立足數(shù)學(xué)本源 滲透數(shù)學(xué)思想

楊婷婷

【摘 要】小數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)核心概念。如何在三至五年級(jí)階段的教學(xué)中，既把握小數(shù)意義的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)，又遵循這一階段學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行教學(xué)呢？筆者提出，可以通過(guò)小數(shù)發(fā)展歷史的解讀，分析現(xiàn)行教材，在教學(xué)中幫助學(xué)生逐步完成對(duì)小數(shù)意義的整體感悟及深度構(gòu)建。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)教學(xué);數(shù)學(xué)文化;十進(jìn)分?jǐn)?shù);數(shù)形結(jié)合

【中圖分類號(hào)】G623.5 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ?【文章編號(hào)】1671-8437（2021）10-0236-02

“小數(shù)概念”教學(xué)通常安排在小學(xué)三至五年級(jí)，并以分階段螺旋編排的方式進(jìn)行。教學(xué)中極易出現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)部分的教學(xué)目標(biāo)及內(nèi)容的把握度問(wèn)題的矛盾，使學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)難以觸及，困擾著一線教師。

1 ? “深度學(xué)習(xí)”之?dāng)?shù)學(xué)文化——提升學(xué)科素養(yǎng)

1.1 ?小數(shù)概念的界定

什么是小數(shù)？小學(xué)階段通常將分母為10、100、1000……的分?jǐn)?shù)，改寫成不帶分母的形式，這種形式的數(shù)，稱“十進(jìn)位小數(shù)”，簡(jiǎn)稱“小數(shù)”。

1.2 ?小數(shù)產(chǎn)生與發(fā)展的相關(guān)研究

16世紀(jì)以前，西方都是采用十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的形式表示小數(shù)，且沒(méi)有系統(tǒng)準(zhǔn)確的小數(shù)運(yùn)算方法。1593年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克拉維斯的著作中首次出現(xiàn)了小數(shù)點(diǎn)，1617年，英國(guó)數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了用逗號(hào)“，”作為小數(shù)點(diǎn)。

對(duì)小數(shù)產(chǎn)生與發(fā)展的深度了解，有助于教師挖掘數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，幫助學(xué)生把握小數(shù)實(shí)質(zhì)，了解數(shù)學(xué)歷史文化，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1]。

2 ? “深度學(xué)習(xí)”之知識(shí)脈絡(luò)——明晰知識(shí)體系

2.1 ?梳理教材，篩查比對(duì)

北師大版三年級(jí)上冊(cè)結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)教學(xué)“認(rèn)識(shí)小數(shù)”，三年級(jí)下冊(cè)再教學(xué)“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”。教學(xué)中不強(qiáng)求小數(shù)概念的嚴(yán)密準(zhǔn)確，而采用描述性定義的辦法，以物品的價(jià)格引出小數(shù)，并介紹小數(shù)點(diǎn)及讀寫法，在此基礎(chǔ)上，再教學(xué)簡(jiǎn)單小數(shù)的大小比較和加減法。四年級(jí)下冊(cè)“小數(shù)的意義與加減法”教學(xué)中，教材將“小數(shù)點(diǎn)的位置移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化”劃歸“小數(shù)乘法”單元中，五年級(jí)上冊(cè)再教學(xué)“小數(shù)除法”。

人教版教材的教學(xué)中，在三年級(jí)上冊(cè)教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”，三年級(jí)下冊(cè)教學(xué)“認(rèn)識(shí)小數(shù)”;四年級(jí)下冊(cè)教學(xué)“小數(shù)的意義與性質(zhì)”“小數(shù)的加減法”;五年級(jí)上冊(cè)教學(xué)“小數(shù)乘法、除法”。在學(xué)習(xí)小數(shù)前先認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，一方面是由于分?jǐn)?shù)本身比較抽象和難以理解，教學(xué)分多個(gè)階段螺旋上升;另一方面是學(xué)習(xí)“小數(shù)的意義”相關(guān)知識(shí)在很大程度上需要分?jǐn)?shù)做鋪墊?；谝陨峡紤]，教材的內(nèi)容安排為先教學(xué)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，再教學(xué)認(rèn)識(shí)小數(shù)。

上述兩種教材呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的兩種出場(chǎng)順序，但都啟發(fā)教師在教學(xué)時(shí)不要過(guò)分追求語(yǔ)言的表述，重在引導(dǎo)學(xué)生理解和感悟小數(shù)的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)。

2.2 ?兩階段編排意圖

“認(rèn)識(shí)小數(shù)”“小數(shù)的意義”為什么要分三、四年級(jí)兩個(gè)階段編排、教學(xué)呢？其一，從學(xué)生的前測(cè)中不難看出，小數(shù)以物品的價(jià)格方式先于分?jǐn)?shù)來(lái)到學(xué)生面前;其二從教學(xué)現(xiàn)實(shí)看，四年級(jí)各版本教材雖都包括借助長(zhǎng)度單位認(rèn)識(shí)小數(shù)，但認(rèn)識(shí)范圍增加到三位小數(shù)，開(kāi)始系統(tǒng)認(rèn)識(shí)一些抽象的概念，要借助十進(jìn)制分?jǐn)?shù)來(lái)解釋意義，學(xué)生對(duì)十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的認(rèn)知程度直接影響其對(duì)小數(shù)意義的理解。

