準(zhǔn)零剛度懸架的低頻隔振仿真分析

吳波，艾星然

（武漢理工大學(xué) 機電工程學(xué)院，武漢 430070）

懸架的隔振性能對汽車行駛平順性的影響極為關(guān)鍵。傳統(tǒng)線性懸架對于外界高頻率振動有很好的隔振效果，但根據(jù)經(jīng)典隔振理論分析可知，線性懸架在受到外界低頻激勵時，是無法實現(xiàn)有效隔振的。一些高檔型汽車可以利用主動懸架、半主動懸架或空氣懸架來有效隔振，但對于低檔型汽車來說，在針對低頻隔振問題時主要通過降低懸架剛度來解決，然而降低懸架剛度會降低汽車操控穩(wěn)定性，同樣會給汽車性能帶來不良影響。針對汽車行駛平順性與操控穩(wěn)定性這兩個互相約束的問題，準(zhǔn)零剛度原理在一定程度上可以進行有效平衡。

準(zhǔn)零剛度概念最早是1989年由Alabuzhevti等[1]提出的，以準(zhǔn)零剛度原理為基礎(chǔ)建立的隔振系統(tǒng)具有高靜低動（高靜剛度，低靜位移，低動剛度）的特性，能夠減小系統(tǒng)動剛度，進而大幅度降低振動系統(tǒng)低頻段的幅值，有效隔離低頻振動。CARRELLA等[2-3]提出經(jīng)典三彈簧式準(zhǔn)零剛度隔振機構(gòu)，在此結(jié)構(gòu)中斜置的兩個螺旋彈簧構(gòu)成負(fù)剛度元件具有幾何非線性，與垂直放置的螺旋彈簧并聯(lián)成準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)，在彈簧壓縮至水平是達到準(zhǔn)零剛度效果。李吉等[4]設(shè)計基于負(fù)壓空氣和橡膠囊的全新低頻隔振器，并進行實驗和仿真分析。丁鵬壘[5]將滾輪-凸輪結(jié)構(gòu)與麥弗遜懸架相結(jié)合構(gòu)成新型準(zhǔn)零剛度懸架，此結(jié)構(gòu)相對其他準(zhǔn)零剛度機構(gòu)所占空間較小，結(jié)構(gòu)簡易，適合應(yīng)用于汽車懸架中。碟簧作為非線性彈性元件，在結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足一定條件下會具有負(fù)剛度特性，當(dāng)然也可具有準(zhǔn)零剛度特性，但是碟簧的位移量限制特別大，只有在受到小振幅激勵時才有一定的作用，而在相對較大振幅激勵時完全無法滿足條件，而應(yīng)用到汽車懸架中更是差之千里。對此，郟劍宇[6]提出將具有準(zhǔn)零剛度特性的多片碟簧組與普通彈簧結(jié)合得到新型準(zhǔn)零剛度懸架來解決碟簧無法滿足懸架減振器行程問題，并通過實驗進行驗證。但對于低成本兩座新能源車來說，普通碟簧剛度相對較大，在該車型懸架中使用的隔振效果并不理想，所以將普通碟簧更換為剛度較小的膜片碟簧，并與螺旋彈簧進行串聯(lián)應(yīng)用到麥弗遜懸架中構(gòu)成新型準(zhǔn)零剛度懸架。

本文對膜片碟簧的靜態(tài)特性進行分析，確定膜片碟簧具有準(zhǔn)零剛度特性的條件。然后建立膜片碟簧與線性彈簧串聯(lián)結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)模型進行分析其是否具有準(zhǔn)零剛度特性。再通過建立新型準(zhǔn)零剛度懸架的數(shù)學(xué)模型，確定隨機路面激勵模型，利用Runge-Kutta法進行求解，得到新型準(zhǔn)零剛度懸架的振動特性并與等效線性懸架進行對比，結(jié)果顯示準(zhǔn)零剛度懸架相對于原線性懸架在隔振方面具有一定優(yōu)越性。

1 膜片碟簧的靜態(tài)特性

膜片碟簧與碟簧的靜態(tài)特性相似，具有變剛度特性，通過對膜片碟簧參數(shù)的優(yōu)化選擇可以使膜片碟簧具有準(zhǔn)零剛度特性。圖1所示為一膜片碟簧，該膜片碟簧的彈性模量為E，泊松比為μ，內(nèi)、外半徑分別為d、D，內(nèi)錐高為H，厚度為a，f為單片碟簧的變形量。

