多元線性回歸方法在地面沉降量預(yù)測(cè)中的解析及應(yīng)用

王 琰，呂 航，谷復(fù)光*

(1.吉林建筑大學(xué)測(cè)繪與勘查工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130118；2.吉林大學(xué)新能源與環(huán)境學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130021)

隨著工業(yè)發(fā)展和城市化進(jìn)程的逐步推進(jìn)，地面沉降在全世界范圍內(nèi)普遍發(fā)生，引發(fā)了建筑物開裂破壞、城市內(nèi)澇、防潮抗洪能力降低等各種災(zāi)害。經(jīng)過眾多學(xué)者多年來(lái)的監(jiān)測(cè)、分析與模擬研究，認(rèn)為地下水開采是引發(fā)大面積地面沉降的主要原因，特別是在第四紀(jì)松散沉積層分布的地區(qū)，由地下水水位急劇、廣泛下降引起的地面沉降問題日趨嚴(yán)重。如何基于描述地下水流場(chǎng)的變化，確立準(zhǔn)確、高效的地面沉降計(jì)算和預(yù)測(cè)方法，對(duì)于控制地面沉降的發(fā)展至關(guān)重要。

國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者基于各地區(qū)水文地質(zhì)條件以及地下水水位和地面沉降量的動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)結(jié)果，提出了一些地下水開采引起地面沉降的預(yù)測(cè)方法，主要包括數(shù)值計(jì)算法和數(shù)理統(tǒng)計(jì)法兩大類。數(shù)值計(jì)算法主要有兩步計(jì)算模型(如Gambolati等最早提出兩步計(jì)算模型)、部分耦合模型(如Fokker等在兩步計(jì)算模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合地下水流方程和Terzaghi固結(jié)理論，建立了模擬多層含水層系統(tǒng)的地下水流和總沉降量的數(shù)學(xué)模型)、考慮三維滲流與一維固結(jié)模型(如薛禹群等建立了三維變系數(shù)滲流模型和垂向一維沉降模型，分析了長(zhǎng)江三角洲南部區(qū)域的地面沉降問題)和三維滲流與三維固結(jié)完全耦合模型(如Luo等、徐成華等在黏彈塑性比奧固結(jié)理論的基礎(chǔ)上建立的地下水開采與地面沉降全耦合模型)，該方法相對(duì)來(lái)講具有計(jì)算復(fù)雜、占用計(jì)算空間大、耗時(shí)多、許多參數(shù)難以確定等缺陷，采用數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行地面沉降量的計(jì)算和預(yù)測(cè)時(shí)需花費(fèi)大量的時(shí)間和人力進(jìn)行模型建立和參數(shù)識(shí)別，計(jì)算速度相對(duì)較慢。相對(duì)于數(shù)值計(jì)算法，數(shù)理統(tǒng)計(jì)法在統(tǒng)計(jì)資料完整的情況下，擁有計(jì)算速度快、應(yīng)用性較強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)。

本文在分析地下水滲流與地面沉降間相關(guān)原理的基礎(chǔ)上，采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，依據(jù)工程實(shí)例分析了地面沉降量與地下水水位變化之間的相關(guān)關(guān)系，建立了兩者之間的多元線性回歸模型，用來(lái)預(yù)測(cè)由地下水開采引起的地面沉降量的發(fā)展變化趨勢(shì)，并通過對(duì)預(yù)測(cè)模型的檢驗(yàn)，證明了該方法在地面沉降預(yù)測(cè)方面具有一定的可靠性和實(shí)用性。

1 地面沉降機(jī)理研究

1.1 地面沉降機(jī)理概化

天然土體是由礦物顆粒骨架、孔隙水和氣體構(gòu)成的固、氣、液三相體系。根據(jù)有效應(yīng)力原理，在含水介質(zhì)骨架壓縮的初始時(shí)段，土體中某一截面的上部荷載由有效應(yīng)力(作用在礦物顆粒骨架上的應(yīng)力)和孔隙水壓力共同承擔(dān)；隨著地下水的持續(xù)開采，土體中地下水水位逐漸下降，孔隙水壓力逐漸降低，作用在顆粒骨架上的有效應(yīng)力隨之增加；由于有效應(yīng)力逐漸增加，土體骨架發(fā)生變化，從而導(dǎo)致土體體積改變，土體產(chǎn)生壓縮變形。宏觀上，各層土體壓縮變形積累在地面即表現(xiàn)為地面沉降。

