抬腿的過程，正是消元的過程。這樣，我們就對如何解線性方程組有了直觀的認(rèn)識(shí)。

再比如，學(xué)習(xí)行列式按行展開的計(jì)算時(shí)，書上給出的證明往往是對一般的n 階行列式，學(xué)生比較難于理解。而我們可以只考慮3 階行列式的證明，此時(shí)的證明非常簡明清爽，學(xué)生很容易就可以接受。一般的n 階情況與3 階情況的證明思想完全相同，掌握了3 階情況的證明，再看n 階情況，就能看清證明本質(zhì)了。

3 與幾何相結(jié)合，用圖形幫助理解

線性代數(shù)與解析幾何是密切相關(guān)的。對于很多抽象的概念，如果直接從代數(shù)學(xué)的角度看，可能會(huì)比較復(fù)雜，可以利用圖形作為輔助，建立幾何背景，幫助我們理解和思考原來的代數(shù)學(xué)問題。

比如，在學(xué)習(xí)行列式時(shí)，我們可以從行列式是原矩陣列向量生成的平行六面體的有向體積來理解，這樣，原本的代數(shù)表達(dá)式就有了優(yōu)美的幾何意義。再比如，向量組的線性無關(guān)是比較抽象的概念，我們從幾何的角度去看，對于兩個(gè)向量來說，它們線性無關(guān)，就是不可能落在同一條直線上；三個(gè)向量線性無關(guān)，就是它們不可能落在同一個(gè)平面內(nèi)。進(jìn)一步地，n 個(gè)向量線性無關(guān)，就是它們不可能落在同一個(gè)n-1 維空間中。這樣，原本抽象的概念，就有了直觀的幾何解釋。

4 關(guān)注數(shù)學(xué)發(fā)展歷史，看清問題來龍去脈

數(shù)學(xué)家陳省身先生曾指出：“了解歷史的變化,是了解這門科學(xué)的一個(gè)步驟?！痹诰€性代數(shù)中，學(xué)生常常不知道為什么要引進(jìn)某個(gè)概念，于是也很難接受和理解這個(gè)概念。我們應(yīng)該關(guān)注這些內(nèi)容的由來與發(fā)展，了解知識(shí)的來龍去脈，理解問題的動(dòng)機(jī)。

例如，矩陣的秩是線性代數(shù)中的重要概念，也是讓很多學(xué)生疑惑它是從何而來的概念。很多線性代數(shù)的教科書會(huì)先講矩陣的秩，再講線性方程組的解法。而在歷史發(fā)展中，人們是先找到了線性方程組的解法，然后在研究齊次線性方程組解的性質(zhì)時(shí)，通過解的結(jié)構(gòu)，才考慮了矩陣的秩這一概念。因此，我們在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，可以先學(xué)習(xí)線性方程組的解法，再學(xué)習(xí)矩陣的秩，再按書本的順序，從矩陣的秩來重新描述線性方程組的解的性質(zhì)。這樣，為什么要引進(jìn)矩陣的秩，矩陣的秩又有什么作用，就比較清晰了。

5 了解前沿領(lǐng)域應(yīng)用，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

線性代數(shù)的知識(shí)都比較抽象，學(xué)生可能不知道學(xué)習(xí)線性代數(shù)有什么用，于是逐漸喪失了學(xué)習(xí)的興趣。如果能夠了解線性代數(shù)在前沿領(lǐng)域的應(yīng)用，知道線性代數(shù)在后續(xù)學(xué)習(xí)與工作中的重要意義，就會(huì)有更大的熱情來學(xué)習(xí)。

例如，線性代數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)中有非常重要的作用。人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是目前國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。其中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，就是一層層神經(jīng)元，而從一層神經(jīng)元變到另一層神經(jīng)元，就是先通過一個(gè)線性變換，再做其他變換。為了達(dá)到人工智能的效果，就是要調(diào)整線性變換中的系數(shù)。而機(jī)器學(xué)習(xí)，就是通過訓(xùn)練得到這些系數(shù)的過程。

總結(jié)：在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)該把握知識(shí)脈絡(luò)，抓住重點(diǎn)知識(shí)，通過實(shí)例，結(jié)合幾何意義，理解其中的抽象概念，同時(shí)要去了解線性代數(shù)發(fā)展的歷史，也了解它在前沿領(lǐng)域中的應(yīng)用，看清來龍去脈，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，最終學(xué)好線性代數(shù)這門課，給未來的發(fā)展打下基礎(chǔ)。