圖1 膜片碟簧結(jié)構(gòu)示意圖

由文獻[7]關(guān)于膜片碟簧受壓力后恢復(fù)力的定義可知：

其中：f為膜片碟簧的位移量，

對式（1）進行無量綱化后得到：

圖2 碟簧不同高厚比對應(yīng)的無量綱恢復(fù)力與位移關(guān)系

將式（2）對求導(dǎo)可得無量綱化剛度為

由式（3）可知在∈[-β,β]范圍內(nèi)，膜片碟簧的無量綱剛度也是關(guān)于=0對稱，且當(dāng)=0時膜片碟簧無量綱剛度具有最小值為

圖3為不同β值對應(yīng)的膜片碟簧無量綱剛度與位移之間關(guān)系式。由圖可知，膜片碟簧受載荷后恢復(fù)力具有非線性且當(dāng)取得合適高厚比，膜片碟簧具有準(zhǔn)零剛度特性，此時有=0，則此時，對應(yīng)的無量綱位移=0，即xz=h，此時膜片碟簧的位移量剛好為膜片碟簧的內(nèi)錐高，即膜片碟簧在被壓平時處于準(zhǔn)零剛度點。當(dāng)時，則膜片碟簧處于正剛度特性區(qū)域；在時，膜片碟簧具有負(fù)剛度特性，負(fù)剛度特性范圍在無量綱位移內(nèi)，可以通過改變膜片碟簧內(nèi)、外半徑和高厚比等參數(shù)增大負(fù)剛度范圍。

圖3 碟簧不同高厚比對應(yīng)的無量綱剛度與位移關(guān)系

2 新型準(zhǔn)零剛度懸架

2.1 準(zhǔn)零剛度懸架結(jié)構(gòu)設(shè)計

準(zhǔn)零剛度隔振結(jié)構(gòu)與汽車懸架系統(tǒng)結(jié)合存在一定的難點，首先，由于懸架空間結(jié)構(gòu)限制，一般準(zhǔn)零剛度隔振器都是由正負(fù)剛度元件并聯(lián)而成，結(jié)構(gòu)雖然簡單，但是所需空間相對于傳統(tǒng)減振器較大；其次，準(zhǔn)零剛度隔振結(jié)構(gòu)可行位移量無法滿足汽車懸架減振器的行程。對于將準(zhǔn)零剛度應(yīng)用到汽車懸架上要在解決這兩個基本問題的基礎(chǔ)上合理進行低頻隔振優(yōu)化。本文采用膜片碟簧對合組合方式與麥弗遜懸架中螺旋彈簧進行串聯(lián)構(gòu)成新型準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，圖4所示為該新型準(zhǔn)零剛度麥弗遜懸架支柱總成的三維模型圖。在膜片碟簧組與螺旋彈簧連接處有一中間質(zhì)量塊進行連接，為防止膜片碟簧組在系統(tǒng)受外界激勵后產(chǎn)生扭矩發(fā)生扭轉(zhuǎn)，將中間質(zhì)量塊設(shè)計為如圖5所示的齒狀結(jié)構(gòu)，但是同時會產(chǎn)生摩擦力作用，由于摩擦不是主要影響因素，在后面仿真部分對于此部分摩擦進行忽略處理。

圖4 新型準(zhǔn)零剛度懸架支柱總成

圖5 膜片碟簧組與螺旋彈簧中間連接塊結(jié)構(gòu)示意圖

2.2 準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)靜力學(xué)分析

膜片碟簧組與線性彈簧串聯(lián)得到準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)示意圖如圖6所示，膜片碟簧個數(shù)為n，準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)位移為x，膜片碟簧總位移為xz，線性彈簧位移為xv。

圖6 膜片碟簧與線性彈簧串聯(lián)結(jié)構(gòu)示意圖

膜片碟簧采用對合組合時，n個膜片碟簧組合受壓后的恢復(fù)力與單片膜片碟簧的關(guān)系為

在軸向力作用下，不考慮中間質(zhì)量塊，該準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)的力位移關(guān)系式為

式中：C,E,a,h,μ同式（1）。

將式（7）無量綱化可得：

由上一節(jié)可知，需要膜片碟簧滿足準(zhǔn)零剛度特性條件在于高厚比值為。由于膜片碟簧受載回復(fù)力計算公式的復(fù)雜性，利用MATLAB進行求解得到系統(tǒng)無量綱恢復(fù)力與無量綱位移關(guān)系式如式（9）所示。

