含Dankowicz動(dòng)摩擦的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

張艷龍，魏超，王麗，王振祿

（1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070；2.蘭州城市學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，蘭州 730030）

眾多機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)行過程中構(gòu)件之間都會(huì)產(chǎn)生摩擦，如軸承、抗蛇形減震器、齒輪、機(jī)器人關(guān)節(jié)等。在機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)行過程中，因摩擦及間隙導(dǎo)致的振動(dòng)不僅影響系統(tǒng)性能，也導(dǎo)致零件磨損失效，產(chǎn)生噪聲，甚至發(fā)生不安全的事故。因此，對(duì)引入摩擦的強(qiáng)非線性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，有許多學(xué)者構(gòu)建得到了一些力學(xué)模型和摩擦模型，研究因摩擦作用出現(xiàn)的系統(tǒng)粘滑、顫振等動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。Cone等[1]將沖擊振蕩器模型簡(jiǎn)化，分析含摩擦的振動(dòng)系統(tǒng)行為，發(fā)現(xiàn)存在多種不同的分岔行為。錢大帥等[2]和Fang等[3]研究一種具有庫(kù)倫干摩擦的振動(dòng)系統(tǒng)，分析系統(tǒng)粘滑運(yùn)動(dòng)邊界，并解釋了滑移、黏滯等運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換。Shaw[4]研究在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的作用下，一類分段線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，研究發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)存在復(fù)雜的摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)現(xiàn)象及多種分岔特性。丁旺才等[5]、朱喜鋒等[6]和Pascal[7]數(shù)值模擬得出系統(tǒng)因摩擦誘導(dǎo)粘滑振動(dòng)行為，并發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的顫碰運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。Awrejcewicz等[8-9]理論分類探討含摩擦的振動(dòng)系統(tǒng)在自激勵(lì)與外激勵(lì)分別作用的情況下，系統(tǒng)發(fā)生粘滑與混沌運(yùn)動(dòng)交替出現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，并利用數(shù)值模擬得出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程。樂源[10]簡(jiǎn)化得到了一種存在摩擦振動(dòng)的物理模型，研究了系統(tǒng)在Neimark-Sakerpitchfork分岔點(diǎn)附近的雙參動(dòng)力學(xué)行為。

隨著學(xué)者的研究深入，靜摩擦模型已經(jīng)不能更加準(zhǔn)確描述內(nèi)部變量對(duì)摩擦振動(dòng)系統(tǒng)的影響，部分學(xué)者開始深入微觀，建立自身包含動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的動(dòng)摩擦模型，如：Dahl摩擦模型、LuGre摩擦模型、Dankowicz摩擦模型等。Pikunov等[11]和Ashesh等[12]分別針對(duì)含LuGre動(dòng)摩擦和Dankowicz動(dòng)摩擦的非光滑機(jī)械系統(tǒng)，進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，對(duì)比在不同參數(shù)影響下的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)情況。Hoffmann[13]研究了LuGre動(dòng)摩擦模型對(duì)摩擦振動(dòng)系統(tǒng)點(diǎn)接觸穩(wěn)定滑動(dòng)基本機(jī)理的影響。張艷龍等[14]建立一類含Dankowicz動(dòng)摩擦單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，分析得出振子受力的判斷條件，并研究了摩擦導(dǎo)致系統(tǒng)振動(dòng)和兩種參數(shù)影響下系統(tǒng)呈現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)行為。本文在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上，引入Dankowicz動(dòng)摩擦對(duì)軸承系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到一類含動(dòng)摩擦的2自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了系統(tǒng)在不同階段的運(yùn)動(dòng)過程及條件，并數(shù)值仿真了一些非常規(guī)分岔行為及系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，從而為軸承運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性、安全性及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供一些理論參考依據(jù)。

1 力學(xué)模型

單列圓柱滾子軸承的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 單列圓柱滾子軸承的結(jié)構(gòu)示意圖

