有圖有真相
——中職數(shù)學(xué)精準(zhǔn)施教策略初探

張利芬

（浙江杭州市蕭山區(qū)第二中等職業(yè)學(xué)校 浙江杭州 311203）

一、前言

精準(zhǔn)施教是指教師在教學(xué)過程中根據(jù)教材教學(xué)內(nèi)容設(shè)置，遵循中職生成長(zhǎng)規(guī)律和認(rèn)知規(guī)律，學(xué)習(xí)個(gè)性化發(fā)展的特點(diǎn)和實(shí)際情況，準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)，細(xì)化教學(xué)流程，深化思維訓(xùn)練。中職數(shù)學(xué)教材內(nèi)容每章都會(huì)有圖形，比如解決集合中的有關(guān)問題可以用韋恩圖、用圖像法解一元二次不等式、函數(shù)的性質(zhì)判斷用圖像、向量的定義及運(yùn)算、圓錐曲線的圖像性質(zhì)、立體幾何等等。學(xué)生對(duì)于用畫圖這種學(xué)習(xí)策略來(lái)解決問題的意識(shí)是有的，但應(yīng)用的主動(dòng)性不高，愿意用畫圖這種學(xué)習(xí)策略來(lái)解決問題，但畫圖的系統(tǒng)方法欠缺，老師課堂上利用畫圖策略來(lái)教學(xué)的意識(shí)受各種因素的影響。就以往的教學(xué)實(shí)踐而言，往往擔(dān)心學(xué)生學(xué)不懂，基礎(chǔ)弱而不會(huì)注重學(xué)生的思維訓(xùn)練，這樣只會(huì)導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力越來(lái)越差，從而產(chǎn)生了惡性循環(huán)，因?yàn)樗季S能力不夠，所以知識(shí)理解起來(lái)有些難度，因?yàn)橹R(shí)理解起來(lái)很難度，所以導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣很弱。所以說(shuō)，“作圖--識(shí)圖--用圖”是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的關(guān)鍵。

二、有圖有真相——中職數(shù)學(xué)精準(zhǔn)施教策略

（一）規(guī)范作圖，精準(zhǔn)定義

在立體幾何教學(xué)中，學(xué)生甚至?xí)⒖臻g圖形看成平面圖形，將立體幾何中的異面直線看成相交直線。教學(xué)“二面角”這一數(shù)學(xué)概念時(shí)，激發(fā)學(xué)生空間想象力，學(xué)生在作圖的過程中，既理解了概念，也學(xué)會(huì)從不同角度去觀察立體圖形，既培養(yǎng)了學(xué)習(xí)立體幾何的興趣，也慢慢形成了學(xué)生“看圖—想圖—辯圖”的能力，并根據(jù)平面圖形來(lái)分析各種相關(guān)的點(diǎn)、線、面之間的平行，垂直，相交，異面各種位置關(guān)系，在職高立體幾何的學(xué)習(xí)中打下牢固的基礎(chǔ)。

用紙折成一個(gè)二面角（如圖1），二面角的的大小只與二面角的兩個(gè)面的相對(duì)位置有關(guān)，在棱上選擇不同的點(diǎn)作出二面角的平面角。

圖1 二面角認(rèn)識(shí)圖

讓學(xué)生自制圖片，在畫二面角的平面角時(shí)，教師先示范，在面面的交線棱上取點(diǎn)O，在平面內(nèi)α內(nèi)作出直線AO垂直棱L，這個(gè)垂直是理論上的，實(shí)際畫圖時(shí)，只要過O點(diǎn)畫出（表示平面邊長(zhǎng)的）平行線即可，同樣的方法，在平面β中畫出OB垂直棱L。然后讓學(xué)生進(jìn)行此操作。為了鞏固剛才的知識(shí)，教師讓學(xué)生繼續(xù)完成圖1中的二面角的畫法。以直線l（或CD）為棱，兩個(gè)半平面分別為α、β的二面角，記作二面角α-l-β（或α-CD-β）

視覺的感官作用被大大降低，復(fù)雜的思維活動(dòng)由大腦獨(dú)立完成，需要什么信息，從哪個(gè)角度觀察現(xiàn)象，以何種模式處理都是由大腦決定的，視覺器官只起執(zhí)行作用。而與平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)，因此二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，得到二面角的取值范圍為[0°，180°]。