在圖7(a)中是等效剛度比M值對準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)回復(fù)力-系統(tǒng)總位移影響，為保證清楚分析出M值對結(jié)構(gòu)回復(fù)力-位移關(guān)系的影響，將膜片碟簧數(shù)目的取值設(shè)為中間值n=10。在圖7(b)中是對合膜片碟簧數(shù)目對準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)回復(fù)力-位移關(guān)系的影響，同理將將M值設(shè)置為M=0.5。

圖8所示為準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)無量綱剛度與無量綱位移關(guān)系圖，圖8(a)中顯示的為等效剛度比M值對準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)剛度-位移的影響，其中膜片碟簧數(shù)目n=10。圖8(b)中顯示的為膜片碟簧數(shù)目n對準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)剛度-位移關(guān)系的影響，其中取M值為M=0.5。

通過對圖7與圖8的綜合分析可知，由對合組合的膜片碟簧組與線性彈簧串聯(lián)后結(jié)構(gòu)為非線性結(jié)構(gòu)，并且在取得合適等效剛度比M值和膜片碟簧數(shù)目n值后，可以滿足準(zhǔn)零剛度特性，并且由于膜片碟簧組與線性彈簧采用串聯(lián)的緣故，系統(tǒng)在圖示范圍內(nèi)顯示的剛度值比原線性彈簧剛度小，懸架動行程范圍一般在-60 mm～60 mm之間，顯而易見，該結(jié)構(gòu)完全可以滿足懸架動行程，并且在該行程內(nèi)都能有效降低系統(tǒng)動剛度。

圖7 準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)無量綱回復(fù)力與無量綱位移關(guān)系

由圖7（a）、圖8（a）分析可知，M值越小，結(jié)構(gòu)的非線性程度越高，越能達到準(zhǔn)零剛度特性（即剛度最小值為零）。當(dāng)M值增大到一定程度后，膜片碟簧組剛度較大，相對于剛度較小的線性彈簧來說，其相當(dāng)于剛性體，整個結(jié)構(gòu)只有線性彈簧起作用，故M值過大時，該結(jié)構(gòu)只會呈現(xiàn)線性特性。在剛度比M不斷增大的過程中，系統(tǒng)剛度的最小值會向上發(fā)生偏移，且達到最小值時系統(tǒng)的位移值也會發(fā)生偏移。

圖8 準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)無量綱剛度與無量綱位移關(guān)系

由圖7（b）、圖8(b)分析可知膜片碟簧數(shù)目n對準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)的影響尤其明顯，總體影響呈現(xiàn)為n值越大，系統(tǒng)非線性程度越明顯，剛度變化越緩和，準(zhǔn)零剛度特性越明顯。隨著n值的降低，系統(tǒng)剛度最小值會向上偏移，剛度達到最小值時的位移量也會變小，并且系統(tǒng)漸漸趨于線性系統(tǒng)。

由圖8可知，系統(tǒng)的無量綱剛度在在某種條件下是無法滿足準(zhǔn)零剛度條件的，此時我們需要約束等效剛度比M與膜片碟簧數(shù)目n的關(guān)系來使系統(tǒng)達到準(zhǔn)零剛度。系統(tǒng)在處于靜平衡位置即膜片碟簧被壓平時，系統(tǒng)的剛度需要為零。

由式(8)可知，當(dāng)膜片碟簧處于壓平狀態(tài)時即xz=h，系統(tǒng)的總位移為

在剛度比M值與膜片碟簧數(shù)目n滿足式(11)關(guān)系時，系統(tǒng)在處于靜平衡狀態(tài)時具有準(zhǔn)零剛度特性。

3 被動準(zhǔn)零剛度懸架建模與仿真

3.1 汽車1/4懸架模型

將準(zhǔn)零剛度原理與麥弗遜懸架進行結(jié)合的主要目的在于提升懸架系統(tǒng)的隔振性能，利用準(zhǔn)零剛度原理的高靜低動特性提高系統(tǒng)對低頻外部激勵的隔振效果。為了對新型準(zhǔn)零剛度懸架隔振性能進行研究，建立如圖9所示1/4垂直振動懸架系統(tǒng)模型，其中m1、m2、m3分別為簧下質(zhì)量、簧上質(zhì)量和碟簧與螺旋彈簧的中間連接塊質(zhì)量，z0、z1、z2、z3分別為路面隨機激勵位移量、簧下質(zhì)量塊位移量、連接塊位移量和簧上質(zhì)量快位移量，k0、kv、kz分別為汽車輪胎剛度、螺旋彈簧剛度和碟簧剛度。

