含有對(duì)稱間隙的2自由度振動(dòng)系統(tǒng)電路仿真

常逢亮，汪諍，胡國(guó)靜

（蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070）

非光滑機(jī)械系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，其非線性特性由分段線性、間隙、干摩擦和時(shí)滯等非線性因素引起。對(duì)于含有間隙的分段線性機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)振子在間歇內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)為線性系統(tǒng)，而一旦接觸到邊界時(shí)，系統(tǒng)將出現(xiàn)彈性系數(shù)的突變，造成強(qiáng)烈的振動(dòng)和噪聲，促使機(jī)械零件加速磨損和沖擊，引起的隨機(jī)性載荷嚴(yán)重影響到機(jī)械零件的壽命和可靠性[1-2]。

非線性機(jī)械振動(dòng)的研究是近年來研究的熱點(diǎn)，其以理論研究和數(shù)值仿真為手段進(jìn)行分析。數(shù)值仿真采用MATLAB、Fortran或C等編程語言實(shí)現(xiàn)，通過長(zhǎng)時(shí)間的計(jì)算獲得分岔圖和相圖。由于數(shù)值仿真應(yīng)用了數(shù)值迭代求解微分和積分方程，當(dāng)精度要求很高時(shí)，計(jì)算需要花費(fèi)漫長(zhǎng)的時(shí)間和巨大的計(jì)算量[3]。為了能夠快速完成計(jì)算過程，研究者通常對(duì)算法進(jìn)行優(yōu)化，提高數(shù)值計(jì)算的效率，或采用昂貴的高性能計(jì)算機(jī)，以期縮短計(jì)算時(shí)長(zhǎng)。

本論文建立了2自由度線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，確定了非線性特征發(fā)生的頻率范圍。以Multisim為仿真軟件，設(shè)計(jì)了與數(shù)學(xué)模型完全等效的電子電路模型，該等效電路模型僅由幾個(gè)TL074CN運(yùn)算放大器和電阻電容組成，通過仿真得到非線性動(dòng)力學(xué)中相圖，不僅極大地降低了對(duì)于算法和編程能力的要求，而且電路圖具有能直觀表達(dá)方程式的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)Multisim具有運(yùn)行時(shí)間短和調(diào)整參數(shù)簡(jiǎn)便的優(yōu)點(diǎn)。

1 對(duì)稱間隙的2自由度振動(dòng)系統(tǒng)模型

1.1 動(dòng)力學(xué)模型和數(shù)值仿真

典型的含有對(duì)稱間隙2自由度振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示，質(zhì)量M2通過線性彈簧K2和線性阻尼C2與機(jī)架連接，并且在簡(jiǎn)諧激勵(lì)P2sin(ωt+τ)的作用下運(yùn)動(dòng)。質(zhì)量M1通過線性彈簧K1和線性阻尼C1與質(zhì)量M2連接，在距離質(zhì)量M1零點(diǎn)（M1和M2在受力為0的平衡點(diǎn)）B的兩端有線性彈簧K0。設(shè)在靜態(tài)情況下M1和M2所在位置為x1和x2。當(dāng)質(zhì)量M1的位移小于對(duì)稱間隙B時(shí)，M1和M2為一個(gè)2自由度線性振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)質(zhì)量M1的位移大于+B或-B時(shí)，其與線性彈簧K0接觸并發(fā)生作用，此時(shí)M1受到分段線性彈簧力的作用，并且產(chǎn)生非線性運(yùn)動(dòng)。

圖1 動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)動(dòng)力學(xué)理論，可以建立質(zhì)量M1和M2的物理方程：

式中非線性部分為

式(1)為物理方程，其每個(gè)因子均含有量綱，為了分析方便，將式(1)轉(zhuǎn)換為無量綱方程，取無量綱化參數(shù)為

則可得到方程的無量綱化形式，即數(shù)學(xué)方程為

非線性部分為

式(2)中的系數(shù)有5個(gè)，隨著變量ω的變化，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性將呈現(xiàn)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)特征。選取μm=μc=μk1=1，μk0=25，ζ=0.2，δ=0.2，首先確定質(zhì)量M1與線性彈簧K0不發(fā)生接觸的頻率范圍。此時(shí)，系統(tǒng)為一個(gè)線性系統(tǒng)，將式(2)中的非線性項(xiàng)去掉，即可得到線性方程為

根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)于質(zhì)量M1，輸入可以認(rèn)為是X2，輸出為X1；對(duì)于質(zhì)量M2，輸入為激勵(lì)信號(hào)sin(ωt+τ)，輸出為X2；而整個(gè)系統(tǒng)的輸入為激勵(lì)信號(hào)sin(ωt+τ)，輸出為X1，建立式(3)的第一個(gè)方程的傳遞函數(shù)，有：

則：

建立式(3)的第二個(gè)方程的傳遞函數(shù)，有：

則：

以系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào)為輸入信號(hào)，輸出為X1(s)，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

則：

將μm=μc=μk1=1,μk0=25,ζ=0.2,δ=0.2代入式(6)中可以得到：

在Simulink中繪制系統(tǒng)的伯德圖，如圖2所示?？梢钥闯?，系統(tǒng)在頻率為1.9附近增益為0.2（縱坐標(biāo)最小值設(shè)為0.2），隨后繼續(xù)下降，因此，系統(tǒng)只有在頻率低于1.9時(shí)才可能與線性彈簧K0發(fā)生接觸碰撞。圖中橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為增益。

