大氣湍流對平流層星光導(dǎo)航中星光傳輸?shù)挠绊?/h1>
2017-05-18 07:38:41朱雪妍
宇航學(xué)報 2017年4期 關(guān)鍵詞：大氣
楊 博，朱雪妍
(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京100191)
大氣湍流對平流層星光導(dǎo)航中星光傳輸?shù)挠绊?/p>
楊 博，朱雪妍
(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京100191)
以平流層飛行器用星光導(dǎo)航為背景，研究在平流層內(nèi)星光傳輸過程受大氣湍流的影響機(jī)理，揭示平流層中星光的衰減規(guī)律，為建立平流層星光導(dǎo)航星庫以及電耦合器件(CCD)所攝取的星圖補(bǔ)償方法提供理論依據(jù)。研究提出將流場密度和流場密度脈動變化大的區(qū)域劃分為寬度為L的特性截面，并基于幾何光學(xué)法及統(tǒng)計光學(xué)理論分別計算星光穿過各特性截面后產(chǎn)生的光線偏折及平均光強(qiáng)衰減，進(jìn)而推導(dǎo)整個平流層內(nèi)星光傳輸過程中的能量衰減變化曲線。采用基于k-ε雙方程湍流模型的雷諾平均法計算不同極端情況下的大氣湍流場密度及密度脈動分布。通過計算機(jī)數(shù)值仿真表明：星光穿過具有湍流的平流層時將發(fā)生明顯偏折，其偏折程度與流場密度值有關(guān)；同時星光光強(qiáng)衰減，衰減程度與流場密度脈動值有關(guān)。
星光導(dǎo)航；大氣湍流；大氣光學(xué)效應(yīng)；星等
0 引 言
近年來隨著各國航天技術(shù)的飛速發(fā)展，平流層空間的戰(zhàn)略價值越來越受到各國的重視。平流層飛行器因其顯著特點(diǎn)和潛在的軍、民兩用價值而成為各國研究的熱點(diǎn)。平流層飛行器能在平流層內(nèi)長時間運(yùn)行，而不受地面因素限制的自主導(dǎo)航技術(shù)是該領(lǐng)域研究的重要關(guān)鍵技術(shù)之一。
星光導(dǎo)航是一種完全自主的導(dǎo)航技術(shù)，天體的空間運(yùn)動規(guī)律不受人為改變,使其抗干擾能力強(qiáng),具有最完備的可靠性，同時適用范圍廣 ,不受地域、空域和時域的限制,是一種在宇宙空間內(nèi)處處適用的導(dǎo)航技術(shù)[1]。因此，研究平流層自主星光導(dǎo)航技術(shù)有其重要的理論價值和軍事應(yīng)用價值。
星光穿過平流層大氣時會碰到隨機(jī)性很強(qiáng)的大氣湍流，因而在傳輸過程中受到不均勻大氣折射的干擾，衍生出一系列如光束抖動等大氣湍流效應(yīng)，嚴(yán)重影響平流層大氣環(huán)境下星光導(dǎo)航系統(tǒng)的性能以及導(dǎo)航星庫的準(zhǔn)確建立[2-8]。因而研究平流層大氣湍流效應(yīng)對星光傳輸?shù)挠绊憴C(jī)理是實現(xiàn)平流層星光導(dǎo)航技術(shù)的基礎(chǔ)。目前國內(nèi)外均采用不同統(tǒng)計特性的相位屏模擬大氣湍流的方法。該相位屏產(chǎn)生方法分為兩類[9]:一是“功率譜反演法”，是對頻率域間接模擬；二是“Zernike 多項式展開法”，是對空間域的直接模擬。其都是單純的從光學(xué)成像結(jié)果中分析大氣湍流對光線造成的擾動，而無法揭示星光穿過大氣湍流場過程中引起的傳輸誤差和能量衰減變化機(jī)理。
文中對考慮了平流層氣溶膠粒子和水汽等自然環(huán)境條件的大氣湍流進(jìn)行模擬。通過光線追跡法及平均光強(qiáng)推導(dǎo)平流層內(nèi)星光傳輸過程中的能量衰減規(guī)律，深入研究星光在大氣湍流流場中的傳輸特性。
1 平流層大氣湍流場的數(shù)值模擬
在湍流大氣中，折射率隨時間和空間的起伏變化需具備一定的動力學(xué)和熱力學(xué)條件：前者是空氣層中有明顯的風(fēng)速切變；后者則是空氣層有一定的不穩(wěn)定度，其中最有利的是上層空氣溫度低于下層的對流條件[10]。以此為基礎(chǔ)，采用k-ε雙方程湍流模型對考慮氣溶膠粒子和水汽等自然環(huán)境條件的平流層大氣湍流流場進(jìn)行模擬。
雷諾平均方程組為：
(1)
(2)式中
其中，σk=1.0,σε=1.3,c1=1.44,c2=1.92,cμ=0.09，參數(shù)E、F、G、R、S、T、Lk、Lε、Pk的定義詳見文獻(xiàn) [11]。
2 光線追跡法求流場中星光偏折
星光通過折射率變化的湍流大氣時不斷發(fā)生折射，即散射效應(yīng)。采用光線追跡法模擬星光在湍流場中的傳輸路徑，并用星點(diǎn)質(zhì)心的偏移量描述星光在湍流場中傳輸?shù)钠鄢潭取?/p>
2.1 Runge-Kutta法解算星光傳輸方程
由Hamilton光學(xué)中的Lagrange方程整理可得星光光線傳輸方程矢量形式如下：
d(n(r)dr/ds)/ds=▽n(r)
(3)
式中：r=xi+yj+zk,為光線上某點(diǎn)的位置坐標(biāo)，n(r)為折射率分布，ds為沿光線的弧元。
為便于積分，作如下定義：
由此將式(3)整合為：
(4)
定義三個矩陣:
