拉普拉斯變換在控制系統(tǒng)微分方程中的應(yīng)用

周蓉，陳峰，嚴(yán)晨雪，王越群

（江蘇商貿(mào)職業(yè)學(xué)院，江蘇南通，226011）

0 引言

在沒(méi)有人直接參與的情況下，自動(dòng)控制（automatic control）是利用外加的設(shè)備或裝置，能夠使機(jī)器、參數(shù)、生產(chǎn)過(guò)程的某個(gè)工作狀態(tài)或設(shè)備按照預(yù)定的規(guī)律自動(dòng)的運(yùn)行[1]。自動(dòng)控制是一種技術(shù)措施，能自動(dòng)調(diào)節(jié)、加工、檢測(cè)的機(jī)器設(shè)備以及儀表，并給他們規(guī)定的程序或特定的指令，以便于讓它們自動(dòng)的作業(yè)。自動(dòng)控制能夠有效的增加產(chǎn)量、降低成本、提高質(zhì)量，并且能夠保障生產(chǎn)安全，確保工人的勞作強(qiáng)度等[2]。自動(dòng)控制技術(shù)的研究有利于提高人們的工作效率，因此在一些復(fù)雜的環(huán)境中，人們工作的時(shí)間相對(duì)于以前降低了很多。自動(dòng)控制技術(shù)利用了反饋定理，該定理利用輸出信號(hào)反饋到輸入信號(hào)，從而使輸出值接近于我們想要的值[3-4]。自動(dòng)控制系統(tǒng)中涉及到的基本的計(jì)算有拉普拉斯變換、傅里葉變換等。

1 拉普拉斯變換的概念

拉普拉斯變換簡(jiǎn)稱拉氏變換，它廣泛應(yīng)用在許多科學(xué)技術(shù)和工程領(lǐng)域。研究過(guò)程中，我們需要從實(shí)際出發(fā)，首先以研究對(duì)象為基礎(chǔ)，將其規(guī)劃為一個(gè)時(shí)域數(shù)學(xué)模型，然后再借助于拉普拉斯變換數(shù)學(xué)工具轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)域數(shù)學(xué)模型，最后如果想要結(jié)果表現(xiàn)的更直觀，可以使用圖形來(lái)表示，而圖形的表示方法是以傳遞函數(shù)（復(fù)域數(shù)學(xué)模型）為基礎(chǔ)，所以拉氏變換是古典控制理論中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[5-6]。利用拉氏變換變換求解數(shù)學(xué)模型時(shí)，我們就當(dāng)作求解一個(gè)線性方程，換而言之拉氏變換不僅可用來(lái)將簡(jiǎn)單的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)域信號(hào)，還可以用來(lái)求解控制系統(tǒng)微分方程[7]。拉氏變換是將時(shí)域信號(hào)變?yōu)閺?fù)數(shù)域信號(hào)，反之，拉氏反變換是將復(fù)數(shù)域信號(hào)變?yōu)闀r(shí)域信號(hào)，下面對(duì)其概念作具體介紹。

■1.1 拉氏正變換

定義：對(duì)于定義在[0, ∞)區(qū)間上的函數(shù)f(t)，有拉普拉斯積分其中F(S)稱作函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換，簡(jiǎn)稱為拉氏變換。

■1.2 拉氏反變換

拉氏反變換是拉氏正變換的逆運(yùn)算，其公式為L(zhǎng)?1[F(s)]=f(t)。

■1.3 拉氏變換的運(yùn)算定理

在使用拉氏變換過(guò)程中，為了方便計(jì)算，常用到一些基本的運(yùn)算定理，這些定理都可以通過(guò)拉氏變換定義式證明得到。

（1）線性定理

若L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t) ]=F2(s)，則L[k1f1(t) +k2f1(t)]=k1F1(s) +k2F2(s)。

