一種計算三體問題周期軌道的新方法

鄭 越，泮斌峰,3，唐 碩,3

(1. 西北工業(yè)大學航天學院，西安710072；2. 陜西省空天飛行器設(shè)計重點實驗室，西安710072；3. 航天飛行動力學技術(shù)國家級重點實驗室，西安710072)

一種計算三體問題周期軌道的新方法

鄭 越1,2，泮斌峰1,2,3，唐 碩1,2,3

(1. 西北工業(yè)大學航天學院，西安710072；2. 陜西省空天飛行器設(shè)計重點實驗室，西安710072；3. 航天飛行動力學技術(shù)國家級重點實驗室，西安710072)

針對三體問題周期軌道計算方法存在計算量大、改變雅可比能量和局限于計算特定周期軌道等不足，本文提出了一種計算周期軌道的新方法。首先建立了一種初始點和投影點關(guān)系的改進型龐加萊截面圖，能夠更直觀地反映隨著初始點改變周期軌道的演變和分叉；其次基于改進的龐加萊截面圖，通過初始點與投影點的對應(yīng)關(guān)系篩選出可能存在周期軌道的候選區(qū)間；然后在該候選區(qū)間內(nèi)利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣給出距離周期軌道初始點真實解非常接近的初始猜想；最后采用打靶法求解能夠快速得到周期軌道的數(shù)值解。本文方法不需要改變?nèi)w系統(tǒng)的雅可比能量，迭代次數(shù)少，能夠快速計算得到大范圍、具有x軸對稱性的周期軌道。以地月圓形限制性三體問題為例進行仿真，驗證了該方法的快速性和有效性。

圓形限制性三體問題,周期軌道,龐加萊映射,雅可比能量

0 引 言

周期軌道是深入認識三體問題的關(guān)鍵。隨著空間科學技術(shù)的不斷進步，周期軌道在天體觀測、低能軌道轉(zhuǎn)移、天體間循環(huán)軌道等方面得到了越來越多的發(fā)展，為星際探測、資源開發(fā)、載人工程等方面提供了有效的解決方案，探索周期軌道也成為進一步探索其他復雜類型軌道的基礎(chǔ)。因此研究周期軌道的計算方法在深空探測中具有重要的意義。

周期軌道通常是通過大范圍遍歷搜索方法計算得到，這種方法耗時過長，為此很多學者開展了大量的研究，以求得到更有效的周期軌道求解方法。美國學者Richardson[1]提出三階解析解來獲取平動點周期軌道，但其精度無法滿足實際任務(wù)的要求；Breakwell等[2]通過打靶法對近似解反復迭代計算出較精確的平動點周期軌道數(shù)值解，這種方法需要同時積分包含42個方程的微分方程組而得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,計算量較大；希臘學者Antoniadou等[3]通過周期軌道的分叉和連續(xù)找到給定周期軌道附近的一系列周期軌道，這種方法需要給定初始參考軌道，對于周期軌道的全局搜索具有局限性；Russell[4]將打靶法和方格搜索相結(jié)合得到全局范圍內(nèi)符合精度的周期軌道數(shù)值解;Anderson等[5]應(yīng)用Russell方法搜索了一系列不穩(wěn)定周期軌道，但是這種方法會改變?nèi)w系統(tǒng)的雅可比能量值；印度學者Dutt等[6]通過觀察龐加萊截面圖中軌道流形形成的KAM[7]環(huán)的圓心，通過圓心位置與雅可比(Jacobi)能量的對應(yīng)關(guān)系給出了一組周期軌道在不同雅可比能量下的發(fā)展趨勢;巴西學者Winte等[8]用同樣的方法得到了繞月周期軌道隨著雅克比能量變化的趨勢圖。在傳統(tǒng)的龐加萊截面圖中，軌道流形需要通過多次投影才能形成KAM環(huán)；另外僅從龐加萊截面圖上觀察不能確定軌道與其投影點的對應(yīng)關(guān)系，而且只能找到穩(wěn)定周期軌道，不穩(wěn)定周期軌道由于不存在島嶼的吸引，不能在龐加萊截面圖上找到。