將式(4)寫成矩陣形式為：
d2R/dt2=D(R)
(5)
式中:D(R) 為位置矢量R的矢量函數(shù)，給定R0(x0,y0,z0)及T0(T0x,T0y,T0z)。根據(jù)Runge-Kutta方法進(jìn)行數(shù)值積分，得到追跡光線通過媒介的計算式為[12]：
(6)
式中：
其中，Δt是t的增量，其值由折射率分布及精度要求確定。
2.2 流場中星光傳輸?shù)钠塾嬎?/p>
根據(jù)Gladstone-Dale定律，介質(zhì)的密度ρ與折射率n的關(guān)系為：
(7)
式中：ρ是氣體密度，ρ0是標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的氣體密度，KGD為空氣折射率的Gladstone-Dale系數(shù)，簡稱G-D系數(shù)。由經(jīng)驗式獲得：
(8)
式中：λ為光波波長，單位μm；KGD的單位為cm3/g。
通過式(8)將流場的密度分布轉(zhuǎn)換為折射率分布，用于研究星光在流場介質(zhì)中的傳輸。
光波在流場中傳輸?shù)奈恢藐P(guān)系如圖1所示，假設(shè)光軸(法線)方向是垂直于探測窗口平面的負(fù)向，nij表示劃分網(wǎng)格后的湍流密度場第i行第j列方格內(nèi)的流體折射率，d為網(wǎng)格單元大小。
圖1中，設(shè)光線初始入射角為θ0，折射節(jié)點(diǎn)2、3之間折射率為n11，光線通過節(jié)點(diǎn)2后折射角為θ1，第i行j列的方格內(nèi)折射率為nij；當(dāng)?shù)趉次折射時對應(yīng)折射角為θk，設(shè)第k個折變點(diǎn)對應(yīng)坐標(biāo)為(X,Z)。令ΔXk表示光線平移量(X軸偏差量)，即ΔXk=Xk-Xk-1。
在光線折射點(diǎn)k處，由Snell折射定律得到關(guān)系式：
(9)
令∑kΔXk表示光線的總偏移量。由圖1三角關(guān)系易得：
M=d(∑kΔXk-ld)/ΔXk
(10)
式中：M、d見圖1。
對式(9)修正得光線的總偏移量為：
(11)
由式(11)可得到星光穿過湍流流場后總的星點(diǎn)質(zhì)心偏移量,即總的偏折程度。
3 統(tǒng)計光學(xué)法求湍流中星光能耗
星光通過湍流大氣時由于散射效應(yīng)能量被嚴(yán)重衰減，致使導(dǎo)航星等降低。在湍流流場中密度變化較劇烈的層間邊界處取一定厚度為L的截面，利用統(tǒng)計光學(xué)理論計算各截面上的平均光強(qiáng)分布和Strehl比，由此獲得星光在大氣湍流流場傳輸過程中能量衰減規(guī)律。
3.1 流場截面上的平均光強(qiáng)推導(dǎo)
根據(jù)推廣惠更斯-菲涅耳原理，計算星光在L厚度截面湍流場傳輸過程中的平均光強(qiáng)。設(shè)進(jìn)入湍流內(nèi)該截面之前的光場為u0(ρ)，經(jīng)過湍流中該截面?zhèn)鬏敽蟮墓鈭鰑N(r)，經(jīng)坐標(biāo)變換，ρ1-ρ2=ρ，ρ1+ρ2=2R，推導(dǎo)平均光強(qiáng)[13]為：
(12)
假設(shè)初始光場為聚焦的高斯光束：
(13)
O為光束截面上光強(qiáng)降為中心值的e-1時的光束半徑。將式(13)代入式(12)后對R積分，并利用平方近似對積分結(jié)果再次積分得到平均光強(qiáng)為：
=
(14)
式中：ρ0=0.48r0。
3.2 流場截面上的星光Strehl比計算
Strehl比是研究湍流流場降晰效應(yīng)的重要參數(shù)。用星光通過流場中L厚度截面時的Strehl比來衡量該流場截面造成的星光能量損失程度。由統(tǒng)計光學(xué)理論知Strehl比(式中用S表示)用光學(xué)傳遞函數(shù)可表示為[14]：
(15)
式中：I為星光通過流場傳輸?shù)南衿矫孀畲蠊鈴?qiáng)，I0為初始像平面最大光強(qiáng)；τ(x,y)為光學(xué)傳遞函數(shù)。
由式(15)可得到Strehl比的一階矩(即均方光強(qiáng)比)為:
(16)
式中：設(shè)τ的脈動完全相關(guān)。<τ(x,y)>為均方光學(xué)傳遞函數(shù)：
(17)
將式(17)代入式(16) 得：
=
(18)
根據(jù)波面誤差方法[6]推得Strehl比為：
(19)
(20)
將式(20)代入式(19)即可得到該流場截面上的星光Strehl比。
4 數(shù)值仿真與結(jié)果分析
仿真條件：星敏感器光學(xué)系統(tǒng)口徑=40mm；焦距=48.6mm；視場角=15°。電耦合器件(Charge coupled device,CCD)陣列取512×512，像元尺寸為25μm；星圖取512×512的灰度圖形。將流場數(shù)據(jù)在X-Y平面內(nèi)由56mm×56mm插值為512×512與像素點(diǎn)陣匹配。設(shè)星光入射角為90°(即星光導(dǎo)航最優(yōu)星光入射角度)，對星光穿過湍流流場的偏折及光強(qiáng)衰減情況進(jìn)行仿真。
4.1 平流層大氣湍流流場模擬