（2）微分定理

L[f'(t) ]=sF(s) ?f(0)， 在 零 初 始 條 件 下:L[fn(t)]=snF(s)。上式表明，初始條件為0時(shí)，原函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的拉氏式等于其象函數(shù)乘以sn。

（3）積分定理

在零初始條件下:L[ ∫ ···∫f(t)dtn]=F(s) /sn，上式表明，在零初始條件下，原函數(shù)的n重積分的拉氏式等于其象函數(shù)除以sn。

（4）位移定理

若L[f(t)]=F(s)，則L[e?atf(t) ]=F(s+a)。

（5）延遲定理

當(dāng)原函數(shù)f(t)延遲τ時(shí)間，成為f(t?τ)時(shí)，它的拉氏式為：L[f(t?τ) ]=e?sτF(s)，上式表明，當(dāng)原函數(shù)f(t)延遲τ，即成f(t?τ)時(shí)，相應(yīng)的象函數(shù)F(s)應(yīng)乘以因子e?sτ。

（6）終值定理

條件：sF(s)的全部極點(diǎn)除坐標(biāo)原點(diǎn)外應(yīng)全部分部在s平面的左半平面[8]。

2 應(yīng)用拉氏變換求解微分方程

■2.1 求解微分方程步驟

拉氏變換求解控制系統(tǒng)微分方程的步驟如下：

（1）將微分方程轉(zhuǎn)化為以s為變量的線性代數(shù)方程，該步驟利用拉氏變換。

（2）解代數(shù)方程得到輸出量的象函數(shù)。

（3）利用拉氏反變換求出原函數(shù)即得到微分方程解[9]。

■2.2 實(shí)例1 拉氏變換求解電路微分方程

如圖1所示RLC電路，試列寫(xiě)以u(píng)r(t)為輸入量，已知輸入為沖激函數(shù)，其中uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程，利用拉氏變換求解uc(t)。

圖1 RLC串聯(lián)電路

由電路圖可以看出，該電路是一個(gè)電阻電感電容串聯(lián)的回路，因此流過(guò)該回路的電流相等，可以得出電容上的電流等于i(t)。根據(jù)電路圖還可以看出，輸出量為uc(t)，輸入量為uc(t)，那我們只需要列出輸出量和輸入量之間的關(guān)系。其中，電感、電容是一個(gè)特殊的元件，電容上的電壓與電流的關(guān)系式為：

接下來(lái)我們根據(jù)基爾霍夫第二定律列出KVL方程：

將數(shù)據(jù)代入上式：

利用拉氏變換的微分定理列出上式變換后的式子：

由于ur(t)為沖激函數(shù)，則其拉氏變換UR(s)=1，合并同類項(xiàng)，求出UC(s)：

在這里為了方便計(jì)算，代入一組數(shù)據(jù)，令L=1H,C= 1F,R= 1?，得到UC(s)：

■2.3 實(shí)例2 拉氏變換求解機(jī)械位移系統(tǒng)微分方程

如圖2所示為機(jī)械位移系統(tǒng)，圖中所示k為彈簧系數(shù)，f為阻尼系數(shù)，F(xiàn)為外力作用，假設(shè)為階躍函數(shù)，m是物體質(zhì)量。列寫(xiě)質(zhì)量m在外力F作用下位移y(t)的運(yùn)動(dòng)方程，并求出y(t)。

圖2 機(jī)械位移系統(tǒng)

根據(jù)彈簧系數(shù)，考慮彈簧彈力2() ()Ft=kyt

根據(jù)力的平衡條件，列出平衡方程，得到外力F(t)，F(xiàn)3(t) =F(t) ?F1(t) ?F2(t)，代入后為：

將微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)域方程：

F(t)為階躍函數(shù)，則其復(fù)數(shù)域函數(shù)為F(s)= 1 /s,代入上式得到Y(jié)(s)：

假設(shè)m= 1 ,f= 0 ,k= 0 ，得到，類似于拋物線函數(shù)，可得出其拉氏逆變換結(jié)果如下所示。

3 Matlab驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果

■3.1 MATLAB的基本知識(shí)