國內(nèi)也有不少學者對三體問題的周期解開展了長期而深入的研究。南京大學的劉林等[9]，侯錫云等[10]，北京航空航天大學的徐明等[11]，北京理工大學的崔平遠[12]圍繞著平動點周期軌道進行了大量的研究；哈爾濱工業(yè)大學的張振江等[13]提出一種基于三階解析解的平動點周期軌道確定算法；國防科學技術(shù)大學的連一君[14]對平動點附近周期軌道的迭代初值的獲取進行了研究；羅宗富等[15]基于迭代算法求解Backflip型周期軌道；北京理工大學的張文博等[16]針對地月系統(tǒng)中循環(huán)往返于地球和月球之間的地月系統(tǒng)周期軌道進行了建模和計算研究；Shang等[17]利用方格搜索方法進行了周期軌道的全局搜索；西北工業(yè)大學的張漢清等[18]通過構(gòu)造一類流函數(shù)對初始值進行逐步積分得到與x軸相交指定次數(shù)的周期軌道數(shù)值算法，這種方法只能得到某一指定與x軸相交次數(shù)的周期軌道，而且對初始狀態(tài)逐步數(shù)值積分的方法具有遍歷性，計算量過大。

目前現(xiàn)有的周期軌道計算方法大多針對特定類型的周期軌道而完成[1-3,9-16]；而全局周期軌道計算方法主要有流函數(shù)法[18]，打靶法和方格搜索結(jié)合的方法[4-5,17]，龐加萊截面法[6,8]。流函數(shù)法建立在大范圍遍歷搜索基礎(chǔ)上，存在計算量過大的缺點。將打靶法和方格搜索相結(jié)合能夠在一定程度上減少遍歷搜索計算量過大的問題，但是這種方法需要改變?nèi)w系統(tǒng)的雅可比能量值。龐加萊截面法能夠在特定雅可比能量下，通過觀察龐加萊截面圖中軌道流形形成的KAM環(huán)的圓心來確定周期軌道，但是通過這種方法只能得到穩(wěn)定周期軌道。

針對現(xiàn)有周期軌道數(shù)值算法所存在的計算量大、需改變雅可比能量及局限于計算特定周期軌道等方面的不足，本文提出一種新的方法來實現(xiàn)周期軌道的快速計算。首先建立能夠清晰描述初始點與投影點的對應(yīng)關(guān)系的改進龐加萊截面圖，提出周期軌道區(qū)間的篩選方法和初始點猜想生成策略；其次在此基礎(chǔ)上快速完成周期軌道初始點的數(shù)值求解；最后以地月系統(tǒng)圓型限制性三體問題為例，對本文方法進行了驗證，并通過周期軌道在改進龐加萊截面圖上的對應(yīng)關(guān)系從穩(wěn)定性角度對周期軌道進行了分析和總結(jié)。

1 平面圓形限制性三體問題

1.1 動力學模型

(1)

式中：Ω為旋轉(zhuǎn)坐標系下的等效勢能：

(2)

式中：μ為兩主天體的質(zhì)量比常數(shù)，設(shè)矢量r1,r2為探測器到兩個主天體的距離，有：

(3)

CRTBP系統(tǒng)中，存在雅可比積分如下：

(4)

可以發(fā)現(xiàn)，平面CRTBP系統(tǒng)具有沿x軸的對稱性，滿足如下轉(zhuǎn)換關(guān)系：

(5)

1.2 龐加萊映射和周期軌道

龐加萊映射是在CRTBP的研究中經(jīng)常用到的一個基本工具[22]，其基本原理是將n維流形投影到n-1維的截面上，能以n-1維離散系統(tǒng)來代替n維連續(xù)系統(tǒng)的流，這個截面叫做龐加萊截面。在平面CRTBP中，一般以一維x坐標軸，即y=0作為二維軌道的龐加萊截面，方向定義為y>0的方向。如果一個軌道的流形在龐加萊截面上的投影為有限點，則這個軌道為周期軌道，所投影的點是周期點，周期軌道在周期T內(nèi)滿足：

(6)

周期軌道如果在周期T內(nèi)上穿x軸N次，則為N-周期軌道。

通過龐加萊截面來搜索周期軌道時流形的初始狀態(tài)通常由式(7)得出：

(7)

由于平面CRTBP系統(tǒng)具有沿x軸的對稱性，則搜索出的周期軌道也沿x軸對稱，而t=0時周期軌道在龐加萊截面上的投影點為周期軌道初始點。

1.3 周期軌道穩(wěn)定性判據(jù)