3 ? “深度學(xué)習(xí)”之聯(lián)結(jié)本原——序列化設(shè)計(jì)教學(xué)

人教版“認(rèn)識(shí)小數(shù)”一課中引入部分的情境圖，從“實(shí)驗(yàn)教科書”的純商品價(jià)格圖改編成“義務(wù)教育教科書”中多種計(jì)量單位小數(shù)表達(dá)多元呈現(xiàn)的樣式。

3.1 ?教學(xué)片段

（1）通過(guò)三樣物品的價(jià)格引入小數(shù)。詢問(wèn)：“在哪里見(jiàn)到過(guò)這樣的數(shù)？知道這樣的數(shù)叫什么嗎？說(shuō)說(shuō)和以前學(xué)過(guò)數(shù)有什么不同？”（板書：認(rèn)識(shí)小數(shù)）

（2）認(rèn)讀小數(shù)，說(shuō)說(shuō)它們分別表示幾元幾角幾分？ （板書：5.98元、0.85元、10.10元）

（3）生活中還有哪些地方看到過(guò)小數(shù)？

3.2 ?教學(xué)反思

學(xué)生關(guān)于小數(shù)最直接的生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)自于購(gòu)物中商品的價(jià)格問(wèn)題。由此教材設(shè)置了學(xué)生最熟悉的物品價(jià)格、體溫、物體重量等生活中的小數(shù)作為引入。學(xué)生已學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”，并在一年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)人民幣”單元中初步接觸兩位小數(shù)價(jià)格的實(shí)際意義，學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)早已高于上述教學(xué)設(shè)計(jì)，在前測(cè)中86%的學(xué)生已會(huì)讀寫小數(shù)，能說(shuō)明小數(shù)的多種含義?；谶@樣的認(rèn)知基礎(chǔ)，教材并不要求把這一知識(shí)作為新授內(nèi)容，而僅僅是一個(gè)情境引入，對(duì)小數(shù)的表示意義不做過(guò)多探究。

3.3 ?二次重構(gòu)

（1）揭示課題，出示材料。

師：想一想，我們學(xué)過(guò)哪些數(shù)？今天我們要研究另一種數(shù)。（板書：認(rèn)識(shí)小數(shù)）

出示：一塊小橡皮0.1元，一本練習(xí)本0.40元，閱覽室桌子寬0.9米，長(zhǎng)2.2米，小明體重30.30千克。

師：這些都是小數(shù)，與之前學(xué)過(guò)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)有什么不同？

（2）介紹小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)的左邊叫整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)的右邊叫小數(shù)部分。試讀小數(shù)。

重構(gòu)設(shè)計(jì)的基點(diǎn)在于學(xué)生對(duì)人民幣的認(rèn)識(shí)和使用在生活中已有一定的經(jīng)驗(yàn)，借助“元、角、分”溝通關(guān)聯(lián)，雖沒(méi)有正式提及分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)系，但也是從側(cè)面肯定“小數(shù)是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)”的一種特殊形式。以此為契機(jī)，采取上述整體進(jìn)入的方式，也就是通過(guò)類比遷移形成類型。由于學(xué)生已有價(jià)格經(jīng)驗(yàn)，教師可通過(guò)類比的方式直接引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行遷移，使學(xué)生嘗試直接說(shuō)出各類小數(shù)，不必一直糾結(jié)以元為單位的小數(shù)表示何種意義，否則學(xué)生將看不到整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)之間的實(shí)質(zhì)關(guān)系。

4 ? 系統(tǒng)勾連，構(gòu)建十進(jìn)制分?jǐn)?shù)（小數(shù)）的意義本質(zhì)

教學(xué)“認(rèn)識(shí)小數(shù)”一課時(shí)，會(huì)遇到這樣的難題：學(xué)生無(wú)法順利歸納出十分之幾可以用一位小數(shù)表示，這時(shí)教師應(yīng)該怎樣溝通十進(jìn)制分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的關(guān)系？

4.1 ?教學(xué)片段

（1）師：老師用0.1元買了這顆糖，0.1元表示幾角呢？（板書：0.1元=1角）用分?jǐn)?shù)表示又是幾分之幾元呢？（板書：1/10元=1角）引導(dǎo)學(xué)生觀察這兩個(gè)等式，比較1/10元與0.1元的大小。

（2）練習(xí)：你能學(xué)老師的樣子，出幾個(gè)與小數(shù)有關(guān)的問(wèn)題考考你的同桌嗎？

（3）師：這列分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間有什么關(guān)系呢？（學(xué)生無(wú)從下手）