自動(dòng)控制原理的根軌跡分析、頻域分析、時(shí)域分析、控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)等問(wèn)題，要求數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)，對(duì)于抽象的一些問(wèn)題，我們必須具備極強(qiáng)的想象力，比如在畫(huà)Bode圖、描述函數(shù)以及分析狀態(tài)空間等一些問(wèn)題時(shí)，要有能承受得住復(fù)雜、繁瑣的計(jì)算與繪圖的工具。使用MALAB編程運(yùn)算可以說(shuō)是模仿人在進(jìn)行科學(xué)計(jì)算的思路和表達(dá)方式，所以說(shuō)MALAB的語(yǔ)法更貼近人的思維方式，用MATLAB編寫(xiě)程序，運(yùn)算求解問(wèn)題，十分方便，就相當(dāng)于在演算紙上排列書(shū)寫(xiě)公式。還有，MATLAB語(yǔ)言語(yǔ)句簡(jiǎn)單，極其容易學(xué)習(xí)與使用，并且MATLAB界面友好，使得從事自動(dòng)控制的科技工作者樂(lè)于接觸它，總而言之，MATLAB特別適合進(jìn)行自動(dòng)控制原理的實(shí)現(xiàn)。

■3.2 實(shí)例1 MATLAB驗(yàn)證拉氏變換求解電路微分方程

根據(jù)實(shí)例1中用拉氏變換求解電路微分方程，并且代入數(shù)據(jù)后得到接下來(lái)用MATLAB驗(yàn)證，最后仿真后得到的方程的結(jié)果如圖3所示。

圖3 實(shí)例1仿真結(jié)果

由此可見(jiàn)計(jì)算出的結(jié)果與仿真的結(jié)果一致。

■3.3 實(shí)例2 MATLAB驗(yàn)證拉氏變換求解機(jī)械位移系統(tǒng)微分方程

根據(jù)實(shí)例1中用拉氏變換求解電路微分方程，并且代入數(shù)據(jù)后得到，接下來(lái)用MATLAB驗(yàn)證，最后仿真后得到的方程的結(jié)果如圖4所示。

圖4 實(shí)例1仿真結(jié)果

由此可見(jiàn)計(jì)算出的結(jié)果與仿真的結(jié)果一致，如果遇到比較復(fù)雜的式子時(shí)，利用MATLAB能更快更準(zhǔn)確的仿真出結(jié)果。

■3.4 實(shí)例分析啟示

根據(jù)以上的例題分析可以得到拉氏變換求解控制系統(tǒng)微分方程的基本步驟和方法為：分析控制系統(tǒng)，找出被控量→列出控制系統(tǒng)的時(shí)域微分方程→將微分方程拉氏正變換為復(fù)域方程→求解復(fù)域方程，得出被控量的復(fù)域函數(shù)→將復(fù)域函數(shù)拉氏逆變換得到微分方程的解。

4 結(jié)論

綜上可知，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，如果遇到拉氏變換，教師需要用合適的方法來(lái)使學(xué)生對(duì)其加深印象。除了需要幫助學(xué)生分析系統(tǒng)的組成外，還需要幫助學(xué)生復(fù)習(xí)拉氏變換的基本定理及性質(zhì)，這對(duì)他們以后學(xué)習(xí)的內(nèi)容有相應(yīng)的幫助，能讓他們深刻理解其適用的對(duì)象及范圍。并且，教師要重視典型例題的講解、分析和總結(jié)，使學(xué)生在教學(xué)中掌握基本的定理，能夠讓他們靈活地運(yùn)用這些定理。一旦學(xué)生有了獨(dú)立分析問(wèn)題的能力，這將對(duì)于增強(qiáng)他們發(fā)散性思維有一定的幫助。