非零初始條件線性系統(tǒng)的Legendre多項式模型降階方法

宋秋艷,宋述剛

(長江大學信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023)

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非零初始條件線性系統(tǒng)的Legendre多項式模型降階方法

宋秋艷,宋述剛

(長江大學信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023)

討論了非零初始條件下線性系統(tǒng)的模型降階問題，并給出了一種基于Legendre正交多項式的時間域模型降階算法。該方法首先將系統(tǒng)的狀態(tài)變量在正交多項式空間中進行展開，然后由狀態(tài)方程得到展開系數(shù)的簡單遞推式，接著對其正交化，求得投影矩陣，通過正交投影變換得到降階系統(tǒng)。由該方法得到的降階系統(tǒng)可以匹配原始系統(tǒng)輸出變量一定數(shù)量的正交多項式展開系數(shù)，從而保證了降階的精度。最后，通過2個數(shù)值算例驗證了該算法的有效性。

模型降階；Legendre多項式；投影方法

模型降階這一思想到現(xiàn)在已有40多年的歷史。簡而言之，模型降階就是在某種情況下將一個較大的復雜系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個近似的較小系統(tǒng)的過程。模型降階是一種有效的降低動力系統(tǒng)復雜性的技術(shù)。該類技術(shù)能夠減少數(shù)據(jù)的存儲量和運算量，降低大型復雜系統(tǒng)的理論分析難度，加速系統(tǒng)的模擬計算，同時在一定的誤差范圍內(nèi)保持系統(tǒng)的某些重要屬性。模型降階方法已被成功地應用于許多工程應用領(lǐng)域和其他學科的分支中，如大規(guī)模集成電路模擬、自動化控制和機械工程等[1～3]。自模型降階方法被提出以來，已經(jīng)發(fā)展出多種方法，其中最主要的2類分別是Krylov子空間類方法和基于奇異值分解的平衡截斷模型降價方法。

Krylov子空間方法是投影類模型降階方法，該類方法數(shù)值穩(wěn)定，算法實現(xiàn)簡單，并且計算量較小，受到很多科技工作者的青睞，但其沒有比較理想的誤差估計結(jié)果；平衡截斷模型降階方法可以直接得到降階模型的誤差估計結(jié)果，并能保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但是該類方法在降階過程中需要求解大規(guī)模的Lyapunov方程，運算量較大，計算復雜度比較高，制約其應用的廣泛性。近些年來，由平衡截斷方法與投影類方法結(jié)合形成新型模型降階方法成為研究熱點之一。

近年來，基于正交多項式(包括Chebyshev正交多項式、Legendre正交多項式和Laguerre正交多項式等)的模型降階方法也受到了廣泛的關(guān)注。這類算法的核心思想是首先將系統(tǒng)的狀態(tài)變量在以正交多項式為基底的空間中進行展開，然后由系統(tǒng)的狀態(tài)方程求得狀態(tài)變量的多項式展開系數(shù)，最后通過該展開系數(shù)構(gòu)造標準列正交矩陣對原始系統(tǒng)進行降階。由此得到的降階系統(tǒng)一般都能夠匹配原始系統(tǒng)的輸出函數(shù)在正交多項式張成的空間中一定數(shù)量的展開系數(shù)。該類方法是一種時間域模型降階方法，已被成功地應用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)以及一些特殊結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模型降階中[4～7]。

傳統(tǒng)的模型降階方法，在降階過程中一般都只考慮系統(tǒng)的輸入輸出性態(tài)，忽略初始條件的影響，或者為了簡便假設(shè)初始條件為零，這樣，使得原始系統(tǒng)的初始信息遭到破壞，給降階系統(tǒng)帶來不可預測的結(jié)果[8, 9]。因此，傳統(tǒng)的模型降階方法對非零初始條件的系統(tǒng)一般不太適用?；诖耍P者針對非零初始條件的線性系統(tǒng)，提出一種基于Legendre正交多項式的時間域模型降階方法。

1 Legendre正交多項式

定義1 多項式:

稱為Legendre多項式。

性質(zhì)1 Legendre多項式在區(qū)間[-1,1]上滿足如下正交性：

性質(zhì)2 對Legendre多項式，遞推公式(1)成立：

(1)

其中, P0(t)=1,P1(t)=t。

Legendre多項式Pi(t)可以展開為如下的冪級數(shù):

(2)

式中, fij為冪級數(shù)tj的展開系數(shù)。

將式(2)帶入式(1)，可得:

(3)

比較式(3)兩邊關(guān)于t的各次冪的系數(shù)，可得：

任意一個可積函數(shù)x(t)均可以在Legendre正交多項式基底下近似展開：

(4)