根據(jù)式(2)及其參數(shù)設(shè)定，基于Fluent仿真軟件對海面上空水蒸氣體積分?jǐn)?shù)為0.2時和活火山上空氣溶膠體積密度為2μm3/cm3時兩種極度環(huán)境下的大氣湍流進(jìn)行數(shù)值模擬。
氣體立方體模型邊長為0.5m，對其底面加熱對流條件。并取該模型底部56mm×56mm×160mm密度變化較為劇烈的湍流場區(qū)域進(jìn)行研究。該區(qū)域的密度分布仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。
對比圖2(a)和圖3(a)可以看出,活火山上空湍流現(xiàn)象比較明顯，海平面上空次之，其原因是氣溶膠含量較多的大氣密度大且黏稠。從湍流流場的密度脈動計算結(jié)果(圖2(b)和圖3(b))可以看出，隨著局部氣體黏滯性和密度的增大，相對周邊湍流密度脈動程度加劇，活火山上空大氣湍流脈動值遠(yuǎn)高于海平面上空大氣湍流脈動值。
4.2 海平面上空大氣湍流對星光過程的影響
在圖2(a)、(b)中選取密度值變化較大的8個截面，其分別取在距星光入射平面0.03m、0.05m、0.07m、0.09m、0.11m、0.12m、0.14m處和出射面。
4.2.1 星光偏折仿真
根據(jù)式(11)計算44顆導(dǎo)航星的星光通過上述8個截面后的偏折程度，并用星點(diǎn)質(zhì)心偏移進(jìn)行描述，見圖4。其中第4顆、第6顆以及第7顆星點(diǎn)的質(zhì)心偏移最大，分別為0.0005154m、0.0005166m和0.0005113m。其原因是這三顆星的星光經(jīng)過了0.16m處的湍流強(qiáng)度較大的大氣，使得光線偏折現(xiàn)象尤為嚴(yán)重?？梢约僭O(shè)若星光穿過海平面上空40km厚的平流層，并且所經(jīng)過區(qū)域均為湍流強(qiáng)度較大區(qū)域，其最大傳輸偏折可達(dá)到129.15m。
4.2.2 星光平均光強(qiáng)衰減仿真
在圖4中選出1～12號星,設(shè)其光線分別通過海平面上空流場區(qū)域中的各截面, 根據(jù)式(14) 計算截面上的平均光強(qiáng),得到流場區(qū)域中平均光強(qiáng)衰減曲線,如圖5所示。
由圖5可知，星光在0.03m和0.09m截面上的平均光強(qiáng)出現(xiàn)劇烈衰減。結(jié)合圖2(b)密度脈動場可以看出，這兩處的密度脈動值均有劇烈增加，分析認(rèn)為：湍流密度變化較大(密度脈動大)時，通過該湍流區(qū)域的星光能量快速衰減。
4.2.3 星光偏折及Strehl比的綜合評價仿真
設(shè)KGD=2.2×10-4,根據(jù)式(6)、(11)和(19)，對圖4中的3號及6號星進(jìn)行偏折和光強(qiáng)衰減的綜合仿真，結(jié)果見圖6。從圖6可以看出，星光穿過流場中的各截面時產(chǎn)生的偏折及其Strehl比值。對照圖2(a)、(b)可知，3號星光傳輸經(jīng)過的流場區(qū)域密度脈動較大，Strehl比較小，即光強(qiáng)衰減較大。從原始的平均光強(qiáng)度1.17×1021Cd照度，衰減降晰至0.145×1021Cd照度，星等降低了2.2等。而圖6中的6號星的傳輸流場區(qū)域密度脈動較小，Strehl比較3號星要大的多，說明光強(qiáng)衰減較小。
圖7是將原始星點(diǎn)圖及穿過湍流流場降息后的星點(diǎn)圖整合，下方兩小圖中位置偏左且直徑較大的星點(diǎn)為原始星點(diǎn)，位置偏右且直徑較小的星點(diǎn)為降晰星點(diǎn)。由圖7可知，3號星較6號星暗(見右上角圖)，而6號星較3號星的星點(diǎn)偏移大(見下方兩圖)。
4.3 活火山上空大氣湍流對星光過程的影響
在圖3(a)、(b)中選取密度值變化較大的6個截面，其分別取在距星光入射平面0.02m、0.04m、0.10m、0.12m、0.14m處和出射面。
4.3.1 星光偏折仿真
與第4.2.1節(jié)同理。計算44顆導(dǎo)航星的星光通過活火山上空流場區(qū)域的偏折程度，如圖8所示。
由圖8可知，星光經(jīng)過0.16m厚度的氣溶膠濃度大的湍流區(qū)域時，星點(diǎn)最大質(zhì)心偏移量可達(dá)到0.005452m。若星光穿過40km厚的平流層，假設(shè)所經(jīng)區(qū)域均為氣溶膠湍流區(qū)域，其最大的傳輸偏折可達(dá)1.36km。遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于海平面上空水蒸氣湍流對星光傳輸造成的偏折。
4.3.2 星光平均光強(qiáng)衰減仿真
在圖8中選取12顆星，設(shè)其光線通過活火山上空流場區(qū)域中的各截面,獲得星光穿過流場的平均光強(qiáng)衰減曲線,如圖9所示。
由圖9可知，星光通過活火山上空大氣湍流流場時，其能量有較大程度的衰減。結(jié)合圖3(b)密度脈動場分布可知，同樣發(fā)現(xiàn)星光穿過湍流流場區(qū)域的密度脈動越大，其能量衰減越嚴(yán)重。最大衰減程度可由原始1.17×1021Cd照度衰減降晰至0.106×1021Cd照度。相當(dāng)于星等降低2.7等。
4.3.3 星光偏折及Strehl比的綜合評價仿真
