軸承不對(duì)中與軸承摩擦激勵(lì)耦合作用下軸系的振動(dòng)特性分析

覃文源，張智軒，劉文，譚煥成

(中國(guó)航發(fā)商用航空發(fā)動(dòng)機(jī)有限責(zé)任公司，上海201108)

推進(jìn)軸系是重要的船舶動(dòng)力傳遞系統(tǒng)，其振動(dòng)不僅會(huì)影響到自身工作性能，更是主要的輻射噪聲源[1-2]。其中，水潤(rùn)滑橡膠軸承的摩擦激勵(lì)是軸系產(chǎn)生異常振動(dòng)的重要誘因之一[3-8]。水潤(rùn)滑橡膠軸承具有無(wú)污染和吸收振動(dòng)的特性，其被廣泛應(yīng)用于艉軸支承[9]，但是由于螺旋槳的懸伸布置，在低速、重載以及開、停機(jī)等工況下，水潤(rùn)滑橡膠軸承往往處于混合潤(rùn)滑或者邊界潤(rùn)滑狀態(tài)[1,10]，不良的潤(rùn)滑狀態(tài)會(huì)導(dǎo)致相對(duì)較大的軸承摩擦激勵(lì)力，進(jìn)而誘導(dǎo)軸系產(chǎn)生異常振動(dòng)、噪聲。由于對(duì)低噪聲軸系的迫切需求，研究者們?cè)谟嘘P(guān)軸系振動(dòng)特性及其影響因素等方面開展了一系列研究工作。文獻(xiàn)[11]分析了軸系靜態(tài)不確定因素對(duì)多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力響應(yīng)特性的影響。文獻(xiàn)[12]對(duì)存在聯(lián)軸器不對(duì)中的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性以及穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。劉占生等[13]綜述了有關(guān)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中聯(lián)軸器不對(duì)中問(wèn)題的研究。Jun等[14]分析了動(dòng)力潤(rùn)滑滑動(dòng)軸承的壓力分布對(duì)軸系載荷分布的影響。文獻(xiàn)[15-16]考慮了有不對(duì)中效應(yīng)存在下滑動(dòng)軸承的動(dòng)力潤(rùn)滑特性。李方等[17]采用有限元方法分析了軸承不對(duì)中對(duì)螺旋槳軸系靜態(tài)特性的影響。馬斌等[18]建立了標(biāo)高-非線性支承力-彎曲振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并分析了艉軸承標(biāo)高對(duì)推進(jìn)軸系橫向振動(dòng)特性的影響。文獻(xiàn)[7]采用實(shí)驗(yàn)方法分析轉(zhuǎn)速、軸承載荷、軸承冷卻水溫度以及軸承安裝狀態(tài)對(duì)水潤(rùn)滑橡膠軸承摩擦噪聲的影響。文獻(xiàn)[19]研究了滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑膜剛度對(duì)推進(jìn)軸系振動(dòng)特性的影響。文獻(xiàn)[20]研究了螺旋槳激勵(lì)下推進(jìn)軸系扭轉(zhuǎn)、縱向、彎曲耦合振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[3-5，21-22]等考慮了軸承界面摩擦激勵(lì)與推進(jìn)軸系、殼體動(dòng)力學(xué)特性的耦合，并采用解析方法分析了軸承界面摩擦力對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。目前，對(duì)推進(jìn)軸系安裝狀態(tài)和水潤(rùn)滑橡膠軸承摩擦激勵(lì)耦合作用下的軸系振動(dòng)特性的研究還不夠充分，基于上述研究，本文重點(diǎn)研究軸承不對(duì)中與軸承摩擦激勵(lì)力的耦合作用對(duì)軸系彎、扭耦合振動(dòng)特性的影響。