1.2 分岔圖和相圖

根據(jù)上述分析，并根據(jù)圖2和式(7)，可知當(dāng)μm=μc=μk1=1,μk0=25,ζ=0.2,δ=0.2時(shí)，系統(tǒng)中質(zhì)量M1僅在激振頻率小于1.9時(shí)才會(huì)與線性彈簧K0發(fā)生接觸并碰撞，系統(tǒng)進(jìn)入非線性運(yùn)行范圍，而在頻率高于1.9時(shí)，系統(tǒng)整體呈現(xiàn)線性狀態(tài)。將參數(shù)代入式(2)，令對(duì)方程進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換為1階微分方程，即狀態(tài)方程為

圖2 伯德圖

式(7)中非線性部分f(y1)為

根據(jù)狀態(tài)方程式(7)，經(jīng)過編程繪制分岔圖，如圖3所示。圖中橫坐標(biāo)為頻率ω，縱坐標(biāo)均為相對(duì)速度y2-y4。

從分岔圖3中可以看出，隨著頻率ω的變化，含有間隙的2自由度振動(dòng)系統(tǒng)隨著激勵(lì)頻率的變化，系統(tǒng)出現(xiàn)了單周期、2周期、4周期和混沌等復(fù)雜的非線性運(yùn)動(dòng)特征。根據(jù)分岔圖，選取圖3中的1.35、1.395、1.4、1.44，如圖4所示。圖中橫坐標(biāo)為M1相對(duì)M2的位移y1-y3，縱坐標(biāo)為M1相對(duì)M2的速度y2-y4。

圖3 分岔圖

2 電路仿真

使用等效電路實(shí)現(xiàn)振動(dòng)系統(tǒng)的分析，首先要將振動(dòng)系統(tǒng)的方程轉(zhuǎn)換成等效的電路方程[4-7]，將式（7）轉(zhuǎn)換為積分形式：

圖4 相圖

非線性部分為

在此選擇有源積分電路，將式（8）轉(zhuǎn)換成等效的電路方程即：

非線性部分為

分別選用4個(gè)積分模塊來實(shí)現(xiàn)式(9)，其中運(yùn)算放大器選用TL074CN，電路設(shè)計(jì)圖如圖5所示。其中第一個(gè)方程由U1A和U1B實(shí)現(xiàn)；第二個(gè)方程由U2C、U4B和U4C組成；第三個(gè)方程由U1C和U1D組成；第四個(gè)方程由U3A、U3B、U3C組成，U4A和U2A為反相器，非線性函數(shù)由軟件提供的NONLINEAR-DEPENDENT模塊實(shí)現(xiàn)，供電電壓選擇±18 V，將式（9）轉(zhuǎn)換為2階微分方程[8-9]，則有：

式(10)和式(1)形式上完全相同，為了使兩式實(shí)現(xiàn)等效，必須確定式(10)中各個(gè)參數(shù)的數(shù)值。根據(jù)無量綱化過程選取的參數(shù)，即μm=μc=μk1=1，μk0=25，ζ=0.2，δ=0.2.考慮到電阻電容的影響，選取R1=R2=10 kΩ，R10=100 kΩ，C1=C2=C3=C4=22 nf，則得到R4=R7=30 kΩ，R5=R9=30 kΩ，R3=R6=R8=43.3 kΩ，其余電阻僅用于反相電路，所以均取100 kΩ。

圖5 電路圖

正弦波函數(shù)的幅值可由δ=0.2求得：

δ=0.2，即可得Vm=1.067 V

由無量綱化過程，可得出激勵(lì)頻率f和ω之間的關(guān)系為

3 Multisim12.0仿真

通過MultiSim12.0對(duì)電路模型進(jìn)行仿真，函數(shù)發(fā)生器正弦波幅值為1.067 V，選擇激勵(lì)頻率分別為563.86 Hz(1.35ω)、582.65 Hz(1.395ω)、584.74 Hz(1.4ω)、601.45 Hz(1.44ω)，運(yùn)行結(jié)果如圖6所示。示波器中橫坐標(biāo)通道1為位移(y1-y3)，刻度為100 mV/Div；縱坐標(biāo)通道2為速度(y2-y4)，刻度為100 mV/Div。

圖6 電路仿真相圖

相比較于通過編程繪制相圖，Multisim12.0繪制的相圖和其完全一樣。自行編程的運(yùn)行時(shí)間為等效電路仿真的3倍，說明了程序需要進(jìn)行更進(jìn)一步的優(yōu)化，當(dāng)然更說明了編程對(duì)于非線性研究的影響太大，能降低其影響，可以提高研究效率。同時(shí)電路仿真還擁有著動(dòng)態(tài)參數(shù)可調(diào)的優(yōu)點(diǎn)，利用等效電路分析非線性動(dòng)力學(xué)，降低對(duì)編程要求，提高研究的效率。

4 結(jié)語

通過對(duì)2自由度線性系統(tǒng)建立傳遞函數(shù)，應(yīng)用bode圖分析分段線性系統(tǒng)的碰撞區(qū)間，確定分段線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)發(fā)生非線性特性的頻率范圍，減少數(shù)值分析的計(jì)算時(shí)長(zhǎng)。應(yīng)用Multisim12.0電路仿真軟件中的NONLINEAR-DEPENDENT模塊及幾個(gè)TL074CN運(yùn)算放大器、電阻電容等簡(jiǎn)單的電路元器件，快速建立與動(dòng)力學(xué)模型等效的電路模型，得到與數(shù)值仿真相同的結(jié)果。由此可見等效電路可以實(shí)現(xiàn)非線性動(dòng)力學(xué)的分析和研究，節(jié)省了數(shù)值仿真對(duì)算法、編程和計(jì)算機(jī)性能的要求，為非線性動(dòng)力學(xué)研究提供了一種很好的研究方法。