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    開展“一題一課”,追求“少慢精深”

    2021-06-17 20:56:40朱月鳳
    初中生世界·初中教學研究 2021年5期
    關(guān)鍵詞:一題一課關(guān)鍵步驟引例

    朱月鳳

    我國著名數(shù)學家李大潛院士在復旦大學數(shù)學科學學院新生迎新大會上的講話中提到學好數(shù)學要做到“少慢精深”,而不是刷題式的貪多求快。筆者在中考復習備考期間以“一題一課”進行解題教學,積極實踐李院士提出的“少慢精深”數(shù)學學習理念,取得較好的教學效果。筆者結(jié)合本地區(qū)一道新定義幾何中考題開展“一題一課”教學,現(xiàn)將教學過程整理成文,并闡釋教學立意。

    一、考題呈現(xiàn)及說明

    定義:我們知道,三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點。過三角形內(nèi)心的一條直線與兩邊相交,兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形,若有一個圖形與原三角形相似,則把這條線段叫作這個三角形的“內(nèi)似線”。

    (1)等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為 ;

    (2)如圖1,△ABC中,AB=AC,點D在AC上,且BD=BC=AD,求證:BD是△ABC的“內(nèi)似線”;

    (3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,點E、F分別在邊AC、BC上,且EF是△ABC的“內(nèi)似線”,求EF的長。

    說明:這是2017年的南通中考第27題,不少學生在問題求解時遇到困難,有些是構(gòu)圖不當,有些是缺少一些鋪墊式問題的輔助思考,沒有順利貫通思路,筆者決定通過“一題一課”的形式來幫助學生掌握這類問題的求解方法。

    二、“一題一課”教學過程

    教學環(huán)節(jié)一:引例熱身

    引例1:思考與直角三角形內(nèi)心有關(guān)的問題。

    1.在Rt△ABC中,∠C=90°,請你說說怎樣找到△ABC的內(nèi)心。

    2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,圍繞△ABC的內(nèi)心,你能得到哪些結(jié)論?

    預設(shè):直角三角形的兩直角邊是3和4,則內(nèi)心到三邊的距離是1。通過開放式問題,復習三角形內(nèi)心的概念,尋找三角形內(nèi)心的途徑以及與三角形內(nèi)心有關(guān)的結(jié)論。

    設(shè)計意圖:引例1起到熱身的目的,組織學生有效復習了直角三角形的內(nèi)心,然后特殊化為“3,4,5”的直角三角形。學生通過議論、對話和交流,對這個圖形下的性質(zhì)有較為全面的認識和思考。

    引例2:如圖2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D是邊AC上一點,且滿足AD=3,你能在邊AB上找一點E,使得△ADE與△ABC相似嗎?

    教學記錄:如圖3、圖4,請學生到前面來展示作圖方法,說說具體作法,寫寫相似,強調(diào)對應,總結(jié)模型。

    在學生畫出圖3、圖4之后,先圍繞圖3這種基本圖形(“A型”相似),可預設(shè)以下問題:如圖3,在這個基本圖形中,DE與BC在位置上有什么樣的關(guān)系?DE與BC之間的距離是多少?內(nèi)心O到邊BC的距離是多少?線段DE經(jīng)過內(nèi)心O嗎?你能求出DE的長度嗎?(以上系列“問題串”可以漸次呈現(xiàn),可結(jié)合學情相機給出,如果學情很好,還可鼓勵學生自主提出一些問題。)

    接著再引導學生觀察圖4,圍繞圖4這種基本圖形(“反A型”相似),預設(shè)以下問題:如圖4,你能求出DE的長度嗎?

    在此基礎(chǔ)上,將圖4中DE所在的直線向下平移(如圖5),使其經(jīng)過△ABC的內(nèi)心,與邊AC、BC所在的直線分別交于D'、E'。引導學生思考:點D'在邊AC上嗎?若在,求出D' E'的長度。

    解后反思:對比圖3和圖5中的DE與D' E',這兩條線段具有哪些共同特征?