1 動(dòng)力學(xué)建模

推進(jìn)軸系的簡(jiǎn)化模型如圖1所示。其中，前、后支承均簡(jiǎn)化成單點(diǎn)彈簧-阻尼器并聯(lián)支承；水潤(rùn)滑橡膠軸承相對(duì)較長(zhǎng)，同時(shí)受不良潤(rùn)滑狀態(tài)的影響，故將水潤(rùn)滑橡膠軸承簡(jiǎn)化成分布彈簧艉支承；分析時(shí)，僅考慮聯(lián)軸器至螺旋槳軸段，如圖1(b)所示；螺旋槳、聯(lián)軸器分別簡(jiǎn)化成具有等效質(zhì)量和慣量的剛性圓盤；坐標(biāo)系方向如圖1(b)所示，原點(diǎn)位于所分析軸段的最右端。

圖1 推進(jìn)軸系簡(jiǎn)化模型

1.1 軸承支反力

分析軸承的支反力時(shí)，將其表示成彈簧支承力與阻尼力的和。其中，軸承主方向剛度和阻尼遠(yuǎn)大于交叉剛度和阻尼[23]，本文中未考慮軸承的交叉剛度和阻尼。

式中：Fbs為彈簧支承力，F(xiàn)bd為阻尼力，kyy、kzz分別為軸承y、z方向的主剛度，kyz、kzy為交叉剛度，cyy、czz為軸承y、z方向的阻尼，cyz、czy為交叉阻尼，δy、δz分別代表軸承y、z方向的相對(duì)彈性變形量。

kyy、kzz分別是δy、δz的函數(shù)[18]：

式中：kyy0、kyy1、kyy2、kzz0、kzz1、kzz2均為待定常系數(shù)。

1.2 摩擦模型

軸承-軸頸接觸界面的摩擦模型對(duì)分析結(jié)果起著決定性作用[24-26]。當(dāng)轉(zhuǎn)軸運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，軸承-軸頸接觸模型如圖2所示。轉(zhuǎn)軸和軸承之間的摩擦激勵(lì)可以等效為通過(guò)轉(zhuǎn)軸軸心的摩擦力Ff和力矩Mf，為了模擬低速、重載工況下水潤(rùn)滑橡膠軸承的摩擦特性，本文選用經(jīng)典的Stribeck速度指數(shù)依賴型摩擦系數(shù)模型。

圖2 軸承-軸頸接觸模型

動(dòng)摩擦系數(shù)μd表示如下：

式中：α0、β0均是由實(shí)驗(yàn)確定的常數(shù)，μs為靜摩擦系數(shù)，vr為軸承-軸頸間相對(duì)滑動(dòng)速度，sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。

摩擦力Ff，力矩Mf：

式中：FN為軸承-軸頸間法向接觸力，R為轉(zhuǎn)子半徑。

艉軸承-軸頸接觸界面正壓力的垂向分量FNsy：

式中：Fbsyi為艉支承第i個(gè)分布彈簧的支反力，n為艉支承分布彈簧的數(shù)目，F(xiàn)gs為艉支承承受的相應(yīng)重力分量。

軸承-軸頸間相對(duì)滑動(dòng)速度的水平分量vrz：

式中：Ω為轉(zhuǎn)軸自轉(zhuǎn)角速度，θx為轉(zhuǎn)軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角位移，z為轉(zhuǎn)軸水平方向的振動(dòng)位移。同理，可以得到相對(duì)滑動(dòng)速度的豎直分量。轉(zhuǎn)軸的橫向、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)通過(guò)軸承界面摩擦激勵(lì)力耦合。

1.3 軸系動(dòng)力學(xué)模型

基于拉格朗日方程和有限元方法建立推進(jìn)軸系的動(dòng)力學(xué)模型。將軸系離散為2節(jié)點(diǎn)的Timoshenko梁?jiǎn)卧?，分析軸系的橫向、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性，并考慮轉(zhuǎn)軸陀螺力矩的影響。

每個(gè)節(jié)點(diǎn)的自由度表示如下：

式中：5個(gè)自由度分別為沿y、z方向的平動(dòng)自由度以及繞y、z、x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

