基于遺傳算法的電磁分流阻尼參數(shù)優(yōu)化

李戈，毛崎波，吳彬

（1.南昌航空大學(xué)，南昌 330063；2.中國(guó)科學(xué)院 力學(xué)研究所，北京 100190）

電磁分流阻尼技術(shù)是利用機(jī)電能量轉(zhuǎn)換特性來(lái)耗散被控對(duì)象的機(jī)械能的控制方法[1-2]，其原理是當(dāng)被控對(duì)象發(fā)生振動(dòng)時(shí)，線圈與永磁鐵存在相對(duì)速度，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，線圈內(nèi)會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流以及感應(yīng)磁場(chǎng)，永磁鐵與線圈之間會(huì)產(chǎn)生電磁力以阻礙這種相對(duì)運(yùn)動(dòng)[3]。電磁線圈外接分流電路構(gòu)成電磁分流阻尼，電磁分流阻尼通過(guò)分流電路耗散由主系統(tǒng)的機(jī)械能轉(zhuǎn)化而來(lái)的電能[3-4]，常見(jiàn)的分流電路有RL電路，RL-C電路[5]。RL電路常用于控制低頻率的振動(dòng)，因?yàn)殡S著頻率增加，感抗隨之增加，電流分量隨之減小，無(wú)功功率增加，導(dǎo)致控制效果減弱。而加入電容組成LCR分流電路是因?yàn)殡娙萆系碾妷合辔慌c電感上的相位相反，而LCR串聯(lián)諧振電路可以通過(guò)調(diào)節(jié)電容的大小來(lái)降低電路無(wú)源阻抗，從而降低無(wú)功功率。相比較之下LCR分流電路能獲得更好的控制效果。電磁分流阻尼技術(shù)可以應(yīng)用于多種結(jié)構(gòu)，單自由度的LCR電磁分流電路優(yōu)化是其理論基礎(chǔ)，因此將電磁分流阻尼用于控制單自由度系統(tǒng)振動(dòng)的研究值得重視。

利用定點(diǎn)理論求解隔振器或者動(dòng)力吸振器的最優(yōu)化問(wèn)題也稱(chēng)H∞優(yōu)化[6-16]，不但可以推導(dǎo)出動(dòng)力吸振器的最優(yōu)設(shè)計(jì)，而且還可以用來(lái)推導(dǎo)出電磁分流阻尼的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)。定點(diǎn)理論的缺點(diǎn)在于只能針對(duì)主系統(tǒng)無(wú)阻尼的情況來(lái)進(jìn)行優(yōu)化，而主系統(tǒng)阻尼比不為零，則位移放大因子的曲線將不會(huì)相交于兩個(gè)定點(diǎn)[7]。對(duì)于含有電磁分流阻尼的隔振器或者調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)，應(yīng)用定點(diǎn)理論設(shè)計(jì)最優(yōu)參數(shù)，若考慮主系統(tǒng)阻尼,使用定點(diǎn)理論同樣不具有可行性。當(dāng)主系統(tǒng)被作用于電磁分流阻尼時(shí)，位移放大因子隨頻率比變化的曲線存在多個(gè)極值點(diǎn)，因此需要使用一種不容易陷入局部?jī)?yōu)化的算法，而遺傳算法作為一種內(nèi)在啟發(fā)式隨機(jī)搜索算法，在搜索的最優(yōu)解的過(guò)程中不容易陷入局部最優(yōu)[8-16]。因此本文使用遺傳算法求解考慮主系統(tǒng)阻尼比時(shí)電磁分流阻尼的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)。Nariman等[8]使用多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化了5自由度車(chē)輛振動(dòng)模型，并得到了pareto解；Esen等[9]使用遺傳算法優(yōu)化了針對(duì)的槍管筒體式動(dòng)力吸振器的參數(shù)；Lee等[10]使用遺傳算法優(yōu)化了多重動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)參數(shù)。國(guó)內(nèi)的付江華等[11]基于H∞優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，使用了包括遺傳算法在內(nèi)的多種進(jìn)化學(xué)習(xí)算法，求得了當(dāng)位移放大因子含有主系統(tǒng)阻尼比時(shí)的傳統(tǒng)動(dòng)力吸振器的最優(yōu)阻尼比、最優(yōu)調(diào)諧比。李學(xué)斌[12]利用多目標(biāo)遺傳算法求出了動(dòng)力吸振器(DVA)的最優(yōu)參數(shù)的pareto解。Xu等[13]使用遺傳算法對(duì)精密平臺(tái)隔振系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。故考慮主系統(tǒng)阻尼比時(shí)，在求解電磁分流阻尼的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，本文嘗試使用遺傳算法。