    教學意圖:引導學生回顧三角形相似的知識,滲透A型與反A型相似的印象,為后面新問題的分類討論以及如何求內(nèi)似線的長度設(shè)好鋪墊。圍繞基本圖形,進行一系列的變式研究,特別是對經(jīng)過內(nèi)心的直線截三角形兩邊得到的三角形與原三角形相似時,如何分析對應邊之比,并利用相似比求出相應線段的長度,這樣的問題經(jīng)過充分探究之后,可以對本課將要研究的新定義考題的最后一問達成較好的鋪墊作用,實現(xiàn)鋪平墊穩(wěn)的設(shè)計目標。

    教學環(huán)節(jié)二:考題講評

    呈現(xiàn)2017年南通中考第27題,刪除基礎(chǔ)問,只保留第(3)問。

    教學過程:學生獨立思考5分鐘后,圍繞題意,請同學們談?wù)剬σ阎獥l件有什么樣的認識;受到“引例2”中求D' E'長度的啟示,看看可以從哪里著手解決此題。嘗試添加輔助線。接下來進行思路突破與解法交流。限于篇幅,不再給出具體的解法示意。

    學生講評之后,進行必要的小結(jié)或解后反思,提煉一些關(guān)鍵步驟,然后安排相關(guān)學生復述(“再說一遍”)。最后可給出一道變式拓展題如下:

    【拓展思考】該直角三角形中,你能找到幾條內(nèi)似線?都能求出它們的長度嗎?

    教學過程:針對2017年南通中考新定義考題的第(3)問,學生獨立思考之后,快速獲得思路的學生先在小組內(nèi)交流討論,然后大組匯報,在進展到關(guān)鍵步驟時,教師讓其他學生復述思路,這樣可以讓更多的學生的思維被充分卷入解題思路中。

    三、教學立意的進一步闡釋

    第一,較難題教學備課要追求深度思考。

    每份練習都有少數(shù)較難題,教師往往把課堂教學時間花在這些較難題上,但是講評后卻總感覺效果不好,仍然只有少數(shù)優(yōu)秀學生能跟得上講評節(jié)奏。這時,教師可反思講評的用力點是否精準,如果按照所謂參考答案的解答方式“順流而下”,可能就是備課的功夫不足,沒有想清辨明備課用力點。我們認為,教師在講評這些較難題之前,自己要對考題的關(guān)鍵步驟、主要難點、易錯點想清悟透,然后針對這些關(guān)鍵步驟、主要難點或?qū)W生可能的障礙預設(shè)一些教學環(huán)節(jié)進行難點突破。比如上文的課例中,我們設(shè)計了兩個“引例”,就幫助了更多學生進行“熱身訓練”,再出示那道較難題時,學生就能獲得思路啟示,進而快速想到思路并解答成功。

    第二,較難題教學要重視關(guān)鍵步驟處理。

    教師在較難題教學時要十分重視一些關(guān)鍵步驟的處理,比如充分解讀題意,特別是針對本文課例中關(guān)注到的新定義問題,可先引導學生深入理解新定義的本質(zhì)或內(nèi)涵,必要時要讓學生畫圖并結(jié)合圖形在小組內(nèi)交流各自對新定義本質(zhì)的理解,然后再迎難而上,各個擊破。在碰到較難題時,組織學生善于排除干擾,分析并“暴露”出問題的求解目標,有時這種“暴露”目標的解析工作也是解題征途中的關(guān)鍵步驟,要讓學生學會這種解題技術(shù)。還有,在處理某些關(guān)鍵步驟時,可能會遇到對一些經(jīng)典問題或拓展變式的處理,這時如果學生沒有能及時想到這些經(jīng)典問題或拓展變式的解法思路,教師可通過必要的鋪墊式問題(如本文課例的兩個“引例”),讓學生先做好必要的熱身復習,再迎難而上,往往就能順利地攻克較難題。學生經(jīng)歷這樣的解題教學過程,不但能解出這一道較難題,而且能悟出今后如何分析較難題。這也就是實現(xiàn)了從“授人以魚”到“授人以漁”的教學追求。

    (作者單位:江蘇省海安市城南實驗中學)

    本文系江蘇省南通市規(guī)劃辦“十三五”課題“‘學材再建構(gòu)的初中數(shù)學課例研究”(編號:2020007)階段性研究成果。

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