同第4.2.3節(jié)原理，對圖8中的3號及5號星進(jìn)行偏折和光強(qiáng)衰減的綜合仿真，如圖10所示。
對比圖3(a)和圖3 (b)可知，3號星所穿過的湍流流場區(qū)域不但密度值大，而且密度脈動也大，故導(dǎo)致其星光偏折和能量損耗均較大，在圖10和圖11中均可以看到。
5 結(jié) 論
本文研究了在平流層大氣湍流流場中星光傳輸機(jī)理的模擬仿真方法，主要結(jié)論如下：
1)研究平流層環(huán)境特性對星光傳輸?shù)挠绊憴C(jī)理，對平流層內(nèi)飛行器星光導(dǎo)航建立導(dǎo)航星庫是必須的。
2)用湍流流場中密度變化明顯的多個截面上的星光偏折和平均光強(qiáng)統(tǒng)計描述星光傳輸過程中受大氣的影響規(guī)律是全面和可行的。
3)星光穿過湍流區(qū)域后，星點(diǎn)質(zhì)心發(fā)生明顯偏移(即星光偏折)，其偏移程度與湍流流場的密度值有關(guān)，經(jīng)過高密度的湍流區(qū)域越多，累積的星點(diǎn)質(zhì)心偏移越大。若星光穿過40km厚平流層時，最大偏折可達(dá)到1.36km。
4)星光穿過湍流流場區(qū)域后，其亮度明顯衰減，即星光光強(qiáng)衰減。其衰減程度與湍流流場密度脈動值有關(guān)，密度脈動值越大，星光光強(qiáng)衰減越嚴(yán)重。最嚴(yán)重情況可使星等降低2.7等。
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朱雪妍(1990-)，女，碩士，主要從事大氣湍流對平流層星光導(dǎo)航中星光傳輸?shù)挠绊懷芯俊１疚耐ㄐ抛髡摺?/p>
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(編輯：牛苗苗)
Influence of Atmospheric Turbulence on Starlight Transmission During Satellite Celestial Navigation in Stratosphere
YANG Bo, ZHU Xue-yan
(School of Astronautics, Beihang University, Beijing 100191, China)
Based on the satellite celestial navigation, this paper studies the mechanism of the starlight transmission in atmospheric turbulence in the stratosphere, reveals the attenuation law of the starlight during transmission, and provides the theoretical basis for establishing the navigation star database and the compensation algorithm of a charge coupled device (CCD) star map. Segments with a certain thickness is proposed by intercepting the sections at the boundary of which the density and density fluctuation of the turbulent field has changed seriously. At the mean time the deflection and average intensity of the starlight after transferring through each section is calculated respectively according to the geometrical optic method and the statistical optic theory, and then the energy attenuation curve of the starlight during transmission through the whole stratosphere is derived either. Thek-εturbulencemodelisadoptedtosimulatethedensityanddensityfluctuationfieldoftheatmosphericturbulenceindifferentextremenaturalcases.Theresultsofthesimulationshowthatthestarlightwillbedeflectedobviouslyandthestarlightintensitywilldecayaftertravelingthroughthestratospherewithturbulence,whereitsdeflectionandattenuationarerelatedtothedensityandthedensityfluctuationoftheturbulence,respectively.