穩(wěn)定周期軌道吸引或者束縛附近的軌道，對周圍的流形長時間捕獲，周圍存在以其周期點為中心的連續(xù)的擬周期軌道，而不穩(wěn)定周期軌道對附近的流形沒有吸引作用，周圍不存在以其周期點為中心的連續(xù)的擬周期軌道。

周期軌道的穩(wěn)定性通常由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣判斷，周期軌道附近的流形可以通過如下線性方程得到：

(8)

定義穩(wěn)定性判據(jù)：

(9)

2 基于改進龐加萊截面圖的周期軌道數(shù)值算法

本文建立了一種改進的龐加萊截面圖，利用改進龐加萊截面圖能夠記錄初始點與其投影點對應(yīng)關(guān)系的特點篩選出周期軌道的候選區(qū)間，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的理論計算出距離周期軌道初始點非常接近的初始猜想值，根據(jù)周期軌道一個周期內(nèi)初始點和終點的誤差來調(diào)整猜想值，通過打靶法得出精度較高的周期軌道數(shù)值解。

2.1 改進龐加萊截面圖

在平面CRTBP系統(tǒng)中，給定雅可比能量，在x軸上均勻選取一系列等間隔的點作為軌道流形的初始位置，以垂直于x軸的速度作為初始速度，則流形初始狀態(tài)由式(7)得出。如果相鄰初始點第N次在龐加萊截面圖上的投影的連線與狀態(tài)分界線x=x0相交，則在該區(qū)間內(nèi)可能存在N-周期軌道初始點。圖1為以地月系統(tǒng)(μ=0.01215,C=3.18)為例的改進龐加萊截面圖，在區(qū)間[0，1]內(nèi)取間隔為0.01的初始點，首次上穿x軸時的投影用紅色圓點標出，通過這些投影點的連線，可知區(qū)間(a,b),(c,d),(e,f),(g,h),(i,j)中可能存在1-周期軌道初始點。

本文研究發(fā)現(xiàn)，初始點搜索間隔由所搜索的周期軌道的周期數(shù)N決定。當N較小時，可以選擇相對較小的間隔點；而當N較大時，由于軌道相流結(jié)構(gòu)的復雜性，在很小的間隔內(nèi)可能存在數(shù)個周期軌道，所以需要選擇較小的間隔才能保證盡可能得到所有的周期軌道初始點。

2.2 周期軌道數(shù)值解法

由于CRTBP對計算初值非常敏感,初始猜想值直接決定了打靶法的迭代次數(shù)。本文利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的理論在經(jīng)篩選的周期軌道區(qū)間內(nèi)，計算出周期軌道初始點的猜想值，由于猜想值與周期軌道初始點數(shù)值上非常接近，所以只需經(jīng)過很少的迭代次數(shù)，就能夠通過打靶法得出精度較高的周期軌道數(shù)值解。

(10)

(11)

寫成如下形式的方程組：

(12)

(13)

進而可得：

(14)

可得出m11，m14的值，再由式(15) 得到初始猜想x0的數(shù)值解：

(15)

當x0不滿足精度時，設(shè)x為周期軌道在x軸上的初始位置，則周期軌道的最終位置仍舊是x,可以根據(jù)式(16)迭代逼近得出周期軌道初始點的解:

(16)

式中：xinitial,xN_initial,xfinal,xN_final分別為前兩步打靶得到的猜想周期軌道在一個周期內(nèi)的初始點和終點(首次迭代時選擇候選區(qū)間中點x2和初始猜想值x0為前兩步猜想周期軌道初始點)，x為調(diào)整后的周期軌道初始點，在迭代過程中根據(jù)式(11)不斷縮小周期軌道區(qū)間，直到得到符合精度的數(shù)值解為止。迭代過程中當猜想值不在可能區(qū)間內(nèi)時，方法失效，這種情況下可以認為是所選定區(qū)間內(nèi)不存在周期軌道初始點。圖1中的篩選出的五個候選區(qū)間有四個區(qū)間內(nèi)存在周期軌道，圖2 (a) , 圖2 (b), 圖2 (c), 圖2(d)分別為初始點在圖1中區(qū)間(a,b),(c,d),(e,f), (i,j)內(nèi)的1-周期軌道，其中圖2(b)為李亞普諾夫(Lyapunov)軌道，而區(qū)間(g,h)內(nèi)不存在周期軌道初始點。

