基于虛擬材料復(fù)模量非均勻分布的螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)半解析建模

劉曉峰，孫 偉?，孫 悅

1) 東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院，沈陽 110819 2) 東北大學(xué)航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室，沈陽 110819

螺栓連接由于結(jié)構(gòu)簡單、成本低、便于裝拆且具有一定可靠性而被廣泛應(yīng)用. 現(xiàn)代航空發(fā)動機的連接結(jié)構(gòu)亦多采用螺栓進行緊固連接. 螺栓連接結(jié)構(gòu)相比于整體結(jié)構(gòu)，其結(jié)合部處整體剛度會有所下降，且該部分會產(chǎn)生一定的阻尼作用，兩者共同作用，從而對整個結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性產(chǎn)生影響. 因此，如何有效的模擬螺栓連接結(jié)構(gòu)的結(jié)合部，對研究整個螺栓連接結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性至關(guān)重要.

近年來，很多學(xué)者致力于螺栓連接結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性研究，研究人員通常會建立精確地高保真模型進行螺栓結(jié)合部的靜力學(xué)分析. 例如，Reid和Hiser[1]采用非線性有限元分析方法，建立了螺栓結(jié)合部在剪切荷載作用下單向滑動的模型，在一定精度上再現(xiàn)了物理實驗中出現(xiàn)的力-位移滯回曲線. Sawa等[2]建立了螺栓連接結(jié)構(gòu)的三維有限元模型，分析了考慮螺紋的螺旋應(yīng)力分布和其分別在循環(huán)載荷和靜載荷作用下的彈塑性變形狀態(tài). Luyt等[3]對兩種圓形螺栓法蘭裝置進行了完整的有限元建模，可以準(zhǔn)確地預(yù)測帶有黏彈性墊圈的平面和凸起法蘭組件在閥座狀態(tài)下的蠕變松弛效應(yīng). Zhang等[4]建立了考慮螺旋螺紋的螺栓連接板結(jié)構(gòu)三維有限元模型，研究了其在軸向張力作用下沿嚙合螺紋的載荷傳遞行為. 由于高保真模型建模復(fù)雜、耗時長，分析過程比較緩慢，尤其在進行螺栓連接結(jié)構(gòu)的動力學(xué)研究時高保真模型更加難以適用，因此研究者們建立了螺栓連接結(jié)構(gòu)的簡化模型以提高模型計算效率. Luan等[5]用線性彈簧模擬螺栓連接法蘭結(jié)合部接觸界面，建立了簡化的螺栓連接法蘭結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型，并結(jié)合物理實驗討論了結(jié)構(gòu)縱向振動頻率與橫向振動頻率的關(guān)系. Meisami等[6]將螺栓法蘭結(jié)構(gòu)的結(jié)合部和螺栓分別視為懸臂梁和彈簧，建立了一個能反映實際結(jié)合部行為的解析模型，得到了載荷與撓度之間的精確關(guān)系. Xiang等[7]提出了一種考慮孔間隙和摩擦效應(yīng)的改進彈簧法，并基于彈簧法和有限元理論對七螺栓雙搭接板進行建模，研究了板寬、板厚、螺栓間距和間隙對載荷分布的影響. Deaner等[8]利用彈簧單元、粘滯阻尼單元以及一個四參數(shù)的Iwan單元建立了螺栓連接的雙梁結(jié)構(gòu)模型，在一定的受力水平范圍內(nèi)準(zhǔn)確的描述了結(jié)構(gòu)的剛度及阻尼. 李玲等[9]將栓接結(jié)合部剛度等效為結(jié)合面剛度和螺栓剛度的串聯(lián)，并利用ANSYS軟件建立了栓接梁結(jié)構(gòu)的有限元模型. 孫偉等[10]提出采用簡化的Iwan模型模擬螺栓結(jié)合面之間的非線性動力學(xué)現(xiàn)象，從而建立了螺栓連接組合梁非線性解析模型.