1 電磁分流阻尼模型

1.1 無(wú)量綱位移放大因子

本文以LCR串聯(lián)分流電路為例，如圖1所示。該系統(tǒng)由主系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼、剛度，以及電磁分流阻尼器構(gòu)成，可以將音圈電機(jī)作為電磁分流阻尼器[15]。

作用于線圈的洛倫茲力為f=φi，該力的方向與音圈電機(jī)線圈運(yùn)動(dòng)方向相反，并作為一個(gè)抑制主系統(tǒng)振動(dòng)的力與系統(tǒng)的慣性力方向相反，且與電流i的大小成正比。

電磁分流阻尼的力-電耦合方程方程由LCR振蕩電路方程以及主系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程所組成。該系統(tǒng)的力-電耦合方程如下：

式中：m為主系統(tǒng)質(zhì)量，c為主系統(tǒng)阻尼，k為主系統(tǒng)剛度，em為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，L為線圈電感，R為電磁分流阻尼線路的電阻，Cs為諧振電容；φ為電磁系數(shù)，與線圈的匝數(shù)、永磁鐵磁場(chǎng)強(qiáng)度、線圈長(zhǎng)度有關(guān)[5]。

對(duì)作復(fù)展開(kāi)，求得幅值為

因此位移放大因子的平方根隨激勵(lì)力頻率變化表達(dá)式為

主系統(tǒng)阻尼比為Z=C/2mω0，對(duì)式(4)上下同時(shí)除以k4L2并再乘以m2，得到無(wú)量綱形式的位移放大因子的表達(dá)式如下：

1.2 基于定點(diǎn)理論的最優(yōu)同調(diào)以及最優(yōu)阻尼條件

令式(5)中主系統(tǒng)阻尼比Z=0得到無(wú)阻尼時(shí)的位移放大因子表達(dá)式如下：

取最優(yōu)阻尼比ζopt=(ζP+ζQ)/2；將γopt代入γ2=可得到最優(yōu)電容Copt=由ζopt=可得Ropt=。

2 遺傳算法優(yōu)化電磁分流阻尼

通過(guò)分析PQ定點(diǎn)優(yōu)化的位移放大因子曲線可知，參數(shù)為最優(yōu)時(shí)，曲線上會(huì)有兩個(gè)極大值點(diǎn)，且兩個(gè)極大值點(diǎn)處的高度相同，而當(dāng)參數(shù)不為最優(yōu)時(shí)，兩個(gè)峰值一大一小，根據(jù)H∞優(yōu)化的原理，即使得位移放大因子的最大值最小[14]，故設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)以獲取第k次迭代的最大值點(diǎn)，并在種群迭代歷史中搜索最小的那個(gè)最大值，對(duì)應(yīng)的調(diào)諧比γ，阻尼比ζ即是最優(yōu)同調(diào)條件以及最優(yōu)阻尼比，因此，可以把目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)為

優(yōu)化變量的范圍為0≤ζ≤1,0≤γ≤1，用MATLAB編寫(xiě)優(yōu)化程序時(shí)，首先將頻率比λ在區(qū)間0.2＜λ＜1.7離散為數(shù)組{λ1λ2,…,λm}，其中離散步長(zhǎng)取0.000 5。由于最終是要尋找最小值，因此適應(yīng)度函數(shù)是在數(shù)組{γ,ζ,{λ1λ2,…λm}}取的最大值的負(fù)數(shù)，即適應(yīng)度函數(shù)為

用MATLAB結(jié)合遺傳算法優(yōu)化電磁分流阻尼的步驟為

(1)設(shè)定精度為0.000 001，生成0～1隨機(jī)數(shù)，對(duì)調(diào)諧比γ、阻尼比ζ的染色體進(jìn)行隨機(jī)編碼，長(zhǎng)度為20，初始種群大小設(shè)置為500。