3 數(shù)值驗證

3.1 周期軌道計算

圖3為軌道上穿x軸20次的所有投影點所組成的改進龐加萊截面圖，其中穩(wěn)定周期軌道的投影點用紅色圓圈表示，不穩(wěn)定周期軌道的投影點用綠色‘*’表示。圖4為圖3中穩(wěn)定周期軌道的流形圖，圖4(a), 4(b), 4(c), 4(d), 4(e), 4(f), 4(g), 4(h) , 4(i), 4(j), 4(k), 4(l), 4(m), 4(n), 4(o) , 4(p), 4(q), 4(r), 4(s)分別與圖3中的穩(wěn)定周期軌道a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s相對應(yīng)。穩(wěn)定周期軌道的初始位置和上穿x軸的次數(shù)在表1中列出，其中N表示上穿次數(shù)，x0表示初始位置。通過圖3和圖4可以看出穩(wěn)定周期軌道隨著初始點改變軌道流形演變的趨勢和的分叉情況，如穩(wěn)定周期軌道c,g,n可以被認為是產(chǎn)生分叉的參考軌道，其周圍存在一些形狀相似，周期數(shù)更多的周期軌道族；而不穩(wěn)定周期軌道不存在這種規(guī)律。在固定雅可比能量下，隨著x軸上初始值的增大，周期軌道流形的形狀從遠離地球再回到地球附近的一個過程中，軌跡流形從存在交叉點到弧形逐漸變得平滑。

由于周期軌道沿x軸對稱，在一個周期內(nèi)，當軌道垂直上穿x軸時，在改進龐加萊截面圖上投影一次，而當軌道非垂直上穿x軸時，在改進龐加萊截面圖的同一個投影點上完成兩次投影。周期軌道的周期數(shù)N與其在改進龐加萊截面圖上的投影點具有如下對應(yīng)關(guān)系：

N=2NNO+NO

(17)

式中：NO代表周期軌道垂直上穿x軸的次數(shù)，可以為一次或兩次，NNO為周期軌道非垂直上穿x軸的次數(shù)，可以為任意次數(shù)。

表1 圖4中對應(yīng)的N-周期軌道初始位置Table 1 Initial position of periodic orbits in Fig.4

本文研究發(fā)現(xiàn),周期軌道搜索的有效性與搜索時的采樣區(qū)間有直接關(guān)系。穩(wěn)定周期軌道由于其對周圍軌道的吸引，容易被搜索到；不穩(wěn)定周期軌道對其周圍軌道沒有吸引，具有不確定性。不穩(wěn)定周期軌道的搜索與間隔點的選擇有直接關(guān)系，而當周期軌道上穿x軸次數(shù)越多時其軌道流形可能具有越復雜的結(jié)構(gòu)，所需選擇的間隔點距離越小，也可以認為除了遍歷搜索外任何方法不能保證得到全部周期軌道。

3.2 改進龐加萊截面圖及周期軌道分析

如圖3所示，不同初始點在系統(tǒng)中表現(xiàn)了不同的狀態(tài)，在改進龐加萊截面圖上投影有限點所對應(yīng)的初始點為周期軌道點，周圍的規(guī)則區(qū)域為擬周期軌道區(qū)域，投影點散亂的區(qū)域為混沌區(qū)域。穩(wěn)定周期軌道由于對周圍流形的吸引，周圍存在擬周期軌道。

周期數(shù)較少的周期軌道周圍的擬周期軌道中可能存在新的周期數(shù)較多的周期軌道。在改進龐加萊界面圖中，一些穩(wěn)定周期軌道和不穩(wěn)定周期軌道同處于某一擬周期軌道區(qū)域內(nèi)，具有相似的流形結(jié)構(gòu)，位置相近，不易被區(qū)分。圖3中的不穩(wěn)定周期軌道t和穩(wěn)定周期軌道o均位于穩(wěn)定周期軌道n的擬周期軌道區(qū)域內(nèi)，而通過穩(wěn)定性判據(jù)可以判斷其穩(wěn)定性，將龐加萊截面圖放大，也可以看出不同。圖5(c)對應(yīng)圖3中的穩(wěn)定周期軌道o，圖5 (b)為擬周期軌道w，圖5(a)對應(yīng)圖3中的不穩(wěn)定周期軌道t, 圖5(d)為它們在龐加萊截面圖上相應(yīng)的投影點。圖5 (a)、(b)、(c)均存在于龐加萊截面圖的KAM環(huán)形島嶼中，即都存在于某周期軌道的擬周期范圍內(nèi)。在龐加萊截面圖5(d)上，以點t、o為初始點的軌道在龐加萊截面圖上投影為有限點，以點w為初始點的軌道在龐加萊截面圖上投影為無限個點，所以以點t、o為初始點的軌道為周期軌道，以點w為初始點的軌道為擬周期軌道。其中，點o周圍有自己的KAM環(huán)結(jié)構(gòu)，o位于中心，所以o是穩(wěn)定周期軌道，而t為擬周期軌道中存在的不穩(wěn)定周期軌道。通過特征值和穩(wěn)定性判據(jù)也可以對周期軌道的穩(wěn)定性進行驗證。

