周期荷載激勵(lì)下覆冰輸電線的舞動(dòng)特征研究

楊曙光,劉小會(huì)1,,梁浩博,蔡萌琦

(1.重慶交通大學(xué) 省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400074；2.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074；3.成都大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，成都610106)

在如今這個(gè)信息化的時(shí)代里，電能早已成為了人們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡囊徊糠?，因此輸電線路的安全穩(wěn)定運(yùn)行就十分重要。在惡劣的自然環(huán)境中，雨雪冰凍天氣容易使得輸電線覆冰，覆冰輸電線在外部風(fēng)的激勵(lì)下又容易產(chǎn)生單個(gè)或多個(gè)半波大振幅、低頻率的舞動(dòng)[1]。輸電線舞動(dòng)又會(huì)產(chǎn)生跳閘、斷股、輸電塔倒塌等事故。為了使電力能源遠(yuǎn)距離安全、穩(wěn)定地傳輸，輸電線路的非線性舞動(dòng)特征研究是十分有必要的。

早在1932年國外學(xué)者Den Hartog[2]就提出了垂直舞動(dòng)機(jī)理，研究發(fā)現(xiàn)覆冰輸電導(dǎo)線舞動(dòng)橫向幅值遠(yuǎn)小于豎向幅值，表明舞動(dòng)主要發(fā)生在豎直方向，并在同年提出了鄧哈托判別準(zhǔn)則。Desai等[3]在鄧哈托判別準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，運(yùn)用有限元方法研究相鄰跨會(huì)對舞動(dòng)幅值產(chǎn)生的影響；在此基礎(chǔ)上，Rega等[4]運(yùn)用攝動(dòng)法求解了弱激勵(lì)下的非線性偏微分方程，分析了幅頻函數(shù)圖像的多值性，然而以上論文均沒有考慮空氣動(dòng)力荷載。此外，1983年，Luongo等[5]考慮彈性電纜的非線性運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系推導(dǎo)出了連續(xù)非線性方程，并研究了輸電線舞動(dòng)風(fēng)速和相應(yīng)參數(shù)的關(guān)系及其氣動(dòng)穩(wěn)定性；曹化錦等[6]運(yùn)用ANSYS建立了輸電塔及輸電線的有限元模型，對不同風(fēng)況的輸電塔和輸電線耦合體系進(jìn)行了舞動(dòng)仿真，得到了舞動(dòng)振幅和輸電塔的動(dòng)力響應(yīng)；張棟梁等[7]采用Hamilton原理建立了4自由度非線性舞動(dòng)方程，提出了一種新的覆冰輸電線舞動(dòng)分析的有限元模型。然而以上論文沒有考慮相鄰檔導(dǎo)線之間的影響。王建軍等[8]用數(shù)值方法研究了單自由度參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)在外荷載激勵(lì)下多頻響應(yīng)的非線性特征；黃坤等[9]研究了梁索耦合結(jié)構(gòu)在高頻激勵(lì)、低頻激勵(lì)和高頻與低頻組合激勵(lì)下幅值隨激勵(lì)參數(shù)變化的規(guī)律；趙躍宇等[10]對參數(shù)激勵(lì)下斜拉索主參數(shù)共振的穩(wěn)定性分析表明固有頻率和外激勵(lì)參數(shù)對斜拉索穩(wěn)態(tài)解和穩(wěn)定性存在直接影響。然而以上論文對于索的研究沒有考慮氣動(dòng)荷載對輸電線的負(fù)阻尼影響。郝淑英等[11]建立四分裂覆冰輸電線周期振動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)偏微分方程，揭示了輸電線在舞動(dòng)過程中會(huì)出現(xiàn)固有頻率漂移的現(xiàn)象；劉海英等[12]建立了覆冰四分裂導(dǎo)線連續(xù)體非線性動(dòng)力學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)值模擬和理論分析發(fā)現(xiàn)非線性因素會(huì)使得振幅對頻率產(chǎn)生影響。然而以上論文研究了輸電線在氣動(dòng)荷載的舞動(dòng)特征，并未同時(shí)考慮周期激勵(lì)和氣動(dòng)荷載對輸電線的影響。

