交軌法在一次函數(shù)中的運(yùn)用

邱春霞

引言:在八年級(jí)一次函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中,我們經(jīng)常會(huì)遇到求點(diǎn)的坐標(biāo)的問(wèn)題。這些題的特點(diǎn)是需要求出的點(diǎn)往往在一條已知直線上。解決這類問(wèn)題,我們可根據(jù)條件求出另一條經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)的直線,然后把這條直線與已知直線的解析式聯(lián)立,解出此點(diǎn)坐標(biāo)。這種求點(diǎn)的坐標(biāo)的方法叫“交軌法”。下面舉例說(shuō)明。

例1.如圖,在直角坐標(biāo)系中,直線y=x+4 與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C(-2,0).

過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC交AB于點(diǎn)D,求點(diǎn)D的坐標(biāo)。

解:過(guò)點(diǎn)A作OA的垂線,交線段OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。由y=0,x+4=0,得x=-4。由x=0,得y=0+4=4,可得A(-4,0),B(0,4)?！郞A=OB=4,∵OD⊥BC,設(shè)垂足為點(diǎn)G,∴∠BOG+∠OBG=90°,∵∠BOG+∠COG=90°,∴∠OBG=∠COG。∵ ∠BOC=∠EAO=90°,OA=OB,∴△EAO≌△COB(ASA),∴AE=CO=2,可得點(diǎn)E坐標(biāo)為(-4,2)。設(shè)直線OE的解析式為y=kx,把點(diǎn)E坐標(biāo)代入y=kx,可得2=-4k,∴k=-?！嘀本€EO解析式為y=-x,聯(lián)立y=x+4 與y=-x,解得x=-,y=?！帱c(diǎn)D坐標(biāo)為

方法點(diǎn)評(píng):點(diǎn)D在已知直線AB上,在此題里我們構(gòu)造了全等三角形,得到線段AE的長(zhǎng)度,再轉(zhuǎn)化為E點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線OE的解析式,再與直線AB解析式聯(lián)立,從而求出點(diǎn)D坐標(biāo),這是數(shù)學(xué)中典型的“交軌法”。

變式練習(xí):

已知如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+4 交坐標(biāo)軸于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C(0,-1),過(guò)點(diǎn)A作直線BC的垂線,垂足為點(diǎn)P,求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析:設(shè)直線AP交x軸于點(diǎn)D,由條件容易證明△AOD≌△BOC,可得OD=OC=1,可求出直線AD的解析式,再與直線BC的解析式聯(lián)立解出點(diǎn)P坐標(biāo)。同學(xué)們可以試一下。

例2.如圖,直線y=2x+3 交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,直線AC交y軸于點(diǎn)C,且SAOB=3SAOC

(1)求直線AC的解析式

(2)直線AC上是否存在點(diǎn)P,使得△APB的角平分線的交點(diǎn)在y軸上。

分析:第一問(wèn)容易求出點(diǎn)C坐標(biāo)。對(duì)于第二問(wèn),要正確理解條件“△APB的角平分線的交點(diǎn)在y軸上”?！鰽PB的角平分線肯定在三角形APB的內(nèi)部,所以首先排除點(diǎn)P在射線CA上,點(diǎn)P只能在第四象限。由條件知道,y軸平分∠ABP,可設(shè)邊PB與x軸交于點(diǎn)D,容易證明△AOB≌△DOB,得到OD=OA,進(jìn)而可得D的坐標(biāo)。容易求出直線BD的解析式,再與直線AC解析式聯(lián)立求出點(diǎn)P坐標(biāo)。同學(xué)們可以把解題過(guò)程寫一寫。

例3.如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線y=2x+m與y軸交于點(diǎn)A,與直線y=-x+5 交于點(diǎn)B(4,n),P為直線y=-x+5 上一點(diǎn).

(1)求m,n的值;

(2)求線段AP的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析:第1 小問(wèn)容易求出m=-7,n=1。點(diǎn)P是直線y=-x+5上一點(diǎn),結(jié)合問(wèn)題理解點(diǎn)P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。欲求線段AP的最小值,根據(jù)定理“垂線段最短”容易知道,當(dāng)AP垂直于直線y=-x+5時(shí),點(diǎn)P為所求作的點(diǎn)。不妨設(shè)直線AP與x軸交于點(diǎn)C。容易得到直線y=-x+5 與坐標(biāo)軸夾角是45°,可得∠OAC與∠OCA都是45°,于是有OC=OA=7,故可求出直線AC的解析式,再用交軌法求出點(diǎn)P坐標(biāo)。讀者可以算一算。

例4.如圖,直線y=-3x+3 與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C在y軸上,∠ABC=45°,求點(diǎn)C坐標(biāo)。

分析:總體思路是根據(jù)條件在直線BC上再找一個(gè)點(diǎn),求出此直線解析式,然后與y軸交軌求點(diǎn)C坐標(biāo)。此題條件是∠ABC=45°,常見(jiàn)思路是根據(jù)45°的角構(gòu)造三垂直全等。我們可以過(guò)點(diǎn)A作直線AB的垂線,交直線BC于點(diǎn)D,可得等腰直角三角形ADB。再過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,易得△ADE≌△BAO,可得AE=OB=1,DE=AO=3。于是容易求出點(diǎn)D坐標(biāo),再求出BD的解析式,從而求出點(diǎn)C坐標(biāo)。同學(xué)們可以寫一寫過(guò)程。

結(jié)語(yǔ):交軌法是初中八年級(jí),九年級(jí)數(shù)學(xué)常用的方法,核心是兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立。特點(diǎn)是欲求點(diǎn)而先要找一個(gè)點(diǎn),如例1 中是找一個(gè)E點(diǎn),變式練習(xí)中先找一個(gè)D點(diǎn),例2 中是先找一個(gè)D點(diǎn),例3中是先找一個(gè)C點(diǎn),例4 中是先找一個(gè)D點(diǎn)。題目中往往設(shè)置了幾何背景,要根據(jù)幾何背景去構(gòu)造(作輔助線),這對(duì)學(xué)生的能力有一定的要求,但難度也不是很大,只要適當(dāng)進(jìn)行練習(xí),是可以掌握交軌法的精髓的。