看看分母有什么特點(diǎn)？（引導(dǎo)學(xué)生明白“十分之幾的分?jǐn)?shù)能用一位小數(shù)表示”）

4.2 ?教學(xué)反思

從前測(cè)看，學(xué)生對(duì)具體情境中的小數(shù)有一定認(rèn)識(shí)?；谏罱?jīng)驗(yàn)，借助“元、角、分”直觀模型，在具體的“量”中理解小數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義，溝通用“整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)”都能表示同一個(gè)“量”，是教學(xué)的首要策略。在教學(xué)中，教師要關(guān)注小數(shù)在價(jià)格中的實(shí)際含義，如果略去小數(shù)與分?jǐn)?shù)的緊密聯(lián)系，直接提問(wèn)“什么樣的分?jǐn)?shù)能用一位小數(shù)表示”，學(xué)生不容易看到分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的本質(zhì)關(guān)系，即小數(shù)是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的另一種表現(xiàn)形式。小數(shù)是“十進(jìn)制分?jǐn)?shù)”，教學(xué)的重心還應(yīng)該落在“十進(jìn)制”上，不應(yīng)落在“分?jǐn)?shù)”上，分?jǐn)?shù)只是一個(gè)描述計(jì)數(shù)單位的工具，“十進(jìn)制”才是本質(zhì)。

5 ? 兩階段多元表征 發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想

三年級(jí)下冊(cè)教學(xué)“認(rèn)識(shí)小數(shù)”前測(cè)：畫圖表示0.8元。學(xué)生的情況如下：①將線段圖或一個(gè)圖形十等份;②把一條線段或一個(gè)圖形分成10份，但沒(méi)有平均分;③不清楚0.8元與1元之間具體有哪種聯(lián)系。從前測(cè)可以看出，學(xué)生對(duì)小數(shù)的概念認(rèn)識(shí)模糊，只介于認(rèn)識(shí)人民幣，如放手讓學(xué)生自主探索，其思考很難觸及概念的本質(zhì)。

因此，教學(xué)認(rèn)識(shí)0.8元后，可出示長(zhǎng)方形、線段、計(jì)數(shù)器等素材，讓學(xué)生用多種方法（分一分、畫一畫）表示0.8元。通過(guò)系列問(wèn)題的設(shè)置，用不同的素材，再次豐富表征。并提問(wèn)：這些圖形的形狀不同，為什么都可以表示0.8元呢？讓學(xué)生在歸納的同時(shí)，感悟到線段圖上的表征與后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)軸之間的關(guān)聯(lián);便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)整數(shù)與小數(shù)、小數(shù)與小數(shù)之間的關(guān)系，理解區(qū)間的概念。借助多元表征，讓學(xué)生動(dòng)態(tài)理解小數(shù)與十進(jìn)制分?jǐn)?shù)之間的密切關(guān)聯(lián)。

四年級(jí)下冊(cè)“小數(shù)的意義”的學(xué)習(xí)體現(xiàn)著十進(jìn)制位值原則，教學(xué)時(shí)可著重以“米制系統(tǒng)”為直觀模型，從“小數(shù)是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的另一種表示形式”的角度描述小數(shù)的意義，使學(xué)生明確“分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示”，認(rèn)識(shí)到“同一個(gè)量，可以用自然數(shù)表示，也可用小數(shù)、分?jǐn)?shù)表示”，“米制系統(tǒng)”直觀模型也解決了當(dāng)兩位小數(shù)中十分位、百分位是“0”時(shí)如何用小數(shù)表示現(xiàn)實(shí)的量這個(gè)難點(diǎn)。

課后的練習(xí)中應(yīng)創(chuàng)設(shè)多樣化的學(xué)習(xí)素材，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫圖、分割等方法，將1個(gè)圖形平均分成若干份，借助“面積模型”架構(gòu)純、混小數(shù);用“線段圖模型”半抽象小數(shù)，將十進(jìn)制分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)系勾連，再延伸到“數(shù)軸”來(lái)認(rèn)識(shí)小數(shù)。這樣，從直觀形象到半抽象半形象，由形到數(shù)，再由數(shù)到形，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，能讓學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過(guò)程，不僅把小數(shù)和十進(jìn)制分?jǐn)?shù)聯(lián)系起來(lái)，而且形象地看到聯(lián)系的本質(zhì)。

教與學(xué)永遠(yuǎn)是一門相輔相成的藝術(shù)！教師要提升自身素養(yǎng)，充實(shí)相關(guān)的上位知識(shí)，用自己的實(shí)踐聯(lián)結(jié)教學(xué)中的立足點(diǎn)與之保持平衡關(guān)系，立足教學(xué)本源問(wèn)題，滲透數(shù)學(xué)思想，真正將深度學(xué)習(xí)落到“實(shí)”處，讓學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展落到“深”處！

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.