（二）胸有成圖，精準(zhǔn)糾錯(cuò)

中職生提到函數(shù)就會(huì)怕，他們初中就被這個(gè)概念難到，在高中同樣也是教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。函數(shù)問題涉及到的主要是函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性，然而絕大多數(shù)的函數(shù)都有與之相匹配的圖形，在研究函數(shù)時(shí)，可以利用函數(shù)圖形來(lái)記憶有關(guān)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，教學(xué)內(nèi)容的組成方式較好，內(nèi)容的組織結(jié)構(gòu)較嚴(yán)密，達(dá)到良好的學(xué)習(xí)效果。

為了解決這些抽象性的函數(shù)問題，應(yīng)該將其轉(zhuǎn)化為直觀清晰的圖像，這樣抽象化的數(shù)字問題就會(huì)變得簡(jiǎn)單、易懂，中職學(xué)生在解決此類問題時(shí)也會(huì)迎刃而解[1]。

案例1：二次函數(shù)解決問題時(shí)，函數(shù)圖像的運(yùn)用

關(guān)于二次函數(shù)定義域有范圍的值域求解問題：函數(shù)f(x)=x2-2x，x∈［-1,2］, 的值域?yàn)?。這一問題就是利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解f（x）的值域。

錯(cuò)解：同學(xué)們習(xí)慣將-1,2直接帶入函數(shù)解析式求出對(duì)應(yīng)的值f(-1)=3，f(2)=0得到函數(shù)值域?yàn)閇0，3]

從中職學(xué)生們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)出發(fā)，老師可以了解到他們可能不會(huì)配方，所以讓學(xué)生們識(shí)記二次函數(shù)頂點(diǎn)公式，并且根據(jù)頂點(diǎn)公式和對(duì)稱軸，讓學(xué)生運(yùn)用代入數(shù)值法求出在此定義域中的值域范圍。

精準(zhǔn)教學(xué)：老師引導(dǎo)學(xué)生通過小組討論，通過研究配方，開始畫出該二次函數(shù)的簡(jiǎn)單圖式，通過配方法進(jìn)行畫圖，并且根據(jù)定義域截取值域范圍，從而巧妙地解決這個(gè)二次函數(shù)的值域問題。（如下圖2）

圖2 二次函數(shù)圖像

通過配方法引導(dǎo)學(xué)生們了解到f(x)=x2-2x=(x-1)2-1，即可以直接看出自變量又可以看出最值。

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，由此可以得出，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，f（x）的最小值等于f（1）=-1，又因?yàn)閒（-1）=3，f（2）=0，所以在這一區(qū)間內(nèi)f（x）最大值等于f（-1）=3，所以函數(shù)的值域?yàn)閇-1，3]。

設(shè)計(jì)意圖：通過“作圖—截圖—識(shí)圖”既鍛煉學(xué)生的公式識(shí)記能力，又通過小組討論合作交流的方式，讓學(xué)生更快地掌握配方法。通過數(shù)形結(jié)合的方式，以圖示直觀的感受值域的存在，了解二次函數(shù)的最大值與最小值，促進(jìn)學(xué)生在大腦中形成二次函數(shù)的整體框架和圖形的整體樣貌，為學(xué)生解決更多的二次函數(shù)問題奠定基礎(chǔ)。

（三）借圖促思，凸顯本質(zhì)

三角函數(shù)這章內(nèi)容，包含大量的理論、概念、公式，倘若想要運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決一些實(shí)際性的問題，就需要將三角函數(shù)、三角形角邊之間的關(guān)系融會(huì)貫通，比如，有的題目學(xué)生一看就會(huì)翻閱課本，查閱公式，接著套用公式才能有相應(yīng)的解決思路。特別是在正弦定理，余弦定理教學(xué)中，通過運(yùn)用圖形，能夠讓學(xué)生將有關(guān)正弦函數(shù)和余弦定理相關(guān)抽象的概念，用圖像表示出來(lái)[2]。尤其是在正弦定理求角時(shí)，總愛出現(xiàn)兩種情況的案例，通過用圖形表示概念能夠給予學(xué)生更加直觀的感受，并且讓學(xué)生的思維更加開闊，理解更加全面，真正發(fā)現(xiàn)解決三角形兩解的本質(zhì)問題。

