Fresnel型高階積分的統(tǒng)一表達(dá)式*

黃 煒，段旭朝

（1.寶雞職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西寶雞 721013；2.寶雞文理學(xué)院物理與光電技術(shù)學(xué)院，陜西寶雞 721016）

0 引 言

衍射是光波動性的表現(xiàn)，是光傳播的基本規(guī)律，點源照射的衍射較平面光照射的衍射更具一般性，對光束的傳輸與變換、光學(xué)系統(tǒng)的衍射成像以及光信息處理等方面有著重要作用[1-3].1882年，基爾霍夫建立了一個嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論，證明了菲涅爾的設(shè)想基本上正確，并修正了傾斜因子.由于基爾霍夫理論只適用于標(biāo)量波的衍射，故又稱標(biāo)量衍射理論.菲涅爾（Fresnel）衍射積分已在多領(lǐng)域應(yīng)用，其計算是物理光學(xué)、微波技術(shù)與天線等工程和道路工程設(shè)計與建設(shè)的一道難題.本文旨在利用復(fù)分析、伽馬函數(shù)與積分變換給出的 Fresnel型高階積分S（n）、C（n）及相關(guān)的實積分進(jìn)行求解和計算，以期得到統(tǒng)一的表達(dá)式，解決Fresnel衍射積分在不同領(lǐng)域因計算帶來的問題.

1 物理與工程中的Fresnel衍射積分

復(fù)宗量Fresnel積分的計算，是物理光學(xué)、微波技術(shù)與天線等工程和道路工程設(shè)計與建設(shè)計算中遇到的一個難題.

1.1 物理光學(xué)領(lǐng)域[4-6]

1.2 微波技術(shù)與天線等工程領(lǐng)域

隨著信息時代的到來，作為信息載體的高頻電磁波，不僅在衛(wèi)星通信、計算機(jī)通信、信息傳輸、移動通信和射頻識別領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，還在有線電視、閉路監(jiān)控系統(tǒng)、基站、手機(jī)天線和藍(lán)牙耳機(jī)等器材中廣泛使用.隨著數(shù)字信號處理（digital signal processing，DSP）技術(shù)的迅猛發(fā)展，DSP器件性能價格比的不斷提高，高頻電磁波在雷達(dá)、聲吶及相關(guān)軍事通信領(lǐng)域獲得成功應(yīng)用.自適應(yīng)天線技術(shù)在蜂窩移動通信系統(tǒng)中的應(yīng)用是相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者研究的熱點問題.

自適應(yīng)天線是基于Fresnel區(qū)相位修正結(jié)構(gòu)聚焦的多波束自適應(yīng)天線.在多波束自適應(yīng)天線系數(shù)的計算等方面，其難點還是高階的Fresnel積分計算，特別是復(fù)宗量Fresnel積分的計算[7].如在深海潛標(biāo)數(shù)據(jù)實時傳輸及我國航天測控網(wǎng)建設(shè)中的遠(yuǎn)望7號測量船上的關(guān)鍵設(shè)備上，以及在C頻段高功率功放和S頻段1+1高功率功放100%國產(chǎn)化等國之利器上的使用，其中采用了無線連接實現(xiàn)實時數(shù)據(jù)傳輸及微波天線計算，都需要計算高階的Fresnel積分.

1.3 道路工程設(shè)計與建設(shè)領(lǐng)域

回旋線，也稱為緩和曲線、過渡曲線和卵形回旋曲線，即Fresnel螺旋線[8].在理論上是車輛轉(zhuǎn)彎時的車輪軌跡，從直線到圓弧線、圓弧線到直線、不同半徑的圓弧線之間和2個圓的同向連接或反向連接等都離不開回旋線.在高速公路、高速鐵路、鐵路線性、公路線性以及像汽車一樣的自動機(jī)械設(shè)備的線性規(guī)劃設(shè)計中，均離不開回旋曲線的使用，其可以使高速道路更好地適應(yīng)車輛轉(zhuǎn)彎時轉(zhuǎn)彎軌跡，最大限度地縮小各種曲線的曲率及繞率突變，增大行車安全、乘車舒適感及線性美觀度等.

在兩段圓弧之間為G2聯(lián)系設(shè)計一段緩和曲線，一段理想的回旋曲線不應(yīng)包括任何拐點，其彎曲度隨弧長變化逐點增加或減少.通常利用計算機(jī)輔助設(shè)計CAD來進(jìn)行回旋曲線設(shè)計，理想的回旋曲線設(shè)計是非常復(fù)雜而又非常重要的，其難點是Fresnel積分定義的一個超越函數(shù)值的計算問題，由于計算難度較大，對野外測設(shè)要求苛刻.今后Fresnel積分都是指這2個積分.下面給出Fresnel型高階積分的統(tǒng)一表達(dá)式.

2 Fresnel型高階積分的統(tǒng)一表達(dá)式

3 幾個引理

圖1 CR的上半圓示意

4 定理證明

Fresnel型高階積分不能按普通的方法進(jìn)行求解和計算.

4.1 定理2.1和2.2的證明

4.2 定理2.3證明

圖2 CR的扇形示意

5 結(jié)束語

本文總結(jié)了Fresnel衍射積分在物理光學(xué)、微波技術(shù)與天線等工程和道路工程設(shè)計與建設(shè)計算中所表現(xiàn)的難題形式.并利用復(fù)分析、伽馬函數(shù)與積分變換給出的 Fresnel型高階積分S（n）、C（n）及相關(guān)的實積分進(jìn)行求解和計算，得到了統(tǒng)一的表達(dá)式并進(jìn)行了證明，徹底解決了其在不同領(lǐng)域因計算帶來的問題.