長期以來，科研工作者對輸電線舞動(dòng)做了深入的研究，然而對于考慮動(dòng)態(tài)風(fēng)對覆冰輸電線的作用和考慮相鄰檔對舞動(dòng)檔的影響是比較少的。本文考慮覆冰輸電線由于受到動(dòng)態(tài)風(fēng)與相鄰檔的影響存在周期激勵(lì)的一般性，將施加有空氣動(dòng)力荷載和周期激勵(lì)的覆冰輸電線作為研究對象，運(yùn)用多尺度法求出該系統(tǒng)的解析解；對解析解和數(shù)值解進(jìn)行精確度比較，并且分析風(fēng)速、張力、彈性模量的變化對覆冰輸電線幅頻曲線的影響。

1 輸電線舞動(dòng)力學(xué)模型

對于平原地區(qū)的覆冰輸電線，大部分檔的導(dǎo)線可視為等高差輸電線，因此本文選取兩端固定支座的等高差單檔輸電線作為研究對象。通常風(fēng)都是不穩(wěn)定的，本文在靜態(tài)風(fēng)的基礎(chǔ)上添加周期激勵(lì)，將覆冰輸電線看作受到一個(gè)有動(dòng)態(tài)影響的風(fēng)荷載；并且選取最危險(xiǎn)工況認(rèn)為風(fēng)沿水平方向且與導(dǎo)線的軸向垂直，所建立的單檔導(dǎo)線舞動(dòng)的力學(xué)模型如圖1所示。(x，y)為平面直角坐標(biāo)系，s表示曲線的自然坐標(biāo)。覆冰輸電線檔距為L，其變形可分為兩個(gè)階段進(jìn)行描述：(1)僅在重力作用下的靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，平衡狀態(tài)的構(gòu)形為ξ1，垂度為d。(2)輸電線覆冰后，在風(fēng)的激勵(lì)下，輸電線在O-xy平面發(fā)生豎向振動(dòng)，由初始構(gòu)形ξ1經(jīng)過一段時(shí)間后變化為ξ2（僅考慮豎直向振動(dòng)）；由此豎向振動(dòng)所引起的x、y方向上的動(dòng)位移可分別表示為函數(shù)u(s，t)，v(s，t)，p*cos(Ωt)為自激-受迫系統(tǒng)中的受迫激勵(lì)項(xiàng)，將受迫項(xiàng)中的激勵(lì)幅值p*考慮成施加在覆冰輸電線豎直方向的均布荷載，并且本文取圖1中微段ds作為輸電線在靜止?fàn)顟B(tài)下的研究對象。

圖1 輸電線平面圖

如圖2所示，輸電線覆冰后，其橫截面形狀從原有的圓形變成了新月形。選取圖1中覆冰導(dǎo)線微段ds的橫斷面作為研究對象，以未產(chǎn)生振動(dòng)時(shí)微段的質(zhì)心平衡位置作為參考坐標(biāo)系O1-zy，且振動(dòng)中心為O1；其中O1z為水平軸，p*cos(Ωt)為受迫激勵(lì)項(xiàng)。平均風(fēng)U作用在覆冰輸電線上會(huì)產(chǎn)生向上的升力Fy=ρU2hCy/2，豎直向的空氣動(dòng)力系數(shù)可擬合為Cy=A′α+B′α3，其中代表運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的攻角α=/U，表示水平風(fēng)作用于覆冰輸電線產(chǎn)生的豎直向振動(dòng)速度，并且A′和B′表示豎直向空氣動(dòng)力擬合系數(shù)，則升力Fy[13]：

圖2 輸電導(dǎo)線橫截面圖

式中參數(shù)分別為

式中：ρ表示空氣密度，h表示輸電線的直徑。

輸電線屬于大跨度的柔性索結(jié)構(gòu)，針對這種類型的結(jié)構(gòu)，可做出如下假設(shè)：

(1)在靜止?fàn)顟B(tài)下，輸電線的重力平衡曲線可以通過拋物線y=4d[x/l-(x/l)2]來描述。

(2)假設(shè)H為導(dǎo)線靜態(tài)下初始張力的水平分量。

對于研究的小弧垂輸電線，結(jié)合圖1只考慮靜態(tài)風(fēng)作用下輸電線豎直方向運(yùn)動(dòng)的控制方程為[4]