除上述針對螺栓結(jié)合部簡化建模的方法外，還有很多學(xué)者將螺栓接合部簡化成一種虛擬材料，并基于此完成螺栓連接結(jié)構(gòu)的建模與分析. 例如，Iranzad和Ahmadian[11]采用薄層虛擬彈塑性材料模擬螺栓連接梁結(jié)合部的接觸界面，建立了完整的動力學(xué)模型，并利用試驗數(shù)據(jù)對其參數(shù)進行了識別. Wang和Fan[12]將螺栓連接梁的連接界面簡化為虛擬材料，建立了螺栓連接梁的有限元模型，采用剛度和阻尼隨頻率變化的子結(jié)構(gòu)描述結(jié)合部非線性動力學(xué)行為. Zha等[13]提出將螺栓結(jié)合面接觸部分用一種橫觀各向同性的虛擬材料模擬并以此建立螺栓連接板的有限元模型，并將求解得到的模型固有頻率和振型與實驗結(jié)果進行比較，驗證了模型的正確性. Yang等[14]提出了一種基于分形理論的虛擬材料模型并將其用于預(yù)測碳纖維增強塑料復(fù)合材料螺栓連接的固有頻率.Shi和Zhang[15]提出了一種基于虛擬材料的栓接結(jié)合部界面參數(shù)化模型，在不同加載條件下對一個具有螺栓連接的力學(xué)結(jié)構(gòu)進行了數(shù)值仿真. Ye等[16]利用螺栓結(jié)合部基本特征參數(shù)與材料應(yīng)變能的關(guān)系推導(dǎo)出虛擬材料的參數(shù)，然后利用有限元分析軟件建立了包含結(jié)合部的單螺栓連接內(nèi)孔圓接頭分析模型. Zhao等[17]提出了一種基于表面接觸應(yīng)力的非線性虛擬材料方法來描述螺栓連接，并以一個箱型螺栓連接結(jié)構(gòu)模型為例進行了較精確的動態(tài)性能分析.

上述利用虛擬材料法建立的螺栓連接結(jié)構(gòu)模型均與實驗結(jié)果較為接近，但是上述模型中通常用賦以均勻參數(shù)的虛擬材料模擬螺栓結(jié)合面.事實上，真實螺栓結(jié)合部的接觸面壓力是非均勻分布的，而這種非均勻分布的接觸面壓力會影響到結(jié)構(gòu)的振動特性. 因此，本文以螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)為研究對象，采用復(fù)模量非均勻分布的虛擬材料模擬螺栓連接結(jié)構(gòu)的搭接部分，建立螺栓連接板的半解析模型. 文中具體介紹了建模思想及原理，給出了基于遺傳算法反推虛擬材料各參數(shù)的辨識流程，并創(chuàng)新性地給出了求解頻響函數(shù)的公式. 最后，以一個具體的螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)為例進行了實例研究，通過模型與物理實驗結(jié)果間的對比驗證了上述建模思想及方法的正確性和合理性.

1 基于虛擬材料復(fù)模量非均勻分布的螺栓搭接部分建模理念

1.1 建模理念

螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)由兩塊薄板搭接并由若干螺栓緊固在一起，本文考慮將搭接部分用虛擬材料進行模擬，在建模時將結(jié)構(gòu)劃分為板1、搭接部分及板2三個部分，并分別建模，如圖1（a）所示.而為了更好地模擬搭接部分的力學(xué)特性，這里假設(shè)虛擬材料的儲能模量分別服從線性分布、拋物線分布、正弦分布等非均勻分布形式，如圖1（b）所示. 所研究的螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)，長度為l，寬度為，搭接部分長度為 l2-l1，寬度為，未搭接部分厚度為，搭接部分厚度為.

