一類三階線性非齊次微分方程的通解公式

張巧玲 陸海霞 劉曉蘭

【摘 要】本文研究三階線性非齊次微分方程 y'''+2a（x）y''+b（x）y'+c（x）y= f（x），且a（x），z（x）滿足微分方程組，提出利用已知一個(gè)特解的二階變系數(shù)齊次微分方程的降階，通過常數(shù)變易法求得其通解。

【關(guān)鍵詞】三階線性非齊次微分方程;常數(shù)變易法;降階

【中圖分類號(hào)】G642 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ?【文章編號(hào)】1671-8437（2021）10-0007-02

數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，廣泛應(yīng)用于工程力學(xué)、物理學(xué)、種群動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域[1-3]。對(duì)于其中極為重要的三階線性非齊次微分方程

對(duì)于系數(shù)函數(shù)滿足的三階線性非齊次微分方程 y'''+2a（x）y''+b（x）y'+c（x）y= f（x），其求解大體可按照以下步驟進(jìn)行：①將三階線性組合湊成關(guān)于因變量的二階線性微分方程的微分，兩邊積分，得到二階變系數(shù)非齊次線性微分方程;②對(duì)上述二階變系數(shù)非齊次線性微分方程的齊次方程，利用其已知的一個(gè)特解，降階求得其另一個(gè)線性無關(guān)的特解，進(jìn)而得到齊次方程的通解;③利用常數(shù)變易法對(duì)上述通解進(jìn)行變易，求得待定系數(shù)函數(shù)，從而得到三階線性非齊次微分方程的通解[5-6]。

當(dāng)利用上述方法求解比較困難時(shí)，可以考慮其他方法，微分方程的求解技巧非常靈活，當(dāng)然也存在三階線性非齊次微分方程本身可能無解的情形。因此，三階變系數(shù)線性非齊次微分方程的可積性，至今仍是世界難題.

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【作者簡(jiǎn)介】

張巧玲（1990～），女，漢族，山東臨沂人，碩士，講師。研究方向：微分動(dòng)力系統(tǒng)，生物控制。

陸海霞（1976～），女，漢族，江蘇鹽城人，博士，教授。研究方向：生物數(shù)學(xué)。

劉曉蘭（1981～），女，漢族，江蘇徐州人，碩士，講師。研究方向：生物數(shù)學(xué)。