Satellite celestial navigation; Atmospheric turbulence; Atmospheric optical effects; Magnitude
2014-04-25;
2014-06-25
國家自然科學(xué)基金(61074183)；國家自然科學(xué)重點(diǎn)基金(91016004)
V
A
1000-1328(2017)04-0359-08
10.3873/j.issn.1000-1328.2017.04.005
楊 博(1960-)，女，博士，副教授，主要從事飛行器制導(dǎo)技術(shù)、航天器自主導(dǎo)航、深空探測自主導(dǎo)航制導(dǎo)及可重復(fù)運(yùn)載器制導(dǎo)技術(shù)的研究。
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楊 博，朱雪妍
(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京100191)
大氣湍流對平流層星光導(dǎo)航中星光傳輸?shù)挠绊?/p>
楊 博，朱雪妍
(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京100191)
以平流層飛行器用星光導(dǎo)航為背景，研究在平流層內(nèi)星光傳輸過程受大氣湍流的影響機(jī)理，揭示平流層中星光的衰減規(guī)律，為建立平流層星光導(dǎo)航星庫以及電耦合器件(CCD)所攝取的星圖補(bǔ)償方法提供理論依據(jù)。研究提出將流場密度和流場密度脈動變化大的區(qū)域劃分為寬度為L的特性截面，并基于幾何光學(xué)法及統(tǒng)計光學(xué)理論分別計算星光穿過各特性截面后產(chǎn)生的光線偏折及平均光強(qiáng)衰減，進(jìn)而推導(dǎo)整個平流層內(nèi)星光傳輸過程中的能量衰減變化曲線。采用基于k-ε雙方程湍流模型的雷諾平均法計算不同極端情況下的大氣湍流場密度及密度脈動分布。通過計算機(jī)數(shù)值仿真表明：星光穿過具有湍流的平流層時將發(fā)生明顯偏折，其偏折程度與流場密度值有關(guān)；同時星光光強(qiáng)衰減，衰減程度與流場密度脈動值有關(guān)。
星光導(dǎo)航；大氣湍流；大氣光學(xué)效應(yīng)；星等
0 引 言
近年來隨著各國航天技術(shù)的飛速發(fā)展，平流層空間的戰(zhàn)略價值越來越受到各國的重視。平流層飛行器因其顯著特點(diǎn)和潛在的軍、民兩用價值而成為各國研究的熱點(diǎn)。平流層飛行器能在平流層內(nèi)長時間運(yùn)行，而不受地面因素限制的自主導(dǎo)航技術(shù)是該領(lǐng)域研究的重要關(guān)鍵技術(shù)之一。
星光導(dǎo)航是一種完全自主的導(dǎo)航技術(shù)，天體的空間運(yùn)動規(guī)律不受人為改變,使其抗干擾能力強(qiáng),具有最完備的可靠性，同時適用范圍廣 ,不受地域、空域和時域的限制,是一種在宇宙空間內(nèi)處處適用的導(dǎo)航技術(shù)[1]。因此，研究平流層自主星光導(dǎo)航技術(shù)有其重要的理論價值和軍事應(yīng)用價值。
星光穿過平流層大氣時會碰到隨機(jī)性很強(qiáng)的大氣湍流，因而在傳輸過程中受到不均勻大氣折射的干擾，衍生出一系列如光束抖動等大氣湍流效應(yīng)，嚴(yán)重影響平流層大氣環(huán)境下星光導(dǎo)航系統(tǒng)的性能以及導(dǎo)航星庫的準(zhǔn)確建立[2-8]。因而研究平流層大氣湍流效應(yīng)對星光傳輸?shù)挠绊憴C(jī)理是實現(xiàn)平流層星光導(dǎo)航技術(shù)的基礎(chǔ)。目前國內(nèi)外均采用不同統(tǒng)計特性的相位屏模擬大氣湍流的方法。該相位屏產(chǎn)生方法分為兩類[9]:一是“功率譜反演法”，是對頻率域間接模擬；二是“Zernike 多項式展開法”，是對空間域的直接模擬。其都是單純的從光學(xué)成像結(jié)果中分析大氣湍流對光線造成的擾動，而無法揭示星光穿過大氣湍流場過程中引起的傳輸誤差和能量衰減變化機(jī)理。
文中對考慮了平流層氣溶膠粒子和水汽等自然環(huán)境條件的大氣湍流進(jìn)行模擬。通過光線追跡法及平均光強(qiáng)推導(dǎo)平流層內(nèi)星光傳輸過程中的能量衰減規(guī)律，深入研究星光在大氣湍流流場中的傳輸特性。
1 平流層大氣湍流場的數(shù)值模擬
在湍流大氣中，折射率隨時間和空間的起伏變化需具備一定的動力學(xué)和熱力學(xué)條件：前者是空氣層中有明顯的風(fēng)速切變；后者則是空氣層有一定的不穩(wěn)定度，其中最有利的是上層空氣溫度低于下層的對流條件[10]。以此為基礎(chǔ)，采用k-ε雙方程湍流模型對考慮氣溶膠粒子和水汽等自然環(huán)境條件的平流層大氣湍流流場進(jìn)行模擬。
雷諾平均方程組為：
(1)
(2)式中
其中，σk=1.0,σε=1.3,c1=1.44,c2=1.92,cμ=0.09，參數(shù)E、F、G、R、S、T、Lk、Lε、Pk的定義詳見文獻(xiàn) [11]。
2 光線追跡法求流場中星光偏折
星光通過折射率變化的湍流大氣時不斷發(fā)生折射，即散射效應(yīng)。采用光線追跡法模擬星光在湍流場中的傳輸路徑，并用星點(diǎn)質(zhì)心的偏移量描述星光在湍流場中傳輸?shù)钠鄢潭取?/p>
2.1 Runge-Kutta法解算星光傳輸方程
由Hamilton光學(xué)中的Lagrange方程整理可得星光光線傳輸方程矢量形式如下：