圖1 虛擬材料儲能模量非均勻分布. （a）三維結(jié)構(gòu)示意；（b）二維結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Nonuniform distribution of the storage modulus of a virtual material: (a) 3D structure diagram; (b) 2D structure diagram

在本文的建模方法中，將虛擬材料的材料參數(shù)用復(fù)模量表示，具體為

首先確定搭接部分具體的儲能模量分布. 基于圖1中所描述的搭接部分儲能模量以線性、拋物線、正弦分布的假定，搭接部分任意位置處的儲能模量求解式可分別確定如下：

接下來確定搭接部分的耗能模量分布. 考慮到真實的螺栓結(jié)合部阻尼作用機理的復(fù)雜性，為簡化建模，這里將搭接部分的耗能模量視為均勻分布，即搭接部分任意位置處的耗能模量均取值為.

1.2 虛擬材料儲能模量與耗能模量參數(shù)確定方法

在上述的建模方法中，需要確定任意位置處的虛擬材料復(fù)模量值，其中儲能模量已經(jīng)給出了特定分布，故只需確定該分布下的最大儲能模量值即可，而本文虛擬材料的耗能模量為均勻分布，即只需確定參數(shù)的值.

本文采用反推辨識法[18-19]識別上述待定參數(shù)及，將待定參數(shù)定義為設(shè)計變量，通過匹配計算不斷對設(shè)計變量進行修正，使計算得到的結(jié)構(gòu)振動特性與實驗結(jié)果逐漸趨于一致，最終反推出待識別參數(shù). 虛擬材料的儲能模量直接影響到螺栓連接結(jié)構(gòu)的固有頻率，而其耗能模量直接影響螺栓連接結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)幅值，因而本文通過實際測試螺栓連接結(jié)構(gòu)的固有頻率和頻響函數(shù)幅值來反推虛擬材料的儲能模量與耗能模量.

圖2為反推辨識虛擬材料儲能模量和耗能模量的流程圖，主要包括三部分內(nèi)容：實驗測試，通過錘擊試驗獲取螺栓連接結(jié)構(gòu)的各階固有頻率和頻響函數(shù)；理論計算，利用自編半解析程序建立螺栓連接結(jié)構(gòu)半解析模型，詳情見第2部分；匹配計算，建立模型計算結(jié)果與實驗測試結(jié)果的匹配關(guān)系，這里采用遺傳算法[20-22]進行參數(shù)尋優(yōu)，迭代計算辨識待定參數(shù).

圖2 虛擬材料儲能模量（耗能模量）辨識流程Fig.2 Identification process of the storage modulus (loss modulus) of the virtual material

反推辨識虛擬材料儲能模量的目標(biāo)函數(shù)可表示為

反推辨識虛擬材料耗能模量的目標(biāo)函數(shù)可定義為

在算法中設(shè)定好目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重后，還需設(shè)定好算法中的種群數(shù)量（即每次迭代中給出的待辨識參數(shù)的數(shù)量）、變異概率（即種群中待辨識參數(shù)發(fā)生變異行為的概率）、交叉概率（即種群中待辨識參數(shù)發(fā)生交叉行為的概率），本文設(shè)定收斂條件為達(dá)到最大的迭代次數(shù)，通過若干次迭代發(fā)現(xiàn)目標(biāo)結(jié)果已達(dá)到穩(wěn)定值，由此輸出辨識的待定參數(shù)，即獲得辨識之后的虛擬材料儲能模量及耗能模量參數(shù).

2 螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)半解析建模及分析

2.1 搭接薄板結(jié)構(gòu)能量方程的推導(dǎo)

上文建模理念中，將螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)劃分為三部分（板1、搭接部分和板2），因其均屬于薄板結(jié)構(gòu)，故基于Kirchhoff假設(shè)和經(jīng)典薄板理論，將整個結(jié)構(gòu)的位移場[23-24]表示為

結(jié)構(gòu)任意一點的應(yīng)變可以用位移表示為

模型的應(yīng)變能可表示為

2.2 螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)振動特性求解

假設(shè)自由狀態(tài)下螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)中面橫向位移 w0(x,y,t)做簡諧運動，可表示為

3 實例研究

3.1 問題描述

這部分以螺栓連接鋼板為例，描述本文提出的用復(fù)模量非均勻變化的虛擬材料模擬搭接部分的力學(xué)特性，進而完成整個結(jié)構(gòu)的動力學(xué)建模與分析的方法. 圖3為所研究的螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)，其由兩塊鋼板經(jīng)兩個M6外六角頭螺栓緊固連接構(gòu)成，與所建半解析模型邊界條件一致，其一端固定支撐在實驗臺上，相關(guān)幾何及材料參數(shù)見表1.