式中：E表示輸電線的彈性模量，S表示輸電線的橫截面積，m表示單位長度的質(zhì)量，μ表示結(jié)構(gòu)阻尼，y′表示拋物線方程對x的一次導(dǎo)數(shù)，v′表示豎直方向運(yùn)動(dòng)函數(shù)對x的一次偏導(dǎo)，表示豎直方向運(yùn)動(dòng)函數(shù)對時(shí)間t的一次導(dǎo)數(shù)，表示豎直方向運(yùn)動(dòng)函數(shù)對時(shí)間t的二次導(dǎo)數(shù)。

輸電線在自然環(huán)境下，受到自然風(fēng)作用下也會(huì)產(chǎn)生舞動(dòng)。式(3)模型的建立主要是針對靜態(tài)風(fēng)U，而自然風(fēng)可以表示成平均風(fēng)U和脈動(dòng)風(fēng)(t)的疊加。在工程分析中，可以采用諧波疊加法進(jìn)行脈動(dòng)風(fēng)荷載模擬，利用譜分解和三角級數(shù)疊加來模擬脈動(dòng)風(fēng)的隨機(jī)過程，將隨機(jī)信號通過傅里葉分析變換得到一系列不同頻率和幅值的正弦波或其他諧波[14]，即可以表示出自然風(fēng)對覆冰輸電線的氣動(dòng)力表達(dá)式：

式中：Ui為每個(gè)諧波成分對應(yīng)的幅值，Ωi和φi為脈動(dòng)風(fēng)變換后對應(yīng)諧波項(xiàng)的圓頻率和相位差，并且忽略了氣動(dòng)力的高階小量。自然風(fēng)中穩(wěn)定的部分使得輸電線產(chǎn)生自激振動(dòng)，不穩(wěn)定的部分會(huì)引起外部激勵(lì)[15]。自然風(fēng)對輸電線的氣動(dòng)力如式(4)所示。其中存在諧波激勵(lì)項(xiàng)，因此可以在傳統(tǒng)穩(wěn)定風(fēng)作用下的輸電線舞動(dòng)方程基礎(chǔ)上添加周期激勵(lì)來模擬動(dòng)態(tài)氣動(dòng)荷載對輸電線的作用。此外，如果考慮相鄰檔導(dǎo)線的影響，則相鄰檔導(dǎo)線也會(huì)給舞動(dòng)檔導(dǎo)線施加一個(gè)周期激勵(lì)，如圖3所示。

圖3 輸電線平面圖

圖3中Δx是相鄰導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的端部位移，ξ3原始導(dǎo)線的構(gòu)型，ξ4為運(yùn)動(dòng)后導(dǎo)線的構(gòu)型。忽略輸電線橫向變形及幾何非線性引起的附加彈性動(dòng)張力，可以容易給出上述導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)控制方程：

式中：8dESΔx·cos(Ωt)/(L2LS)表示端部周期位移的激勵(lì)項(xiàng)，該端部位移是相鄰檔導(dǎo)線舞動(dòng)所產(chǎn)生的[16]，其中Ω為端部位移激勵(lì)的圓頻率，Ls=L[1+8(d/L)2]為考慮垂度的輸電線長度。

自然風(fēng)對輸電線的作用，自然風(fēng)中的平均風(fēng)使得覆冰輸電線發(fā)生自激振動(dòng)，脈動(dòng)風(fēng)使得覆冰輸電線發(fā)生受迫振動(dòng)；結(jié)合脈動(dòng)風(fēng)與相鄰檔對舞動(dòng)檔的影響來考慮，將原有空氣動(dòng)力荷載和周期激勵(lì)組合來進(jìn)行模擬。在本文中為了使公式具有一般意義，主要研究外部激勵(lì)的參數(shù)變化對舞動(dòng)特征的影響。那么對式(3)添加如圖2中的簡諧激勵(lì)p*cos(Ωt)后得到自激-受迫系統(tǒng)的控制方程：