d(n(r)dr/ds)/ds=▽n(r)
(3)
式中：r=xi+yj+zk,為光線上某點(diǎn)的位置坐標(biāo)，n(r)為折射率分布，ds為沿光線的弧元。
為便于積分，作如下定義：
由此將式(3)整合為：
(4)
定義三個矩陣:
將式(4)寫成矩陣形式為：
d2R/dt2=D(R)
(5)
式中:D(R) 為位置矢量R的矢量函數(shù)，給定R0(x0,y0,z0)及T0(T0x,T0y,T0z)。根據(jù)Runge-Kutta方法進(jìn)行數(shù)值積分，得到追跡光線通過媒介的計算式為[12]：
(6)
式中：
其中，Δt是t的增量，其值由折射率分布及精度要求確定。
2.2 流場中星光傳輸?shù)钠塾嬎?/p>
根據(jù)Gladstone-Dale定律，介質(zhì)的密度ρ與折射率n的關(guān)系為：
(7)
式中：ρ是氣體密度，ρ0是標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的氣體密度，KGD為空氣折射率的Gladstone-Dale系數(shù)，簡稱G-D系數(shù)。由經(jīng)驗式獲得：
(8)
式中：λ為光波波長，單位μm；KGD的單位為cm3/g。
通過式(8)將流場的密度分布轉(zhuǎn)換為折射率分布，用于研究星光在流場介質(zhì)中的傳輸。
光波在流場中傳輸?shù)奈恢藐P(guān)系如圖1所示，假設(shè)光軸(法線)方向是垂直于探測窗口平面的負(fù)向，nij表示劃分網(wǎng)格后的湍流密度場第i行第j列方格內(nèi)的流體折射率，d為網(wǎng)格單元大小。
圖1中，設(shè)光線初始入射角為θ0，折射節(jié)點(diǎn)2、3之間折射率為n11，光線通過節(jié)點(diǎn)2后折射角為θ1，第i行j列的方格內(nèi)折射率為nij；當(dāng)?shù)趉次折射時對應(yīng)折射角為θk，設(shè)第k個折變點(diǎn)對應(yīng)坐標(biāo)為(X,Z)。令ΔXk表示光線平移量(X軸偏差量)，即ΔXk=Xk-Xk-1。
在光線折射點(diǎn)k處，由Snell折射定律得到關(guān)系式：
(9)
令∑kΔXk表示光線的總偏移量。由圖1三角關(guān)系易得：
M=d(∑kΔXk-ld)/ΔXk
(10)
式中：M、d見圖1。
對式(9)修正得光線的總偏移量為：
(11)
由式(11)可得到星光穿過湍流流場后總的星點(diǎn)質(zhì)心偏移量,即總的偏折程度。
3 統(tǒng)計光學(xué)法求湍流中星光能耗
星光通過湍流大氣時由于散射效應(yīng)能量被嚴(yán)重衰減，致使導(dǎo)航星等降低。在湍流流場中密度變化較劇烈的層間邊界處取一定厚度為L的截面，利用統(tǒng)計光學(xué)理論計算各截面上的平均光強(qiáng)分布和Strehl比，由此獲得星光在大氣湍流流場傳輸過程中能量衰減規(guī)律。
3.1 流場截面上的平均光強(qiáng)推導(dǎo)
根據(jù)推廣惠更斯-菲涅耳原理，計算星光在L厚度截面湍流場傳輸過程中的平均光強(qiáng)。設(shè)進(jìn)入湍流內(nèi)該截面之前的光場為u0(ρ)，經(jīng)過湍流中該截面?zhèn)鬏敽蟮墓鈭鰑N(r)，經(jīng)坐標(biāo)變換，ρ1-ρ2=ρ，ρ1+ρ2=2R，推導(dǎo)平均光強(qiáng)
(12)
假設(shè)初始光場為聚焦的高斯光束：
(13)
O為光束截面上光強(qiáng)降為中心值的e-1時的光束半徑。將式(13)代入式(12)后對R積分，并利用平方近似對積分結(jié)果再次積分得到平均光強(qiáng)為：
(14)
式中：ρ0=0.48r0。
3.2 流場截面上的星光Strehl比計算
Strehl比是研究湍流流場降晰效應(yīng)的重要參數(shù)。用星光通過流場中L厚度截面時的Strehl比來衡量該流場截面造成的星光能量損失程度。由統(tǒng)計光學(xué)理論知Strehl比(式中用S表示)用光學(xué)傳遞函數(shù)可表示為[14]：
(15)
式中：I為星光通過流場傳輸?shù)南衿矫孀畲蠊鈴?qiáng)，I0為初始像平面最大光強(qiáng)；τ(x,y)為光學(xué)傳遞函數(shù)。
由式(15)可得到Strehl比的一階矩(即均方光強(qiáng)比)為:
(16)
式中：設(shè)τ的脈動完全相關(guān)。<τ(x,y)>為均方光學(xué)傳遞函數(shù)：
(17)
將式(17)代入式(16) 得：
=
(18)
根據(jù)波面誤差方法[6]推得Strehl比為：
(19)
(20)
將式(20)代入式(19)即可得到該流場截面上的星光Strehl比。
4 數(shù)值仿真與結(jié)果分析
仿真條件：星敏感器光學(xué)系統(tǒng)口徑=40mm；焦距=48.6mm；視場角=15°。電耦合器件(Charge coupled device,CCD)陣列取512×512，像元尺寸為25μm；星圖取512×512的灰度圖形。將流場數(shù)據(jù)在X-Y平面內(nèi)由56mm×56mm插值為512×512與像素點(diǎn)陣匹配。設(shè)星光入射角為90°(即星光導(dǎo)航最優(yōu)星光入射角度)，對星光穿過湍流流場的偏折及光強(qiáng)衰減情況進(jìn)行仿真。
4.1 平流層大氣湍流流場模擬
根據(jù)式(2)及其參數(shù)設(shè)定，基于Fluent仿真軟件對海面上空水蒸氣體積分?jǐn)?shù)為0.2時和活火山上空氣溶膠體積密度為2μm3/cm3時兩種極度環(huán)境下的大氣湍流進(jìn)行數(shù)值模擬。