在實(shí)際有關(guān)軸承的機(jī)械系統(tǒng)中，隨著機(jī)械系統(tǒng)的高速運(yùn)轉(zhuǎn)，圓柱滾子將會(huì)與保持架兩端發(fā)生碰撞，同時(shí)保持架與軸承內(nèi)圈發(fā)生摩擦振動(dòng)。為了深入得到軸承在機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中呈現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)行為，將單列圓柱滾子軸承簡(jiǎn)化為一類含動(dòng)摩擦的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型如圖2所示。其中，將軸承的內(nèi)圈簡(jiǎn)化為傳送帶，圓柱滾子簡(jiǎn)化為質(zhì)量M1的振子，保持架簡(jiǎn)化為質(zhì)量M2的振子，將兩振子之間潤(rùn)滑油簡(jiǎn)化為剛度系數(shù)為K1和K2的線性彈簧及阻尼系數(shù)為C1和C2的線性阻尼器，軸承外圈簡(jiǎn)化為固定壁，振子M2與固定壁之間潤(rùn)滑油簡(jiǎn)化為剛度系數(shù)為K3的線性彈簧，兩振子之間接觸面均為光滑表面，振子M2與傳送帶之間為粗糙表面，Vb為傳送帶速度，振子M1在水平方向上由間隙為2D的兩個(gè)擋塊進(jìn)行約束，假設(shè)阻尼是Rayleigh型比例阻尼，碰撞過程由碰撞恢復(fù)系數(shù)R確定，簡(jiǎn)諧激振力Psin(ΩT+τ)作用在振子M1上，振子M1與振子M2的位移分別用X1和X2表示。

圖2 含動(dòng)摩擦的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型

Ff為帶與振子M2之間作用的摩擦力，該摩擦力的表達(dá)式為[12]

式（1）右邊前半部分表示切向方向的等價(jià)微凸體形變，后半部分表示兩個(gè)接觸面之間的分離距離，F(xiàn)R是法向載荷總和，μ是摩擦系數(shù)是粗糙度高度的標(biāo)準(zhǔn)差是最大的允許微凸體形變，Vr=Vb-是帶與質(zhì)塊的相對(duì)滑移速度，Y∞是將微凸體半徑轉(zhuǎn)換為法向的分離距離，動(dòng)摩擦模型的內(nèi)部變量Z由方程式（2）支配[12]：

式中，對(duì)于Vr＞0，Z趨向于；對(duì)于Vr＜0，Z趨向于-故Z∈[-]。

狀態(tài)變量Y的運(yùn)動(dòng)由方程式（3）支配[12]：

取無量綱參數(shù)及變量為

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的無量綱微分方程(4)為

當(dāng)|x1-x2|=d時(shí)，振子M1與振子M2發(fā)生碰撞，碰撞前后速度關(guān)系無量綱表達(dá)式(5)為

將高嶺土漿料于110 ℃烘干3 h，然后粉碎、研磨，置于馬弗爐500 ℃煅燒 2 h，即得煅燒高嶺土粉體.將煅燒高嶺土粉按一定比例摻入低碳混凝土中代替部分礦粉，并與基準(zhǔn)組進(jìn)行比較，探討其對(duì)低碳混凝土性能的影響.依照GB/T 50081-2002《普通混凝土力學(xué)性能試驗(yàn)方法》和GB/T 50082-2009《普通混凝土長(zhǎng)期耐久性能試驗(yàn)方法》對(duì)所制備的低碳混凝土的物理性能、強(qiáng)度及耐久性能進(jìn)行檢測(cè).

式中：標(biāo)注符號(hào)“-”和“+”分別表示振子M1與振子M2發(fā)生碰撞前和碰撞后的狀態(tài)。

Dankowicz動(dòng)摩擦模型無量綱表達(dá)式(6)為

式中：

為了全面清楚研究得到的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化，分析兩個(gè)振子的受力及速度變化，將系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程分類討論如下：

過程1：由于振子M1在簡(jiǎn)諧激振力作用下始終處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，對(duì)振子M2進(jìn)行系統(tǒng)受力分析，令F2表示振子M2所受到的合力，則F2=2ξ(1+μc1)×若振子M2合力大于或等于零且振子M2的速度不為零，即F2≥0,≠0時(shí)，振子M2做加速滑移運(yùn)動(dòng)，兩振子都處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；若振子M2合力小于零且振子M2的速度不為零，即F2＜0,≠0時(shí)，振子M2做減速滑移運(yùn)動(dòng)，兩振子都處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

過程2：同上振子M1始終為運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，F(xiàn)2表示振子M2的合力，若振子M2合力小于零且振子M2的速度大小等于帶速，即時(shí)，振子M2處于粘著狀態(tài)。