(2)對(duì)染色體進(jìn)行解碼，根據(jù)式(10)計(jì)算適應(yīng)度值。

圖1 電磁分流阻尼用于控制單自由度振動(dòng)

(3)對(duì)各個(gè)染色體的適應(yīng)度值進(jìn)行輪盤(pán)賭操作，得到個(gè)體被選定的概率，并計(jì)算累計(jì)概率，然后產(chǎn)生一個(gè)[0，1]的隨機(jī)數(shù)來(lái)決定哪個(gè)染色體可以參與后續(xù)的交配[16]，將選中的染色體復(fù)制，重復(fù)這樣的操作500次，組成新的種群S1。

(4)按交叉率Pc所決定的參加交叉的染色體數(shù)c，從種群S1中隨機(jī)選定c個(gè)染色體，配對(duì)并進(jìn)行交叉，然后將得到的染色體代替原染色體，得種群S2。

(5)根據(jù)變異概率Pm確定變異次數(shù)m，從S2中隨機(jī)選定m個(gè)染色體，做變異操作，并用產(chǎn)生的染色體代替原染色體，得到種群S3。

至此，遺傳算法完成了第一代操作流程得到了新的種群，將新的種群作以上同樣的操作，不斷將產(chǎn)生的新種群循環(huán)地不斷進(jìn)行迭代，直到達(dá)到預(yù)先設(shè)定的迭代次數(shù)為止，然后輸出最優(yōu)解以及最優(yōu)參數(shù)如下圖所示。利用遺傳算法優(yōu)化電磁分流阻尼的流程圖如2圖所示。

圖2 遺傳算法優(yōu)化電磁分流阻尼電路的流程圖

3 數(shù)值計(jì)算

3.1 PQ定點(diǎn)優(yōu)化電磁分流阻尼

根據(jù)參考文獻(xiàn)[5]的數(shù)據(jù)，對(duì)電磁分流阻尼優(yōu)化所用到的參數(shù)的物理意義以及具體數(shù)值，如表1所示。

表1 電磁分流阻尼參數(shù)

表1中，等效電阻R，與電路電容Cs為待優(yōu)化變量。根據(jù)表1并結(jié)合1.2節(jié)的結(jié)論可以計(jì)算出基于定點(diǎn)理論優(yōu)化最優(yōu)電容Cs以及最優(yōu)電阻R分別為Copt=0.020 9 F，Ropt=0.998 54 Ω。

3.2 遺傳算法優(yōu)化電磁分流阻尼

首先分析遺傳算法優(yōu)化主系統(tǒng)阻尼比為零時(shí)的電磁分流阻尼，再與定點(diǎn)理論優(yōu)化的電磁分流阻尼進(jìn)行比較。當(dāng)主系統(tǒng)阻尼比Z=0，用MATLAB編寫(xiě)遺傳算法程序計(jì)算出,最優(yōu)阻尼比以及最優(yōu)調(diào)諧比分別為ζGA=0.635 65，γGA=0.816 32；進(jìn)一步得到遺傳算法優(yōu)化后的電容Cga=0.020 9 F，Rga=1.058 4 Ω。運(yùn)行程序可以得到最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)值隨種群迭代次數(shù)變化曲線如圖3所示。

圖3 最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)值隨種群迭代次數(shù)的變化趨勢(shì)

用MATLAB繪制Xn的響應(yīng)曲線，并與3.1節(jié)計(jì)算的PQ定點(diǎn)優(yōu)化的Xn曲線對(duì)比，如圖4所示。

圖4 主系統(tǒng)無(wú)阻尼時(shí)Rga對(duì)應(yīng)的位移放大因子曲線

分析可知：當(dāng)主系統(tǒng)阻尼比Z取0時(shí)，經(jīng)過(guò)遺傳算法優(yōu)化后的位移放大因子X(jué)n的曲線與PQ定點(diǎn)優(yōu)化的曲線存在微弱的差距，這是由于ζopt是取PQ兩點(diǎn)處的阻尼比的平均值，其位移放大因子X(jué)n的兩個(gè)極值點(diǎn)并不與PQ定點(diǎn)重合，但是非?？拷?，而針對(duì)遺傳算法所設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)是搜索關(guān)于位移放大因子X(jué)n的平方根的最大值集合中的最小的最大值，因此才造成這樣的差距。