在投影點散亂的混沌區(qū)域內(nèi)，探測器通過初始點是否能夠在沒有能量消耗的情況下滑行到月球附近可以通過改進龐加萊截面圖反映出。圖3中，當初始點靠近地球，而投影點出現(xiàn)在月球附近時，代表探測器從靠近地球的一邊出發(fā)，在上穿x軸20次內(nèi)可以進入月球區(qū)域。而滿足條件的不穩(wěn)定周期軌道在繞月球旋轉(zhuǎn)幾周后返回地球區(qū)域完成天體間轉(zhuǎn)移[25]，在地月低能轉(zhuǎn)移軌道的應(yīng)用中具有重要的參考價值。圖6為本文算法搜索到的初始點靠近地球的地月轉(zhuǎn)移周期軌道，其中，左邊紅色圓點代表地球，右邊紅色圓點代表月球，黑色圓環(huán)代表每個周期軌道的初始位置x0。

4 結(jié) 論

本文建立了一種基于改進龐加萊截面圖計算CRTBP問題周期軌道的快速數(shù)值求解方法。該方法在不改變雅可比能量的基礎(chǔ)上，不需要過多的投影次數(shù)，大范圍搜索出與上穿x軸給定次數(shù)內(nèi)的周期軌道，算法迭代次數(shù)少，具有廣泛的應(yīng)用價值。由于CRTBP的對稱性，本文方法所選軌道初值只適用于對稱周期軌道的搜索，得到的周期軌道與采樣間隔有直接關(guān)系，而不穩(wěn)定周期軌道及其周圍的流形具有復雜的結(jié)構(gòu)，尤其當軌道上穿x軸次數(shù)越多時，兩周期軌道之間的間隔可能越小，所以采樣間隔的選取是周期軌道的搜索過程中需要考慮的重要問題。由于本文提出計算周期軌道的方法是基于周期軌道的定義而建立的，并不局限于限制性三體問題下，對于非線性動力學系統(tǒng)具有普遍的適用性。

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(編輯：張宇平)

A Novel Method of Periodic Orbit Computation for Three-Body Problem

ZHENG Yue1,2, PAN Bin-feng1,2,3, TANG Shuo1,2,3

(1. College of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China;2. Shanxi Aerospace Flight Vehicle Design Key Laboratory, Xi’an 710072, China;3. National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics, Xi’an 710072, China)

Current methods of the periodic orbit computation have the disadvantages of requiring large amount of computation, varying the Jacobi energy, and the limitation to calculate the specific periodic orbits, a novel method of the periodic orbit computation is proposed in this paper. Firstly, a modified Poincaré section map is created, on which the projection points from every initial point are plotted and the evolution and fork of the periodic orbits by the initial point could be intuitively reflected. Secondly, based on the modified Poincaré section map, the candidate interval of the periodic orbits are selected by the relationship between the initial points and the projection points. Thirdly, the initial guesses are generated which are quite close to the true solution in the candidate interval computation using the state transition matrix. Finally, the periodic orbits can be rapidly computed numerically by a single shooting method. The proposed method does not need to change the Jacobi energy, requires less iterations for a given value of the Jacobi energy, and enables a large set of periodic orbits withx-axis symmetry. Examples are presented in the Earth-Moon Circular Restricted Three-Body Problem to verify the efficiency and rapidity of this method.

Circular restricted three-body problem; Periodic orbit; Poincaré section; Jacobi energy

2016-11-05;

2017-02-24

國家自然科學基金(11672234)

V

A

1000-1328(2017)04-0384-09

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.04.008

鄭 越(1983-)，女，博士生，主要從事深空探測、軌道設(shè)計等研究。