在垂向振動系統(tǒng)中車輛共有3個自由度，分為簧上質(zhì)量塊、中間質(zhì)量快和簧下質(zhì)量塊的垂向振動，建立動力學(xué)方程如下：

其中：

圖9 1/4準(zhǔn)零剛度被動懸架動力學(xué)模型

設(shè)狀態(tài)變量x=輸出y=z3，則有：

其中：

3.2 參數(shù)確定

針對輕量級低成本的新能源汽車進行分析，當(dāng)研究車輛處于半載狀態(tài)時取m1=45 kg，m3=500 kg，取中間質(zhì)量塊質(zhì)量m2=0.2 kg，懸架阻尼系數(shù)c=1 800 N·（m/s）-1，輪胎剛度k0=180 N·mm-1。螺旋彈簧剛度kv=13 N·mm-1。

膜片碟簧的參數(shù)選取首要考慮是為了匹配該車型原線性懸架方便仿真分析部分對其進行分析對比，其次，要依據(jù)在本文第2節(jié)中對準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)的分析。膜片碟簧參數(shù)E為彈性模量，一般取E=2.06×1011N·mm-1，μ為泊松比，值為0.3，內(nèi)錐高H=3.8 mm，t=2.7 mm，D=100 mm，d=51 mm。

仿真中的隨機路面激勵輸入?yún)⒖嘉墨I[1]中隨機路面激勵建立，該路面模型依據(jù)B級路面建立而成，考慮到路面不平度和車速等因素的影響。路面隨機激勵輸入模型得隨機路面激勵如式中所示：

其中：zq(t)為路面激勵，車速u=20 m/s，f0為濾波器的下截止頻率，取值為f0=0.1 Hz，ω(t)是高斯白噪聲，Gq(n0)是路面不平度系數(shù)，選取B級路面作為路面輸入，選擇Gq(n0)=64×10-6m3，n0為空間頻率參考值，通常定義n0=0.1 m/s。

3.3 MATLAB/simulink仿真

MATLAB/simulink是常用的數(shù)學(xué)分析軟件，可以通過簡單有效的方式對動力學(xué)方程進行求解分析。根據(jù)式（13）在MATLAB/simulink中建立仿真模型如圖10至圖11所示。圖10為新型準(zhǔn)零剛度懸架系統(tǒng)動力學(xué)仿真模型，圖11為等效線性懸架系統(tǒng)動力學(xué)仿真模型，等效線性懸架系統(tǒng)與準(zhǔn)零剛度懸架系統(tǒng)唯一區(qū)別在于缺少準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)部分，即缺少對合膜片碟簧組部分，對兩者進行求解對比，分析準(zhǔn)零剛度懸架優(yōu)越性是否成立。

圖10 準(zhǔn)零剛度懸架系統(tǒng)動力學(xué)仿真模型

圖11 等效線性懸架系統(tǒng)動力學(xué)仿真模型

在對準(zhǔn)零剛度懸架模型和等效線性模型進行求解時采用定步長的Runge-Kutta法。由于激勵函數(shù)的限制，對該動力學(xué)方程的求解采用定步長求解器。在仿真模型中輸入相應(yīng)參數(shù)，設(shè)置計算時長5 s，選擇求解器為定步長的Ode4方法對模型分別進行求解。

4 仿真結(jié)果分析

4.1 時域結(jié)果分析

通過系統(tǒng)的時域圖結(jié)果，可以直觀且準(zhǔn)確地分析出系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。如圖12至圖14所示。為用Runge-Kutta方法對2階微分方程進行求解后得到準(zhǔn)零剛度懸架系統(tǒng)和等效線性懸架系統(tǒng)的車體位移z、時間t響應(yīng)曲線、速度v、時間t響應(yīng)曲線和加速度a、時間t響應(yīng)曲線。為方便對比，將準(zhǔn)零剛度懸架系統(tǒng)求解結(jié)果與等效線性懸架系統(tǒng)求解結(jié)果放于同一圖框中。由結(jié)果對比可知，準(zhǔn)零剛度懸架系統(tǒng)在垂向振動時位移和速度都要小于等效的線性懸架系統(tǒng)，且效果較為明顯。在加速度-時間響應(yīng)曲線中，準(zhǔn)零剛度懸架系統(tǒng)在整體效果中具有優(yōu)勢，但是顯示出的優(yōu)勢較小，準(zhǔn)零剛度懸架系統(tǒng)瞬時加速度幅值在1.5 m/s2以內(nèi)，而等效線性懸架系統(tǒng)的瞬時加速度幅值超過1.5 m/s2。

