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    內(nèi)引外聯(lián)巧構(gòu)造

    2021-06-17 19:30朱鳴
    初中生世界·九年級(jí) 2021年6期
    關(guān)鍵詞:銳角三角直角三角形網(wǎng)格

    朱鳴

    在解決網(wǎng)格圖形中的銳角三角函數(shù)問(wèn)題時(shí),我們往往借助格點(diǎn)來(lái)確定直角三角形,并通過(guò)對(duì)圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等變換,將銳角放置其中,從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

    【引例】在如圖1所示的網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上,求tan∠ACB的值。

    【思路一】“內(nèi)引”:其思路是在三角形內(nèi)部作高,通過(guò)構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題。如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC交AC于點(diǎn)F,將∠ACB放置于Rt△BCF中,通過(guò)等積法兩次計(jì)算△ABC的面積,一次以AB為底,一次以AC為底,求出BF的長(zhǎng),然后在Rt△BCF中求出CF的長(zhǎng),從而解決問(wèn)題。這種方法也是解決此類(lèi)問(wèn)題的通法。

    【思路二】“外聯(lián)”:其思路是通過(guò)延長(zhǎng)已知線段,或連接某些格點(diǎn),在原三角形外部進(jìn)行擴(kuò)充,將所求問(wèn)題放置其中予以解決。如圖2,我們可以將視角集中于整個(gè)網(wǎng)格圖形的左下側(cè),通過(guò)延長(zhǎng)線段CB至格點(diǎn)E,再連接AE,即可構(gòu)造Rt△ACE。由于每個(gè)小正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度相等,所以tan∠ACB=[AECE]=[13]。

    無(wú)論是“內(nèi)引”還是“外聯(lián)”,其目的都是構(gòu)造直角三角形,為求銳角三角函數(shù)創(chuàng)造條件。下面我們結(jié)合圖形的變換來(lái)探討這兩種方法的運(yùn)用。

    一、通過(guò)平移進(jìn)行外聯(lián)

    在網(wǎng)格圖中,格點(diǎn)之間連線的交點(diǎn)不一定在格點(diǎn)處,形成的銳角也往往不在直角三角形中,如何求它們的三角函數(shù)值呢?我們先看下面的例題。

    例1 在如圖3所示的網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上,且AB、CD相交于點(diǎn)P,求tan∠APD的值。

    【思路分析】通過(guò)“內(nèi)引”的辦法比較困難,雖然過(guò)點(diǎn)B作CD邊上的高或過(guò)點(diǎn)D作AB邊上的高容易,但構(gòu)造直角三角形后如何求出∠APD的對(duì)邊卻比較困難。如果以點(diǎn)A為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,可以通過(guò)求直線交點(diǎn)的方法求出點(diǎn)P的坐標(biāo),但后續(xù)求直角三角形中直角邊的長(zhǎng)比較麻煩。因此,“內(nèi)引”不成,我們便想辦法通過(guò)平移變換進(jìn)行“外聯(lián)”。將線段CD向上平移1個(gè)單位至BE的位置,將∠APD轉(zhuǎn)化為∠ABE,此時(shí)角的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上,便于我們連接格點(diǎn),構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題。如圖4,再連接AE,容易發(fā)現(xiàn)△ABE是等腰直角三角形,所以∠ABE=45°,問(wèn)題得以解決。當(dāng)然,如果平移以后,仍然是一個(gè)一般三角形,我們可以繼續(xù)運(yùn)用“內(nèi)引”的辦法來(lái)解決問(wèn)題。

    二、通過(guò)翻折進(jìn)行外聯(lián)

    在圖形翻折的過(guò)程中,幾何元素的不變性值得我們關(guān)注。在網(wǎng)格圖中,圖形的翻折會(huì)改變角的位置,但不改變其大小。如圖5和圖6,看似存在差異,但實(shí)質(zhì)上,將圖5沿著網(wǎng)格中間的水平線翻折即可得到圖6,兩幅圖中交點(diǎn)P處所成的銳角大小不變,在翻折中只是改變了它的位置。這樣的翻折在網(wǎng)格圖中有什么應(yīng)用呢?請(qǐng)看下面的例題。

    例2 在如圖7所示的網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上,求tan2∠CAB的值。

    【思路分析】在解決2∠CAB問(wèn)題時(shí),可以利用圖形的翻折進(jìn)行構(gòu)造。翻折方法一:如圖8,將△ABC沿直線AC翻折,即可得到∠BAB′=2∠BAC,然后在△ABB′中通過(guò)“內(nèi)引”,構(gòu)造AB或AB′邊上的高,以通法求解。其中AB=AB′=2,BB′=2BF(BF的長(zhǎng)可以在△ABC中通過(guò)等積法來(lái)求)。翻折方法二:如圖9,將△ABC和網(wǎng)格線沿直線AB翻折,可得到∠CAC′=2∠BAC,然后在△ACC′中通過(guò)“內(nèi)引”,構(gòu)造AC或AC′邊上的高,以通法求解。翻折方法三:如果我們追尋“等腰出,倍角現(xiàn)”這條線索,如圖10,只需過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC,交AC于點(diǎn)E,將△ABE沿著B(niǎo)E翻折,使點(diǎn)A落在AC上的A′處,連接A′B、A′D,由外角的性質(zhì)可知∠A′BD=2∠CAB。雖然△A′BD不是格點(diǎn)三角形,但我們?nèi)钥梢酝ㄟ^(guò)“內(nèi)引”三角形的高解決問(wèn)題。

    三、通過(guò)旋轉(zhuǎn)進(jìn)行內(nèi)引

    對(duì)于旋轉(zhuǎn),看似只有兩個(gè)元素(旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度),但它不像平移和翻折那樣比較直觀,相對(duì)而言,思維要求和操作難度都比較大,因此,我們有時(shí)可以借助線段自身的旋轉(zhuǎn)達(dá)到發(fā)現(xiàn)的目的。

    例3 在如圖11所示的網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A、B、C、O都在格點(diǎn)上,D是AC邊上的任意一點(diǎn),AE⊥BD于點(diǎn)E,求sin∠BEO的值。

    【思路分析】乍一看無(wú)從下手,但結(jié)合條件AE⊥BD,再仔細(xì)觀察,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)AO⊥BO,所以有∠OAE=∠OBD,再結(jié)合AO=BO這樣的相等關(guān)系,能啟發(fā)我們可以從旋轉(zhuǎn)的角度考慮問(wèn)題。若將△AOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使它與△BOF重合,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,△AOE的形狀、大小不會(huì)變化,而旋轉(zhuǎn)角度是90°,故明確了△OEF的特殊性——等腰直角三角形,所以∠BEO=45°,此時(shí)求sin∠BEO的值也就水到渠成了。

    對(duì)于求解銳角三角函數(shù)類(lèi)問(wèn)題而言,網(wǎng)格僅僅是一個(gè)載體,內(nèi)引和外聯(lián)是解題的方法,平移、翻折和旋轉(zhuǎn)是解題的策略。有了網(wǎng)格中隱含的直角和相等的線段,結(jié)合解題的方法與策略,難題就會(huì)變得容易多了。

    (作者單位:江蘇省太倉(cāng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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