氣體立方體模型邊長為0.5m，對其底面加熱對流條件。并取該模型底部56mm×56mm×160mm密度變化較為劇烈的湍流場區(qū)域進(jìn)行研究。該區(qū)域的密度分布仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。
對比圖2(a)和圖3(a)可以看出,活火山上空湍流現(xiàn)象比較明顯，海平面上空次之，其原因是氣溶膠含量較多的大氣密度大且黏稠。從湍流流場的密度脈動計算結(jié)果(圖2(b)和圖3(b))可以看出，隨著局部氣體黏滯性和密度的增大，相對周邊湍流密度脈動程度加劇，活火山上空大氣湍流脈動值遠(yuǎn)高于海平面上空大氣湍流脈動值。
4.2 海平面上空大氣湍流對星光過程的影響
在圖2(a)、(b)中選取密度值變化較大的8個截面，其分別取在距星光入射平面0.03m、0.05m、0.07m、0.09m、0.11m、0.12m、0.14m處和出射面。
4.2.1 星光偏折仿真
根據(jù)式(11)計算44顆導(dǎo)航星的星光通過上述8個截面后的偏折程度，并用星點(diǎn)質(zhì)心偏移進(jìn)行描述，見圖4。其中第4顆、第6顆以及第7顆星點(diǎn)的質(zhì)心偏移最大，分別為0.0005154m、0.0005166m和0.0005113m。其原因是這三顆星的星光經(jīng)過了0.16m處的湍流強(qiáng)度較大的大氣，使得光線偏折現(xiàn)象尤為嚴(yán)重?？梢约僭O(shè)若星光穿過海平面上空40km厚的平流層，并且所經(jīng)過區(qū)域均為湍流強(qiáng)度較大區(qū)域，其最大傳輸偏折可達(dá)到129.15m。
4.2.2 星光平均光強(qiáng)衰減仿真
在圖4中選出1～12號星,設(shè)其光線分別通過海平面上空流場區(qū)域中的各截面, 根據(jù)式(14) 計算截面上的平均光強(qiáng),得到流場區(qū)域中平均光強(qiáng)衰減曲線,如圖5所示。
由圖5可知，星光在0.03m和0.09m截面上的平均光強(qiáng)出現(xiàn)劇烈衰減。結(jié)合圖2(b)密度脈動場可以看出，這兩處的密度脈動值均有劇烈增加，分析認(rèn)為：湍流密度變化較大(密度脈動大)時，通過該湍流區(qū)域的星光能量快速衰減。
4.2.3 星光偏折及Strehl比的綜合評價仿真
設(shè)KGD=2.2×10-4,根據(jù)式(6)、(11)和(19)，對圖4中的3號及6號星進(jìn)行偏折和光強(qiáng)衰減的綜合仿真，結(jié)果見圖6。從圖6可以看出，星光穿過流場中的各截面時產(chǎn)生的偏折及其Strehl比值。對照圖2(a)、(b)可知，3號星光傳輸經(jīng)過的流場區(qū)域密度脈動較大，Strehl比較小，即光強(qiáng)衰減較大。從原始的平均光強(qiáng)度1.17×1021Cd照度，衰減降晰至0.145×1021Cd照度，星等降低了2.2等。而圖6中的6號星的傳輸流場區(qū)域密度脈動較小，Strehl比較3號星要大的多，說明光強(qiáng)衰減較小。
圖7是將原始星點(diǎn)圖及穿過湍流流場降息后的星點(diǎn)圖整合，下方兩小圖中位置偏左且直徑較大的星點(diǎn)為原始星點(diǎn)，位置偏右且直徑較小的星點(diǎn)為降晰星點(diǎn)。由圖7可知，3號星較6號星暗(見右上角圖)，而6號星較3號星的星點(diǎn)偏移大(見下方兩圖)。
4.3 活火山上空大氣湍流對星光過程的影響
在圖3(a)、(b)中選取密度值變化較大的6個截面，其分別取在距星光入射平面0.02m、0.04m、0.10m、0.12m、0.14m處和出射面。
4.3.1 星光偏折仿真
與第4.2.1節(jié)同理。計算44顆導(dǎo)航星的星光通過活火山上空流場區(qū)域的偏折程度，如圖8所示。
由圖8可知，星光經(jīng)過0.16m厚度的氣溶膠濃度大的湍流區(qū)域時，星點(diǎn)最大質(zhì)心偏移量可達(dá)到0.005452m。若星光穿過40km厚的平流層，假設(shè)所經(jīng)區(qū)域均為氣溶膠湍流區(qū)域，其最大的傳輸偏折可達(dá)1.36km。遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于海平面上空水蒸氣湍流對星光傳輸造成的偏折。
4.3.2 星光平均光強(qiáng)衰減仿真
在圖8中選取12顆星，設(shè)其光線通過活火山上空流場區(qū)域中的各截面,獲得星光穿過流場的平均光強(qiáng)衰減曲線,如圖9所示。
由圖9可知，星光通過活火山上空大氣湍流流場時，其能量有較大程度的衰減。結(jié)合圖3(b)密度脈動場分布可知，同樣發(fā)現(xiàn)星光穿過湍流流場區(qū)域的密度脈動越大，其能量衰減越嚴(yán)重。最大衰減程度可由原始1.17×1021Cd照度衰減降晰至0.106×1021Cd照度。相當(dāng)于星等降低2.7等。
4.3.3 星光偏折及Strehl比的綜合評價仿真
同第4.2.3節(jié)原理，對圖8中的3號及5號星進(jìn)行偏折和光強(qiáng)衰減的綜合仿真，如圖10所示。
對比圖3(a)和圖3 (b)可知，3號星所穿過的湍流流場區(qū)域不但密度值大，而且密度脈動也大，故導(dǎo)致其星光偏折和能量損耗均較大，在圖10和圖11中均可以看到。
5 結(jié) 論
本文研究了在平流層大氣湍流流場中星光傳輸機(jī)理的模擬仿真方法，主要結(jié)論如下：