圖12 系統(tǒng)位移-時間響應(yīng)曲線

4.2 幅頻特性分析

圖13 系統(tǒng)速度-時間響應(yīng)曲線

圖14 系統(tǒng)加速度-時間響應(yīng)曲線

新型準(zhǔn)零剛度懸架的主要目的在于提高汽車懸架在受到低頻外部激勵時的隔振效果，所以對于幅頻特性的研究是最為體現(xiàn)準(zhǔn)零剛度懸架隔振性能的。在MATLAB/Simulink中對得到的時域信號數(shù)據(jù)進行離散傅里葉變換，分別得到懸架系統(tǒng)對應(yīng)的位移、速度和加速度增益影響的Bode曲線如圖10至圖12所示。通常汽車所受路面激勵范圍在0.5 Hz～25 Hz以內(nèi)，所以圖中頻率范圍選擇在0.1 Hz～25 Hz進行研究。

由圖15至圖17可知，無論是對懸架系統(tǒng)的動行程、速度和加速度，準(zhǔn)零剛度懸架增益都比等效線性懸架要小，且對比影響最大的范圍都集中在0.1 Hz～6 Hz內(nèi)。懸架系統(tǒng)在低頻范圍內(nèi)會形成一個共振峰，準(zhǔn)零剛度懸架系統(tǒng)的共振峰峰值明顯比等效線性懸架的共振峰峰值小，并且懸架動行程內(nèi)峰值頻率點有大幅減小，而在速度與加速度增益對比中，峰值頻率點減小幅度較小。在高頻范圍內(nèi)，準(zhǔn)零剛度懸架系統(tǒng)增益會比等效線性系統(tǒng)有所增加，但是影響極小。整體效果上來看，準(zhǔn)零剛度懸架在低頻隔振性能上有所提升。

圖15 系統(tǒng)垂向振動動行程頻率響應(yīng)曲線

圖16 系統(tǒng)垂向振動速度頻率響應(yīng)曲線

圖17 系統(tǒng)垂向振動加速度頻率響應(yīng)曲線

4.3 RMS值對比分析

均方根是計算偏差的平方和與采樣次數(shù)n比值的平方根[8]，能直觀反映振動狀態(tài)和相對差距。這里對準(zhǔn)零剛度懸架和等效線性懸架的車體垂向振動的數(shù)值解進行均方根值評價，公式為

將在Simulink中得到的時域分析數(shù)據(jù)導(dǎo)入到MATLAB工作區(qū)中，分別計算準(zhǔn)零剛度懸架和等效線性懸架的懸架動行程、速度及加速度數(shù)據(jù)的均方根值并進行對比，得到如表1所示的結(jié)果。由表中結(jié)果對比可知，準(zhǔn)零剛度懸架對外界隨機激勵的減振效果比等效線性懸架的更具優(yōu)勢。

表1 車體垂向振動RMS值

5 結(jié)語

本文針對輕量級低成本的新能源兩座車的低頻減振問題設(shè)計了一種結(jié)構(gòu)簡單新型準(zhǔn)零剛度懸架。該新型懸架在麥弗遜懸架基礎(chǔ)上，結(jié)合膜片碟簧的準(zhǔn)零剛度特性，將對合膜片碟簧組與螺旋彈簧進行串聯(lián)構(gòu)成準(zhǔn)零剛度懸架，能與麥弗遜懸架進行合理適配。建立1/4車輛垂向振動動力學(xué)模型，在MATLAB/Simulink中進行仿真，得到準(zhǔn)零剛度懸架的時頻特性曲線及RMS值，并與等效線性懸架進行對比分析，可以得出以下結(jié)論：

(1)膜片碟簧組與線性彈簧串聯(lián)結(jié)構(gòu)具有非線性特性，并且在滿足一定條件下具有準(zhǔn)零剛度特性。

(2)準(zhǔn)零剛度懸架在垂向振動時，懸架振動幅度、速度和加速度相對等效線性懸架都有所減小。

(3)在0.1 Hz～6 Hz的低頻范圍內(nèi)，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的懸架動行程、速度和加速度的幅值增益都明顯降低。在6 Hz以上，準(zhǔn)零剛度懸架系統(tǒng)的增益由極小幅度的增大，對于高頻段，增益是有極小惡化的，所以后期應(yīng)該對準(zhǔn)零剛度懸架系統(tǒng)在高頻段表現(xiàn)有所改善。

(4)由車體振動RMS值可以看出，車體振動位移有所減小，但是在振動能量上減弱較小，有待進一步改善。