圖3 螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)實物圖Fig.3 Real structure of the bolted thin-plate structure

表1 螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)中板的相關(guān)材料及幾何參數(shù)Table 1 Material and geometric parameters of the plate in a bolted thin plate structure

螺栓預(yù)緊力影響著結(jié)合部的物理屬性，預(yù)緊力的變化會對結(jié)合部的剛度和阻尼產(chǎn)生影響，進而會使得螺栓連接結(jié)構(gòu)的固有特性產(chǎn)生一定變化，本文重點描述建模方法，因而僅以一個定常預(yù)緊力為例做研究. 對每個螺栓均施加3 N·m的預(yù)緊力，采用錘擊法對該螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)進行固有特性測試，測試中通過PCB SN 30272力錘對薄板連接結(jié)構(gòu)施加寬頻激勵，使用Polytec PDV-100激光多普勒測振儀拾振，LMS SCSDAS數(shù)據(jù)采集分析儀用于獲取激勵及響應(yīng)信號，最終由獲取的頻響函數(shù)獲得固有頻率及模態(tài)振型. 實驗過程中，拾振點如圖3所示不變，在獲取模態(tài)振型時，錘擊點為圖3中標(biāo)注的所有節(jié)點，而圖中突出標(biāo)注的是下文所選取的頻響函數(shù)在實驗獲取時的對應(yīng)錘擊點. 相關(guān)測試結(jié)果列在后續(xù)的與理論分析相對照的各圖表中.

3.2 螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)半解析建模

兩塊連接薄板的搭接部分長為60 mm，寬為120 mm，按照式（2）～（4），依次給與搭接部分復(fù)模量以線性、拋物線、正弦分布，建立三種非均勻分布下的螺栓連接薄板結(jié)構(gòu)半解析模型. 為了明確用哪種分布形式更能提升分析模型的精度，在這里進行了對比研究. 同時為了體現(xiàn)這種虛擬材料復(fù)模量非均勻分布建模理念的先進性，還對比了虛擬材料復(fù)模量均勻分布建模力學(xué)特性的結(jié)果.分別采用反推辨識技術(shù)，利用實測的前5階固有頻率，針對不同的虛擬材料復(fù)模量非均勻分布建模方式，確定虛擬材料的最大儲能模量，其中對前5階分配的權(quán)重依次為0.3、0.2、0.3、0.1、0.1，遺傳算法中種群數(shù)量、變異概率、交叉概率、迭代次數(shù)依次設(shè)置為50、0.05、0.9和50，相關(guān)辨識結(jié)果見表2.

表2 反推法辨識獲得的各分布狀態(tài)下的虛擬材料儲能模量Table 2 Storage modulus of the virtual material for each distribution obtained using the inverse identification technique

需要說明的是，表中的儲能模量值是使對應(yīng)分布下的模型達(dá)到最高模擬精度的量值. 用此儲能模量值獲得的螺栓連接薄板的前5階固有頻率與實驗的比對分別見表3.

表3 各虛擬材料儲能模量分布模型固有頻率與實驗固有頻率對比Table 3 Comparison of the natural frequencies obtained using the virtual-material storage modulus distribution model and the experiment

由表3各數(shù)據(jù)間的對比可以非常直觀的看出虛擬材料儲能模量均勻分布時模型的固有頻率與實驗的接近程度明顯差于虛擬材料儲能模量非均勻分布時的結(jié)果. 進一步，利用均方根誤差（RMSE）方法[26]對比上述三種非均勻分布模擬時的各階固有頻率與實驗的偏差，將表3中的數(shù)據(jù)代入到式（24），獲得對應(yīng)三種分布形式的仿真與實驗前5階固有頻率的RMSE，結(jié)果見表4.