1)研究平流層環(huán)境特性對星光傳輸?shù)挠绊憴C(jī)理，對平流層內(nèi)飛行器星光導(dǎo)航建立導(dǎo)航星庫是必須的。
2)用湍流流場中密度變化明顯的多個截面上的星光偏折和平均光強(qiáng)統(tǒng)計描述星光傳輸過程中受大氣的影響規(guī)律是全面和可行的。
3)星光穿過湍流區(qū)域后，星點(diǎn)質(zhì)心發(fā)生明顯偏移(即星光偏折)，其偏移程度與湍流流場的密度值有關(guān)，經(jīng)過高密度的湍流區(qū)域越多，累積的星點(diǎn)質(zhì)心偏移越大。若星光穿過40km厚平流層時，最大偏折可達(dá)到1.36km。
4)星光穿過湍流流場區(qū)域后，其亮度明顯衰減，即星光光強(qiáng)衰減。其衰減程度與湍流流場密度脈動值有關(guān)，密度脈動值越大，星光光強(qiáng)衰減越嚴(yán)重。最嚴(yán)重情況可使星等降低2.7等。
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朱雪妍(1990-)，女，碩士，主要從事大氣湍流對平流層星光導(dǎo)航中星光傳輸?shù)挠绊懷芯俊１疚耐ㄐ抛髡摺?/p>
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(編輯：牛苗苗)
Influence of Atmospheric Turbulence on Starlight Transmission During Satellite Celestial Navigation in Stratosphere
YANG Bo, ZHU Xue-yan
(School of Astronautics, Beihang University, Beijing 100191, China)
Based on the satellite celestial navigation, this paper studies the mechanism of the starlight transmission in atmospheric turbulence in the stratosphere, reveals the attenuation law of the starlight during transmission, and provides the theoretical basis for establishing the navigation star database and the compensation algorithm of a charge coupled device (CCD) star map. Segments with a certain thickness is proposed by intercepting the sections at the boundary of which the density and density fluctuation of the turbulent field has changed seriously. At the mean time the deflection and average intensity of the starlight after transferring through each section is calculated respectively according to the geometrical optic method and the statistical optic theory, and then the energy attenuation curve of the starlight during transmission through the whole stratosphere is derived either. Thek-εturbulencemodelisadoptedtosimulatethedensityanddensityfluctuationfieldoftheatmosphericturbulenceindifferentextremenaturalcases.Theresultsofthesimulationshowthatthestarlightwillbedeflectedobviouslyandthestarlightintensitywilldecayaftertravelingthroughthestratospherewithturbulence,whereitsdeflectionandattenuationarerelatedtothedensityandthedensityfluctuationoftheturbulence,respectively.
Satellite celestial navigation; Atmospheric turbulence; Atmospheric optical effects; Magnitude
2014-04-25;
2014-06-25
國家自然科學(xué)基金(61074183)；國家自然科學(xué)重點(diǎn)基金(91016004)
V
A
1000-1328(2017)04-0359-08
10.3873/j.issn.1000-1328.2017.04.005
楊 博(1960-)，女，博士，副教授，主要從事飛行器制導(dǎo)技術(shù)、航天器自主導(dǎo)航、深空探測自主導(dǎo)航制導(dǎo)及可重復(fù)運(yùn)載器制導(dǎo)技術(shù)的研究。
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