由于定點(diǎn)理論的缺點(diǎn)是無(wú)法針對(duì)主系統(tǒng)存在阻尼時(shí)對(duì)位移放大因子X(jué)n進(jìn)行優(yōu)化，因此嘗試使用遺傳算法優(yōu)化Xn曲線。當(dāng)主系統(tǒng)阻尼比Z分別為0.01、0.02、0.03時(shí)，通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的Z值分別進(jìn)行賦值，運(yùn)行程序，得到各自的主系統(tǒng)阻尼比所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)調(diào)諧比以及最優(yōu)阻尼比，根據(jù)這些參數(shù)結(jié)合1.2節(jié)以及表1的數(shù)據(jù)，可分別得到主系統(tǒng)阻尼比不同時(shí)位移放大因子曲線，如圖5所示。

結(jié)合圖5以及表1數(shù)據(jù)可以得到遺傳算法優(yōu)化的最優(yōu)電容Cga以及最優(yōu)電阻Rga，如表2所示：

圖5 遺傳算法優(yōu)化阻尼比不同時(shí)的位移放大因子

表2 遺傳算法優(yōu)化后的電容與電阻大小

考慮主系統(tǒng)阻尼后，最優(yōu)電容Cga幾乎不發(fā)生變化即最優(yōu)調(diào)諧比不變，而最優(yōu)電阻會(huì)略微增加，因此相對(duì)應(yīng)的最優(yōu)阻尼比會(huì)增加。

綜合圖4與圖5可知，遺傳算法以編碼方式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，不對(duì)參數(shù)本身進(jìn)行操作，而定點(diǎn)理論的計(jì)算首先要通過(guò)解方程的方式求得最優(yōu)同調(diào)條件(即定點(diǎn)等高)，求解最優(yōu)阻尼比的理論推導(dǎo)過(guò)于復(fù)雜，因此遺傳算法相對(duì)于定點(diǎn)理論具有良好的操作性；而且能考慮主系統(tǒng)的阻尼比，相對(duì)于定點(diǎn)理論更能接近實(shí)際情況。

為了對(duì)比阻尼比取不同值時(shí)，遺傳算法的控制效果，令電阻R=109歐姆，則分流電路即可視為斷路，即為控制前的效果?？刂菩Ч鐖D6所示。

分析圖6可知：未用電磁分流阻尼控制前，位移放大因子X(jué)n的幅值會(huì)隨著主系統(tǒng)阻尼比增加而降低；基于遺傳算法優(yōu)化的電磁分流阻尼設(shè)計(jì)對(duì)降低主系統(tǒng)振動(dòng)具有良好效果；遺傳算法能解決考慮主系統(tǒng)存在阻尼時(shí)，電磁分流阻尼的最優(yōu)電路參數(shù)，目標(biāo)函數(shù)與適應(yīng)度函數(shù)都不用改變，其可操作性更強(qiáng)，并且其控制效果更接近實(shí)際情況，因此相比于定點(diǎn)理論具有優(yōu)越性。

圖6 主系統(tǒng)阻尼比取不同值時(shí)，遺傳算法的控制效果

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)電磁分流阻尼，使用遺傳算法優(yōu)化所得到的結(jié)果基本理想，與定點(diǎn)理論優(yōu)化的位移放大因子曲線基本吻合，并通過(guò)使用遺傳算法解決了定點(diǎn)理論不能優(yōu)化主系統(tǒng)有阻尼時(shí)的電磁分流阻尼電路參數(shù)的問(wèn)題。在應(yīng)用遺傳算法搜索位移放大因子的最大值時(shí)，沒(méi)有陷入局部最優(yōu)，這說(shuō)明了遺傳算法用于對(duì)電磁分流阻尼以及其他含有電磁阻尼的有阻尼動(dòng)力吸振器的最優(yōu)設(shè)計(jì)具有很高的可靠性，且遺傳算法的目標(biāo)函數(shù)以及適應(yīng)度函數(shù)仍然不用改變，這是其便利所在。