表4 各非均勻分布形式中仿真與實驗前5階固有頻率的均方根誤差Table 4 Root mean square error (RMSE) of the first five natural experimental and simulated frequencies in various nonuniform distributions

通過表4中的RMSE對比可以看出，采用拋物線分布時，模型前5階固有頻率與實驗的接近程度更好. 故在后續(xù)分析時，對于本文的結(jié)構(gòu)，均采用虛擬材料儲能模量按拋物線分布的模型進行模擬.

3.3 振動特性求解

前一部分已描述了固有頻率的求解，這里繼續(xù)求解螺栓連接板的模態(tài)振型. 仿真計算獲得的模態(tài)振型與實測值的比對見表5，可以看出兩者的振型基本一致.

表5 實驗與仿真前5階振型對照Table 5 Comparison of the first five experimental and simulated vibration modes

由于要確定虛擬材料的耗能模量，接下來進行模型頻響函數(shù)的計算. 參照圖3中描述的激勵點和拾振點位置，利用式（23）進行頻響函數(shù)的計算. 首先，利用反推辨識，對前5階頻響函數(shù)值依次分配 0.3、0.2、0.1、0.1、0.3的權(quán)重，設(shè)置種群數(shù)量、變異概率、交叉概率、迭代次數(shù)為50、0.05、0.9和50，不斷迭代模型中虛擬材料的耗能模量值，使模型的頻響函數(shù)曲線盡可能接近實測曲線，完成迭代后，虛擬材料的耗能模量為1.625×109Pa.接著用此耗能模量值獲得最終的頻響函數(shù)曲線并與實測比對，見圖4. 從圖中也可看出，仿真與實測的頻響函數(shù)也有較好的接近.

圖4 實測與仿真頻響函數(shù)對比Fig.4 Comparison of the frequency response functions obtained based on the measured and simulated data

4 結(jié)論

（1）本文提出用復(fù)模量非均勻分布的虛擬材料來模擬螺栓搭接部分的剛度及阻尼特性，并給出詳細(xì)的建模流程和方法. 實踐表明本文采用假定的正弦、拋物線和線性等非均勻變化的虛擬材料模擬螺栓搭接部分，相比于均勻分布能夠更加精確地模擬螺栓連接結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性.

（2）采用虛擬材料模擬螺栓搭接部分，虛擬材料的材料參數(shù)用復(fù)模量表示，可直接生成復(fù)數(shù)形式的剛度矩陣，省卻了常規(guī)建模中生成結(jié)合部阻尼矩陣的步驟，在保證模型精確性的基礎(chǔ)上，簡化了螺栓搭接部分的建模過程. 提出利用反推法辨識虛擬材料的儲能模量和耗能模量，其中儲能模量參數(shù)確定為其分布函數(shù)的最大值，耗能模量取相同值. 通過所提出的反推辨識流程可較為精確的確定虛擬材料的參數(shù).

（3）為了更好地實施所研發(fā)的建模理念以及反推辨識確認(rèn)虛擬材料的復(fù)模量參數(shù)，自行研發(fā)了半解析程序. 重點描述了復(fù)模量非均勻分布的虛擬材料引入螺栓連接結(jié)構(gòu)半解析模型的過程，并推導(dǎo)出了快速求解半解析模型任意錘擊點與拾振點處頻響函數(shù)的公式. 最終的研究表明：用所創(chuàng)建的半解析模型計算獲得的固有頻率、模態(tài)振型以及頻響函數(shù)值均與實驗結(jié)果較為接近，從而證明了提出的用復(fù)模量非均勻分布的虛擬材料模擬螺栓影響區(qū)進而實施半解析建?？蓪崿F(xiàn)較高的仿真計算精度.