采用模態(tài)疊加法將v(x,t)表示為模態(tài)函數(shù)f(x)和時(shí)間函數(shù)q(t)的乘積：

將式(7)代入式(6)后可得到一個(gè)非線性常微分方程，則豎直向運(yùn)動(dòng)函數(shù)對x和時(shí)間的導(dǎo)數(shù)分別為，其中模態(tài)函數(shù)為f(x)=sin(nπx/L)，令n=1，即以研究1階陣型為主。為了使方程便于計(jì)算，采用Galerkin方法將方程化簡得到覆冰導(dǎo)線舞動(dòng)的振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程：

式中的參數(shù)分別為

對于式(9)，參數(shù)w為輸電線系統(tǒng)的固有頻率；由于p*考慮成豎直方向的均布荷載，因此受迫項(xiàng)的模態(tài)函數(shù)f1(x)=1，I的值取決于模態(tài)函數(shù)f(x)，其定義如下：

在式(8)中，針對弱非線性系統(tǒng)，對振幅進(jìn)行限制，可以對阻尼項(xiàng)和非線性項(xiàng)作如下轉(zhuǎn)換：

式中：ε是與時(shí)間有關(guān)的小量為系統(tǒng)新變量，為了公式簡潔，后文仍用q、μ、來表示。將式(11)代入式(8)中可得弱激勵(lì)下接近共振的自激系統(tǒng)：

2 非線性舞動(dòng)方程解析解求解

2.1 弱激勵(lì)下的自激系統(tǒng)

對于弱非線性系統(tǒng)式(12)，即為接近共振的受迫振動(dòng)，取ε=0.1，偏微分算子符號、受迫項(xiàng)頻率以及振幅可以劃分為

式中：σ為激勵(lì)頻率的調(diào)諧參數(shù)，將式(13)、式(14)和式(15)代入式(12)后，比較ε同次冪系數(shù)后得到一組關(guān)于εn(n=0，1)線性偏微分方程：

式中：Dk表示對Tk求偏導(dǎo)數(shù)，求解式(16)得到：

式中：A可定義為

將式(18)和式(19)代入式(17)，分離久期項(xiàng)得到對應(yīng)的1階微分算子，然后再分離微分算子的實(shí)部和虛部可得到系統(tǒng)振幅和相位的變化率方程：

為了確定穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)定常解的振幅和相位，引入γ=σT1-β,令D1A=0，然后消掉γ得到幅頻響應(yīng)方程：

2.2 強(qiáng)激勵(lì)下的自激系統(tǒng)

將式(12)改寫為遠(yuǎn)離共振的受迫振動(dòng)，則舞動(dòng)方程為

將式(13)、式(14)和式(15)代入式(23)，其中式(23)Ωt=ξT0+εσT1，然后按照相應(yīng)小量階次進(jìn)行劃分可得到一組關(guān)于εn(n=0,1)線性偏微分方程：

式中：Dk表示對Tk求偏導(dǎo)數(shù)，式(24)的解為

式(26)中A和B可分別表示為

將式(26)代入式(25)得到：

限于文章篇幅，對于式(29)，先不考慮諧波共振，因此為了防止產(chǎn)生超諧波和次諧波共振項(xiàng)，取Ω=w/4。結(jié)合式(27)、式(28)和式(29)分離久期項(xiàng)得到對應(yīng)的1階微分算子，然后再分離微分算子的實(shí)部和虛部可得到系統(tǒng)振幅和相位的變化率方程：

對式(31)進(jìn)行時(shí)間積分后可得到：

對于幅值函數(shù)a(t)的表達(dá)式，其中m和n取決于輸電線的物理結(jié)構(gòu)參數(shù)和氣動(dòng)參數(shù)，并且m決定了振幅的變化趨勢。

當(dāng)外激勵(lì)比較弱時(shí)，自激-受迫系統(tǒng)中存在有自激振動(dòng)，即滿足存在自激振動(dòng)的充分必要條件為

此時(shí)滿足參數(shù)m＞0，那么式(32)即為收斂的情況，激勵(lì)幅值滿足式(34)的條件，此時(shí)系統(tǒng)仍然可以形成自激振動(dòng)，不會(huì)破壞自激振動(dòng)的條件，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)就由自激振動(dòng)和受迫振動(dòng)疊加而成。