過程3：因振子M2受合外力F2的影響，當(dāng)兩振子的位移差|x1-x2|=d時(shí)，振子M1與振子M2發(fā)生碰撞。

為了準(zhǔn)確描述摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)特性，揭示摩擦振動(dòng)現(xiàn)象，用符號(hào)n-p-q表示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其中：n表示激勵(lì)周期數(shù)；p、q分別表示振子M1與振子M2在右側(cè)和左側(cè)擋塊的碰撞次數(shù)。為了準(zhǔn)確描述系統(tǒng)相軌線與碰撞面關(guān)系及系統(tǒng)分岔特性，選取Poincaré截面建立Poincaré映射X(i+1)=其中：為實(shí)參數(shù)。

2 激振頻率ω對(duì)系統(tǒng)的影響

圖3 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分岔圖

圖4 投影Poincaré映射圖

由于分岔圖不能顯示系統(tǒng)的擦邊碰撞、粘滑運(yùn)動(dòng)等行為，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)相圖如圖5所示。當(dāng)選取ω=2.908時(shí)，如圖5（a）顯示系統(tǒng)進(jìn)入周期3-6-9運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)經(jīng)Grazing分岔出現(xiàn)左側(cè)擦邊碰撞行為，此時(shí)由于振子M1與振子M2運(yùn)動(dòng)位移差恰好為-d時(shí)，振子M2的合力方向突然改變，振子M2在合力作用下遠(yuǎn)離擋塊運(yùn)動(dòng)，發(fā)生振子與左側(cè)擋塊擦切。當(dāng)選取ω=2.981時(shí)，如圖5（b）顯示系統(tǒng)進(jìn)入周期3-6-8運(yùn)動(dòng)，隨著ω增大，系統(tǒng)出現(xiàn)Bare-grazing分岔，即系統(tǒng)發(fā)生擦邊碰撞，導(dǎo)致周期運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)，隨即轉(zhuǎn)遷為混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)選取ω=4.145時(shí)，如圖5（c）顯示系統(tǒng)進(jìn)入周期4-7-6運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)經(jīng)Grazing分岔出現(xiàn)右側(cè)擦邊碰撞行為，此時(shí)由于振子M1與振子M2運(yùn)動(dòng)位移差恰好為d時(shí)，振子M2的合力方向突然改變，振子M2在合力作用下遠(yuǎn)離擋塊運(yùn)動(dòng)，發(fā)生振子與右側(cè)擋塊擦切。當(dāng)選取ω=5.569時(shí)，如圖5（d）顯示系統(tǒng)進(jìn)入周期1-1-2運(yùn)動(dòng)，隨著ω逐漸變大，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)。

圖5 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)相圖

3 間隙d對(duì)系統(tǒng)的影響

經(jīng)過大量數(shù)據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)不同系統(tǒng)參數(shù)下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為不同，為了能夠更好地表達(dá)d影響下系統(tǒng)摩擦誘導(dǎo)粘滑碰撞振動(dòng)特性，選取如下特例參數(shù)：

μc1=0.1,μk1=0.2,μk3=0.6,ξ=0.1,μm=0.4,μ=0.2,α=2.2,vb=0.2,R=0.8,σ=0.01,fr=3,δ=0.000 1,σ1=10,γ=3000,y∞=2 000。

以間隙d作為分岔控制參數(shù)，研究間隙d影響下系統(tǒng)呈現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)行為。選取幾種不同的較低激振頻率，數(shù)值模擬呈現(xiàn)出間隙對(duì)系統(tǒng)摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)響應(yīng)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分岔圖如圖6所示。當(dāng)選取ω=3.0時(shí)，如圖6（a）為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分岔圖，隨著間隙的變化，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期與混沌運(yùn)動(dòng)相互轉(zhuǎn)遷的復(fù)雜特性，系統(tǒng)混沌窗口較寬。當(dāng)選取ω=3.5時(shí)，如圖6（b）為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分岔圖，相比ω=3.0時(shí)，系統(tǒng)清晰表現(xiàn)經(jīng)周期倍化分岔進(jìn)入混沌，但系統(tǒng)存在多種分岔行為，混沌窗口依然較寬。當(dāng)選取ω=3.8時(shí)，如圖6（c）為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分岔圖，系統(tǒng)主要發(fā)生周期倍化分岔等常規(guī)分岔行為，系統(tǒng)混沌窗口略微變窄。選取不同的較高激振頻率，數(shù)值模擬呈現(xiàn)出間隙對(duì)系統(tǒng)摩擦誘導(dǎo)振動(dòng)響應(yīng)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分岔圖如圖7所示。當(dāng)選取ω=6.8、7.2、7.5時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)全局分岔圖分別如圖7（a）、7（b）和7（c）所示，隨著間隙的變化，系統(tǒng)主要呈現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)，混沌窗口幾乎逐漸消失。