剛性圓盤的運(yùn)動(dòng)微分方程：

式中：ud為剛性圓盤對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)自由度向量，Md、Gd分別為剛性圓盤質(zhì)量矩陣和陀螺矩陣，相應(yīng)矩陣的詳細(xì)表達(dá)式可見(jiàn)參考文獻(xiàn)[27]，Qd為相應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的廣義力向量。

彈性軸單元的運(yùn)動(dòng)微分方程：

式中：us為彈性軸單元相應(yīng)節(jié)點(diǎn)自由度向量，Ms、Gs、Ks分別為彈性軸單元的質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣以及剛度矩陣，相應(yīng)矩陣的詳細(xì)表達(dá)式可見(jiàn)參考文獻(xiàn)[27]，Qs為相應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的廣義力向量。

將各部分運(yùn)動(dòng)微分方程綜合，可得軸系的運(yùn)動(dòng)微分方程：

式中：M、C、G、K分別為軸系的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣以及剛度矩陣，F(xiàn)g為軸系重力矢量，F(xiàn)b為軸承支反力矢量，F(xiàn)f為系統(tǒng)所受摩擦力矢量。

系統(tǒng)阻尼選用Rayleigh比例阻尼[28]：

式中：α、β均為比例阻尼系數(shù)。

利用模態(tài)疊加法[29]對(duì)方程(13)進(jìn)行降階：

式中：Ui(x)為第i階模態(tài)向量，選用的模態(tài)向量已經(jīng)考慮了軸承標(biāo)高變化對(duì)軸系靜態(tài)特性的影響，qi(t)為相應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)。

基于方程式(15)，將方程式(13)中的各量由物理空間轉(zhuǎn)換到模態(tài)空間：

式中：M′、C′、G′、K′分別為模態(tài)空間中相應(yīng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣以及剛度矩陣，M′=UTMU，C′=UTCU，G′=UTGU，K′=UTKU為模態(tài)空間中的重力矢量，F(xiàn)′g=UTFg，F(xiàn)?b為模態(tài)空間中的軸承支反力矢量，為模態(tài)空間中的摩擦力矢量，F(xiàn)?f=UTFf。

2 數(shù)值仿真

2.1 模型參數(shù)

橡膠軸承簡(jiǎn)化成5個(gè)并聯(lián)分布的彈簧支承，艉支承的總剛度[17]（單位N/m）如式(17)、式(18)所示，5個(gè)分布彈簧的剛度均為總剛度的1/5；L=20 m、L0=0.85 m、L1=9.65 m、L2=7.5 m，軸截面半徑R=0.14 m；彈性模量、泊松比、密度、剪切模量分別為2.1×1011Pa，0.3，7 850 kg/m3，0.769×1011Pa；螺旋槳的質(zhì)量、極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為mp=2 000 kg、Jpp=600 kg·m2、Jdp=300 kg·m2；聯(lián)軸器端質(zhì)量、極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為mc=1 000 kg、Jpc=200 kg·m2、Jdc=100 kg·m2；前支承剛度kyyf=kzzf=1.0×108N/m；后支承剛度kyyr=kzzr=2.5×108N/m；彈性聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)剛度和徑向剛度分別為2.5×106N·m/rad，8.0×106N·m。

2.2 動(dòng)力響應(yīng)

采用二分法迭代求解軸系的靜平衡位置，并分析軸系的固有振動(dòng)特性。模態(tài)截?cái)鄷r(shí)，橫向振動(dòng)取前36階模態(tài)，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)取前16階模態(tài)，阻尼系數(shù)α=0.13，β=1.7×10-4，主軸轉(zhuǎn)速為60 r/min，采用4階Runge-Kutta方法求解方程式(16)，主要分析前、艉支承標(biāo)高變化對(duì)轉(zhuǎn)軸橫向、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)域及頻域特征的影響。其中，ωb1、ωb4、ωb5、ωb7、ωb8、ωb9分別對(duì)應(yīng)橫向振動(dòng)第1、4、5、7、8、9階頻率；ωt1、ωt2、ωt3、ωt4分別對(duì)應(yīng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)第1、2、3、4階頻率。