當(dāng)外激勵(lì)比較強(qiáng)時(shí)，m＜0，即破壞自激振動(dòng)的條件為

激勵(lì)幅值不滿足式(34)的條件，那么自激振動(dòng)振動(dòng)幅值隨著時(shí)間變化趨近于0，激勵(lì)幅值符合式(35)的條件，則無法形成自激振動(dòng)，表明此時(shí)自激-受迫系統(tǒng)中不存在自激振動(dòng)。式(32)、式(34)和式(35)中各參數(shù)分別為

3 數(shù)值解與解析解分析

輸電線覆冰后，冰型對氣動(dòng)力也存在很大的影響，因此選用具有代表性的新月形作為研究對象。為了便于分析比較，選用文獻(xiàn)[17]的幾何參數(shù)、材料參數(shù)和相應(yīng)的氣動(dòng)力參數(shù)如表1所示。

空氣動(dòng)力荷載作用下的覆冰輸電線，經(jīng)過物理建模和數(shù)學(xué)分析得到運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的偏微分控制方程，運(yùn)用模態(tài)疊加法和Galerkin法得到舞動(dòng)常微分方程式(8)。如圖4所示。使用表1的數(shù)據(jù)并且給輸電線施加豎向的初始擾動(dòng)后，令初值豎向擾動(dòng)q(0)=0.01 m，并且將激勵(lì)幅值p*=0.186 8 N/m代入式(8)中，計(jì)算的步長取1/10，用MATLAB求解式(8)得到覆冰輸電線舞動(dòng)時(shí)中點(diǎn)的豎向位移時(shí)程圖像。在1 725 s后振動(dòng)幅值趨于穩(wěn)定；局部放大圖為幅值穩(wěn)定后2 000 s～2 020 s的時(shí)程位移曲線。從圖4中可以看出，施加受迫激勵(lì)幅值穩(wěn)定后的時(shí)程位移圖，其幅值隨時(shí)間變化會(huì)產(chǎn)生向上或者向下不規(guī)則的抖動(dòng)，主要是由于周期激勵(lì)項(xiàng)的頻率與系統(tǒng)固有頻率不一致而造成的。

表1 覆冰輸電線線路物理參數(shù)

圖4 位移時(shí)程圖

在自激-受迫振動(dòng)系統(tǒng)中，既存在平均風(fēng)的氣動(dòng)荷載激勵(lì)，又存在脈動(dòng)風(fēng)與相鄰檔影響的周期激勵(lì)。圖5是使用Maple軟件繪制自激-受迫系統(tǒng)的振幅解析解式(32)得到的，其中曲線b、c、d、e分別對應(yīng)激勵(lì)幅值p*=0.934、3.736、9.343、14.948 N/m中自激振動(dòng)的幅值變化；激勵(lì)幅值增大，使得空氣動(dòng)力荷載下覆冰輸電線的自激振動(dòng)的幅值越來越??；隨著激勵(lì)幅值的增大，自激振動(dòng)幅值曲線達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間也不斷延長；圖5中曲線b、c、d即在判別式(34)的范圍內(nèi)，曲線e在判別式(34)的范圍外，隨著激勵(lì)幅值p*=0.934 N/m對應(yīng)的曲線b增加到p*=9.343 N/m對應(yīng)的曲線d，響應(yīng)幅值從點(diǎn)ab下降到點(diǎn)ad；當(dāng)激勵(lì)幅值p*=14.948 N/m時(shí)，響應(yīng)幅值趨緊于0，即表現(xiàn)為該自激-受迫系統(tǒng)中不存在自激振動(dòng)的形式。