由文獻[10] 可知，可測函數(shù)的正交多項式展開在Lebesgue意義下是一致收斂的，且正交多項式的近似展開在最小平方誤差意義下是最優(yōu)的，因此，相對低價的正交多項式近似可以達到較高的精度。

可以將最小二乘法與Legendre正交多項式相結(jié)合來計算函數(shù)x(t)的冪級數(shù)展開系數(shù)xi。將式(2)代入到(4)中，比較兩邊t的各次冪的系數(shù)，有:

其中, αj的值可由Legendre多項式的正交性求得:

在實際應用中，可以用文獻[11] 中復雜度為O(NlogN)的快速算法來計算函數(shù)x(t)的前N個Legendre正交多項式展開系數(shù)。

2 基本算法

下面，筆者將給出非零初始條件下線性系統(tǒng)的基于Legendre正交多項式的模型降階方法的具體過程。

考慮如下單輸入單輸出線性系統(tǒng)：

(5)

其中, A∈Rn×n;b,c∈Rn;x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量; u(t),y(t)∈R分別是系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量;n為系統(tǒng)的維數(shù)。

為得到原始系統(tǒng)(5)的降階系統(tǒng)，首先將系統(tǒng)的狀態(tài)變量x(t)和輸入變量u(t)近似展開為：

(6)

(7)

其中,hi∈Rn,ui∈R分別為x(t)和u(t)的展開系數(shù)向量。

將式(6)和(7)代入式(5)，有:

整理得:

比較兩端常數(shù)項和ti(i=1,2,…,r-2)所對應的系數(shù)，并忽略高階項tr-1，最終可得:

(8)

式中,h0為給定的初始條件x0。

由遞推式(8)便可求得狀態(tài)變量x(t)的展開系數(shù)向量hi(i=1,2,…,r-1)。

(9)

3 數(shù)值算例

下面，筆者通過2個數(shù)值算例來驗證上述模型降階方法的有效性。

例1 考察一個實際的大氣風暴軌跡的地球大氣模型[3]，由形如系統(tǒng)(5)的598階微分動力系統(tǒng)來描述，其初始條件為x0=[0,0,…,0,1]T。

對該系統(tǒng)采用基于Legendre正交多項式的模型降階方法降至16階，原始系統(tǒng)與降階系統(tǒng)關(guān)于輸入函數(shù)u(t)=e-0.5tsin10t的瞬態(tài)響應及其相應的誤差如圖1、圖2所示。

圖1 例1的瞬態(tài)響應

圖2 例1中降階模型的相對誤差

例2 考慮形如系統(tǒng)(5)的1006階微分動力系統(tǒng)[3]，其中:

A=diag{A1,A2,A3,A4}

A3=diag{-1,-2,…,-1000}

對該系統(tǒng)采用基于Legendre正交多項式的模型降階方法降至20階，原始系統(tǒng)與降階系統(tǒng)關(guān)于輸入函數(shù)u(t)=sint的瞬態(tài)響應及其相應的誤差如圖3、圖4所示。

圖3 例2的瞬態(tài)響應

圖4 例2中降階系統(tǒng)的絕對誤差

由以上2個數(shù)值算例的模擬結(jié)果可以看出，基于Legendre正交多項式的模型降階方法得到的低階模型對原始模型有很好的近似效果。由于考慮了初始條件，該方法對于非零初始條件的線性系統(tǒng)是有效的。

4 結(jié)語

傳統(tǒng)的模型降階方法往往忽略初始條件，使得降階模型的精度無法保證。針對帶非零初始條件的線性系統(tǒng)，提出了一種基于Legendre正交多項式的模型降階方法。該方法不僅考慮了初始條件，并且降階過程簡單高效，數(shù)值算例驗證了該方法的有效性。基于正交多項式的模型降階方法是一類時間域的模型降階方法，該類方法一般與系統(tǒng)的輸入函數(shù)有關(guān)，如何削弱該類方法對輸入函數(shù)的依賴性，擴展其應用是值得進一步研究的問題。

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[編輯] 洪云飛

2016-06-26

國家自然科學基金項目(11201039)。

宋秋艷(1989-)，女，碩士生，現(xiàn)主要從事應用數(shù)學方面的研究工作；通信作者：宋述剛，教授，2712281782@qq.com。

O231

A

1673-1409(2016)28-0001-05

[引著格式]宋秋艷,宋述剛.非零初始條件線性系統(tǒng)的Legendre多項式模型降階方法[J].長江大學學報(自科版)，2016,13(28)：1～5.