有這樣一道關(guān)于正弦定理求角且兩種情況的題目：

圖3

運(yùn)用圖形，結(jié)合正弦定理，稍加計(jì)算就能直接揭示問題的本質(zhì)，直觀地看到問題的結(jié)果，這不僅僅是個(gè)答案，有數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和數(shù)學(xué)圖形的美。

（四）以圖助算，選法精準(zhǔn)

曲線方程是學(xué)生們學(xué)習(xí)中遇到問題最多的模塊，培養(yǎng)學(xué)生的解題思路，提升學(xué)生們的解題質(zhì)量和水平，老師應(yīng)該重視曲線圖形這一模塊當(dāng)中的運(yùn)用，充分運(yùn)用直觀的圖形，將包含在曲線方程中的數(shù)量關(guān)系的幾何特征進(jìn)行有效展示，以直觀的幾何描述給予學(xué)生更多有益的啟示，讓學(xué)生結(jié)合具體的圖像，思考相關(guān)的概念和問題，從特定的角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生們綜合發(fā)展。

圖4 雙曲線

仔細(xì)觀察上述“分析法”的解題過程，我們不禁感嘆：當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，做的一切計(jì)算都是徒勞于是我們又在想：假使我們能一早就知道焦點(diǎn)在x軸上，那計(jì)算量就能減半了。，代入點(diǎn)

方法1、2、3是呈遞進(jìn)關(guān)系的，似乎一個(gè)比一個(gè)簡(jiǎn)單。低思維量，復(fù)雜解題過程；高思維量，簡(jiǎn)單解題過程。

設(shè)計(jì)意圖：通過焦點(diǎn)的分析，讓學(xué)生了解雙曲線方程和焦點(diǎn)之間的關(guān)系，深化學(xué)生雙曲線基礎(chǔ)知識(shí)的認(rèn)知。畫圖能夠給學(xué)生清晰的解題思路，幫助學(xué)生真正了解在求雙曲線時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)該如何去做，引領(lǐng)學(xué)生找到解題的方向，讓學(xué)生真正明白雙曲線的方程應(yīng)該如何設(shè)才能促進(jìn)學(xué)生快速解題，精確解題，高效解題。

顯然作圖法是最適合中職生的解題方法。根據(jù)雙曲線的內(nèi)容和學(xué)生思維能力的實(shí)際情況，合理確定教學(xué)內(nèi)容的廣度和深度，以圖助算做到降低難度，精準(zhǔn)教學(xué)。這樣，能防止因思維量過大，學(xué)生似懂非懂，過后就忘，導(dǎo)致學(xué)生厭學(xué)，又能防止因計(jì)算量太大，而浪費(fèi)時(shí)間，讓學(xué)生覺得枯燥無(wú)味。

教師通過編選這個(gè)可以分析，可以通法，可以作圖法的一題多解題，讓他們從問題的本身進(jìn)行具體的分析，以圖幫助學(xué)生思考問題，以圖幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)問題的真實(shí)面貌，促進(jìn)學(xué)生能夠多層次全面看待問題，解決問題[3]。讓學(xué)生去犯錯(cuò)，去探討，去發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，通過進(jìn)行一系列碰撞性的思維活動(dòng)，將已有的思維方式大跨度地遷移，從可供選擇的途徑中篩選出解決問題的方法。

三、結(jié)束語(yǔ)

圖像能變抽象為直觀，老師在教學(xué)過程中應(yīng)該轉(zhuǎn)變自己的思維觀念，將此思想巧妙地融入到日常的教育教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生們?cè)诶L圖、識(shí)圖、用圖過程中理解抽象性的數(shù)學(xué)問題，讓教學(xué)變得更加直觀、形象，讓問題解決變得更加高效、快捷。通過圖式的直觀展示，對(duì)學(xué)生加強(qiáng)訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的內(nèi)涵和實(shí)質(zhì)，從而讓學(xué)生能夠融會(huì)貫通數(shù)學(xué)知識(shí)，并轉(zhuǎn)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，為學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。如何減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)、讓學(xué)生快樂的學(xué)習(xí)、獲得成功的喜悅，是每一位老師面臨的問題。教師要高度重視教材中圖形的教學(xué)，只要我們針對(duì)職高生的特點(diǎn)認(rèn)真?zhèn)湔n，研究學(xué)生的學(xué)法，深入鉆研教材、教法，一定可以將每一節(jié)課上得生動(dòng)精彩。