圖5 受激勵(lì)幅值影響的自激振動(dòng)幅值曲線

隨著激勵(lì)幅值的增加，氣動(dòng)荷載激勵(lì)下的覆冰輸電線自激振動(dòng)條件被受迫激勵(lì)所破壞，這種現(xiàn)象稱為猝息。

對于施加受迫激勵(lì)的自激系統(tǒng)，多采用幅頻和相頻響應(yīng)曲線進(jìn)行分析。為了驗(yàn)證本文幅頻響應(yīng)關(guān)系式推導(dǎo)結(jié)果的正確性，令激勵(lì)頻率Ω等于系統(tǒng)固有頻率w，調(diào)諧參數(shù)σ=-0.8、0、0.8，用數(shù)學(xué)軟件Maple繪出式(22)的幅頻響應(yīng)曲線。運(yùn)用MATLAB求解式(8)得到激勵(lì)幅值p*=3.736、7.472、11.210、14.948、18.68 N/m時(shí)的時(shí)程位移圖，分別得到穩(wěn)定時(shí)的振幅幅值如圖6中的點(diǎn)a1、a2、a3、a4、a5。如圖6所示。MATLAB求得的數(shù)值解和運(yùn)用多尺度求得的幅頻響應(yīng)函數(shù)曲線吻合較好；并且發(fā)現(xiàn)σ=0.8時(shí)，隨著激勵(lì)幅值的變化，響應(yīng)幅值會(huì)發(fā)生跳躍和多值現(xiàn)象；當(dāng)響應(yīng)幅值大于2時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線的精確度也會(huì)隨著激勵(lì)幅值的增大而降低。

圖6 激勵(lì)幅值-響應(yīng)幅值曲線

4 線路參數(shù)分析

風(fēng)速對覆冰輸電線舞動(dòng)有非常大的影響，甚至可以決定覆冰輸電線形成自激振動(dòng)的條件。對于施加弱激勵(lì)的自激系統(tǒng)，為了研究其非線性共振特性，用Maple數(shù)學(xué)軟件繪出方程式(22)的函數(shù)曲線。激勵(lì)幅值p*=0.186 8 N/m，風(fēng)速U=4，8，12，16，20 m/s時(shí)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線如圖7所示。實(shí)線表示穩(wěn)定，虛線表示不穩(wěn)定。隨著風(fēng)速的不斷增大，響應(yīng)幅值也不斷增大，從風(fēng)速U=4 m/s的點(diǎn)p4增加到U=20 m/s的點(diǎn)p20；穩(wěn)態(tài)解的不穩(wěn)定區(qū)域也逐漸變大，從風(fēng)速U=8 m/s的r1區(qū)域依此變化到U=12，16，20 m/s的r2，r3，r4區(qū)域；并且導(dǎo)致非線性也不斷增強(qiáng)，自激-受迫系統(tǒng)呈現(xiàn)硬彈簧特性更加明顯。

圖7 不同風(fēng)速的幅頻響應(yīng)曲線

為了弄清楚激勵(lì)幅值對自激振動(dòng)的影響，令式(22)的激勵(lì)幅值p*=1.121、2.802、5.604、14.944 N/m，風(fēng)速U=4 m/s，受迫激勵(lì)項(xiàng)的頻率Ω=w，并且運(yùn)用Maple得到圖8。

圖8 不同激勵(lì)幅值對應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線

如圖7所示。隨著激勵(lì)幅值增大，系統(tǒng)的響應(yīng)幅值也逐漸增大，也就表明周期荷載激勵(lì)項(xiàng)對響應(yīng)幅值有著直接的影響。

風(fēng)速和激勵(lì)幅值的增大，都能使得響應(yīng)幅值增大；由于風(fēng)速表現(xiàn)為非線性舞動(dòng)方程中負(fù)阻尼項(xiàng)，因此風(fēng)速的增加又使得覆冰輸電線舞動(dòng)的非線性特征增強(qiáng)。

為了分析在相同線路參數(shù)和相同氣動(dòng)荷載情況下張力和垂度對覆冰輸電線舞動(dòng)特征的影響。取激勵(lì)幅值p*=0.934 N/m，風(fēng)速U=4 m/s；引用文獻(xiàn)[18-19]中垂度與張力之間的公式d=mgl2/8H，取張力分別為H=15 000、20 000、25 000、30 000、40 000、50 000、60 000、70 000 N，分別對應(yīng)于圖9中A、B、C、D、E、F、G和H幅頻曲線。使用MAPLE繪出式(22)的函數(shù)曲線，得到不同張力對應(yīng)的幅頻響應(yīng)圖。如圖9(a)所示，隨著張力從15 000 N增大到30 000 N，響應(yīng)幅值從a15增加到a30；如圖9(b)所示，隨著張力從30 000 N增大到70 000 N，響應(yīng)幅值a30從減小到a70；張力由小變大，垂度不斷變小，自激-受迫系統(tǒng)的響應(yīng)幅值出現(xiàn)先增大，后減小的現(xiàn)象，因此在工程應(yīng)用中，適當(dāng)增加輸電線的張力可以減小覆冰輸電線的舞動(dòng)幅值。