圖3、圖4分別對(duì)應(yīng)前支承標(biāo)高抬高、降低0.004 m時(shí)，轉(zhuǎn)軸的橫向、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)域及頻域特征。為了進(jìn)一步明確前支承標(biāo)高的影響，將支承標(biāo)高抬高0.004 m，降低0.004 m以及標(biāo)高未發(fā)生改變3種狀態(tài)下轉(zhuǎn)軸的橫向、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻域特征加以比較，如圖5所示。

圖3 前支承標(biāo)高抬高0.004 m，轉(zhuǎn)軸橫向、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)域和頻域特征

圖4 前支承標(biāo)高降低0.004 m，轉(zhuǎn)軸橫向、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)域和頻域特征

圖6、圖7分別對(duì)應(yīng)艉支承標(biāo)高抬高、降低0.004 m時(shí)，轉(zhuǎn)軸的橫向、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)域及頻域特征。為了進(jìn)一步明確艉支承標(biāo)高的影響，將支承標(biāo)高抬高0.004 m，降低0.004 m以及標(biāo)高未發(fā)生改變3種狀態(tài)下轉(zhuǎn)軸的橫向、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻域特征加以比較，如圖8所示。圖3、4、7所示系統(tǒng)響應(yīng)均表現(xiàn)為在系統(tǒng)阻尼作用下逐漸衰減，且橫向、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)耦合效應(yīng)較弱；如圖5所示。一定程度的前支承標(biāo)高改變量對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)強(qiáng)度的影響較小，是因?yàn)閷?duì)艉支承壓力分布的影響較?。粓D6所示系統(tǒng)響應(yīng)有自激振動(dòng)現(xiàn)象產(chǎn)生，如圖8所示，第7、第9階橫向振動(dòng)以及第1階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)強(qiáng)度得到明顯放大，且表現(xiàn)出較強(qiáng)的橫向、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)耦合效應(yīng)。

圖5 前支承標(biāo)高對(duì)軸系振動(dòng)特性的影響

圖6 艉支承標(biāo)高抬高0.004 m，轉(zhuǎn)軸橫向、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)域和頻域特征

圖7 艉支承標(biāo)高降低0.004 m，轉(zhuǎn)軸橫向、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)域和頻域特征

圖8 艉支承標(biāo)高對(duì)軸系振動(dòng)特性的影響

3 結(jié)語(yǔ)

誘導(dǎo)軸系產(chǎn)生異常振動(dòng)的因素較多，其中，軸承不對(duì)中和艉軸承摩擦激勵(lì)以及兩者的耦合作用是不可忽視的影響因素。本文建立了軸承不對(duì)中與艉軸承摩擦激勵(lì)耦合作用下推進(jìn)軸系的動(dòng)力學(xué)模型，并利用四階Runge-Kutta方法分析前支承、艉支承標(biāo)高分別抬高、降低對(duì)系統(tǒng)橫向、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)特性的影響，可為識(shí)別軸系異常振動(dòng)噪聲、改善軸系振動(dòng)特性提供參考。

主軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)下，軸承界面摩擦力主要受主軸轉(zhuǎn)速、軸承正壓力以及軸承-軸頸界面接觸狀態(tài)的影響。相對(duì)于前支承，艉支承的標(biāo)高改變會(huì)在較大程度上影響艉支承壓力分布，在軸承摩擦力作用下，艉支承標(biāo)高改變會(huì)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)產(chǎn)生相對(duì)較大的影響，容易誘導(dǎo)自激振動(dòng)現(xiàn)象，系統(tǒng)某些階次振動(dòng)強(qiáng)度得到明顯放大，且系統(tǒng)振動(dòng)耦合效應(yīng)增強(qiáng)。