選取激振頻率ω=3.5，間隙影響下系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)如圖8所示。如圖8（a）為圖6（b）的局部放大圖。當(dāng)d=0.225時(shí)，如圖8（b）顯示系統(tǒng)處于穩(wěn)定周期1運(yùn)動(dòng)，隨著d逐漸減小，周期運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)，發(fā)生倍化分岔，如圖8（c）顯示系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定周期2運(yùn)動(dòng)。隨著d繼續(xù)減小，系統(tǒng)發(fā)生Neimark-Sacher分岔進(jìn)入概周期運(yùn)動(dòng)，如圖8（d）顯示形成兩個(gè)吸引不變?nèi)ΑｋS著d繼續(xù)減小，系統(tǒng)經(jīng)過鎖相（如圖8（e）所示）進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)。選取d=0.195時(shí)，如圖8（f）顯示系統(tǒng)發(fā)生Sliding分岔出現(xiàn)粘著運(yùn)動(dòng)。選取d=0.144時(shí)，如圖8（g）顯示系統(tǒng)出現(xiàn)逆Bare-grazing分岔，從混沌運(yùn)動(dòng)瞬間進(jìn)入穩(wěn)定周期2-4-6運(yùn)動(dòng)，隨著d減小，系統(tǒng)出現(xiàn)Bare-grazing分岔，即系統(tǒng)發(fā)生擦邊碰撞，導(dǎo)致周期運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)，隨即轉(zhuǎn)遷為混沌運(yùn)動(dòng)。選取d=0.136 3時(shí)，如圖8（h）顯示系統(tǒng)經(jīng)Grazing分岔出現(xiàn)左側(cè)擦邊碰撞行為，此時(shí)由于振子M1與振子M2運(yùn)動(dòng)位移差恰好為-d時(shí)，振子M2的合力方向突然改變，振子M2在合力作用下遠(yuǎn)離擋塊運(yùn)動(dòng)，發(fā)生振子與左側(cè)擋塊擦切。

圖6 低頻下系統(tǒng)隨間隙變化的分岔圖

4 結(jié)語

研究一類含動(dòng)摩擦的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，對(duì)兩振子的受力和速度變化情況分類研究，理論分析系統(tǒng)進(jìn)入不同階段的運(yùn)動(dòng)條件，利用數(shù)值仿真分析摩擦誘導(dǎo)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性，結(jié)果表明：

（1）隨著激振頻率逐漸變化，系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期與混沌運(yùn)動(dòng)相互轉(zhuǎn)遷的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性，如系統(tǒng)發(fā)生Grazing分岔出現(xiàn)擦邊碰撞行為、系統(tǒng)由周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)Bare-grazing分岔直接進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)、系統(tǒng)發(fā)生Neimark-Sacher分岔經(jīng)鎖相進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)。

（2）選取較低激振頻率時(shí)，隨著間隙改變，系統(tǒng)發(fā)生Neimark-Sacher分岔、周期倍化分岔、Sliding分岔、Grazing分岔和Bare-grazing分岔等多種分岔行為，呈現(xiàn)出周期與混沌運(yùn)動(dòng)相互轉(zhuǎn)遷的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性，系統(tǒng)混沌窗口較寬。當(dāng)選取較高激振頻率時(shí)，隨著間隙的變化，系統(tǒng)主要呈現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)，混沌窗口幾乎逐漸消失。

通過理論分析及數(shù)值仿真，為含軸承的機(jī)械系統(tǒng)在實(shí)際的應(yīng)用中結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化和系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性改善提供理論參考依據(jù)。

圖7 高頻下系統(tǒng)隨間隙變化的分岔圖

圖8 間隙影響下系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)（ω=3.5）

圖8 間隙影響下系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)（ω=3.5）