圖9 不同張力對應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線

為了分析輸電線彈性模量變化對弱激勵(lì)下自激系統(tǒng)的非線性特征影響，對于幅頻函數(shù)式(22)，取張力H=30 000 N，垂度d=1.539 3 m，激勵(lì)幅值p*=0.934 N/m，風(fēng)速U=4 m/s；彈性模量為：E=9 560.7、47 803.3、239 016.5、478 033、2 390 165 N/mm2，分別對應(yīng)著圖10中A、B、C、D、E曲線。如圖10(a)所示，彈性模量由小變大，輸電線結(jié)構(gòu)剛度不斷增加，輸電線舞動(dòng)的幅值逐漸減小，使得自激-受迫系統(tǒng)非線性增強(qiáng)趨向于硬彈簧特征；隨著彈性模量增大到239 016.5 N/mm2即曲線C時(shí)，系統(tǒng)的非線性特性隨即開始減弱，幅值也隨著變小，然而響應(yīng)幅值產(chǎn)生跳躍、多值和不穩(wěn)定現(xiàn)象。

圖10 不同彈性模量和張力對應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線

為了弄清楚輸電線不同張力情況下，彈性模量變化對自激-受迫系統(tǒng)非線性特征的影響，如圖10(b)，取張力H=20 000 N，d=2.309 0 m；如圖10(c)，取張力H=50 000 N，垂度d=0.923 6 m。彈性模量E=9 560.7 N/mm2對應(yīng)圖10中曲線A的共振峰值，其中圖10(b)的共振峰值最大，圖10(c)的峰值最??；彈性模量E=478 033 N/mm2對應(yīng)圖10中曲線D的共振峰值，然而圖10(c)的共振峰值最大，圖10(b)的共振峰值最??；則表明在相同的線路參數(shù)、環(huán)境參數(shù)、以及相同彈性模量范圍內(nèi)，張力越大，響應(yīng)幅值變化幅度越小。

從圖10中也可以看出，從張力為20 000 N的圖10(b)到張力為30 000 N的圖10(a)，再到張力為50 000 N的圖10(c)，隨著彈性模量的增加，自激-受迫系統(tǒng)的硬彈簧特性也更加明顯，響應(yīng)幅值產(chǎn)生跳躍、多值和不穩(wěn)定的現(xiàn)象增加。

彈性模量的增大能有效降低輸電線舞動(dòng)的共振幅值；增大彈性模量，同時(shí)增大輸電線的張力，也能降低輸電線舞動(dòng)的共振幅值，然而隨著張力的增大，自激-受迫系統(tǒng)的響應(yīng)幅值出現(xiàn)了跳躍、多值和不穩(wěn)定的現(xiàn)象。

5 結(jié)語

(1)當(dāng)自激-受迫系統(tǒng)中激勵(lì)幅值不斷增大，其中自激振動(dòng)幅值會(huì)越來越小甚至消失出現(xiàn)猝息現(xiàn)象，自激-受迫系統(tǒng)由自激振動(dòng)和受迫振動(dòng)疊加的振動(dòng)形式轉(zhuǎn)變?yōu)槭軞鈩?dòng)荷載負(fù)阻尼影響的受迫振動(dòng)。

(2)對于自激-受迫系統(tǒng)，風(fēng)速的不斷增大，使得系統(tǒng)呈現(xiàn)硬彈簧特性，并且導(dǎo)致系統(tǒng)非線性也不斷增強(qiáng)，不穩(wěn)定區(qū)域也逐漸變大；輸電線張力和彈性模量同時(shí)由小變大，輸電線結(jié)構(gòu)剛度不斷增加，也能有效地減小輸電線舞動(dòng)共振幅值，然而該系統(tǒng)也伴隨著非線性特征的出現(xiàn)；因此適當(dāng)增加輸電線張力和彈性模量有利于減小輸電線舞動(dòng)的共振幅值。