依據(jù)上述理論，分析并建立地下水開采過程中地下水水位變化值與土體變形量之間的關(guān)系，即可得到含水層的土體變形方程。

1.2 含水層可壓縮土體一維變形關(guān)系

根據(jù)太沙基有效應(yīng)力原理，考慮土體變形過程中側(cè)向受限，土體變形主要產(chǎn)生在垂直方向上，且一段時(shí)間內(nèi)土體承受的總應(yīng)力不隨時(shí)間變化等假設(shè)條件，有如下計(jì)算公式：

σ

′

=σ

-

u

(1)

式中

:σ

′為含水層土體承受的有效應(yīng)力(MPa)

;σ

為含水層土體承受的總應(yīng)力(MPa)；μ為含水層土體承受的孔隙水壓力(MPa)

,

Δ

u=ρ

g

Δ

H[

其中

ρ

為水的密度

(

kg/m

)

，

g

為重力加速度

(

m/s

);

Δ

H

為孔隙水頭變化值

(

m

)]

。

無(wú)壓含水層系統(tǒng)中，含水層土體承受的有效應(yīng)力的變化可表示如下：

(2)

土體中某一截面上，含水層土體承受的有效應(yīng)力的變化可表示如下：

Δ

σ

′

=

-

ρ

g

Δ

H

(3)

由于土體有效應(yīng)力的變化會(huì)導(dǎo)致土體骨架發(fā)生壓縮，因此土體壓縮系數(shù)

α

可表示為

(4)

式中

:V

為所取單元體積

(

m

);σ

′為含水層土體承受的有效應(yīng)力(MPa)。

(5)

式中：

b

為可壓縮含水層的初始厚度

(

m

)

；

b

為含水層厚度

(

m

)

。

根據(jù)一維太沙基有效應(yīng)力原理，將公式(5)代入公式(2)、(3)中，可得：

(6)

(7)

式中

:μ

為含水層土體的骨架儲(chǔ)水率

(

1/m

)

，它是土體物理參數(shù)的函數(shù)。

因此，公式(6)、(7)可表示如下：

Δ

b=

-Δ

H(

1-

n

+

n

)μ

b

(8)

Δ

b=

-Δ

Hμ

b

(9)

式中

:

Δ

b

為含水層彈性壓縮量與非彈壓縮量

(

m

)

，正為壓縮，負(fù)為擴(kuò)張。

公式(8)、(9)即為計(jì)算潛水含水層(潛水含水層或因抽水含水層由飽和狀態(tài)轉(zhuǎn)為非飽和狀態(tài))土體垂向變形與承壓含水層土體垂向變形的基本公式。對(duì)應(yīng)土體變形的不同階段，含水層土體骨架儲(chǔ)水率的變化分別如下：

(10)

1.3 含水層土體壓縮量計(jì)算

根據(jù)公式(8)、(9)，由地下水水位下降引起的含水層土體壓縮量的計(jì)算模型如下18：

潛水含水層的彈性變形量為

Δ

b=

-Δ

H(

1-

n

+

n

)μ

b

=

-Δ

Hμ

(11)

潛水含水層的非彈性變形量為

Δ

b

=

-Δ

H(

1-

n

+

n

)μ

b

=

-Δ

Hμ

(12)

承壓含水層的彈性變形量為

Δ

b=

-Δ

Hμ

b

=

-Δ

Hμ

(13)

承壓含水層的非彈性變形量為

Δ

b

=

-Δ

Hμ

b

=

-Δ

Hμ

(14)

式中

:μ

為含水層土體骨架成分的彈性儲(chǔ)水因子

(

無(wú)量綱

)

；

μ

為含水層土體骨架成分的非彈性儲(chǔ)水因子

(

無(wú)量綱

)

；其他符號(hào)意義同上。實(shí)際地下水開發(fā)利用中，上述建立的含水層土體壓縮量計(jì)算模型將被推廣至各黏性土弱透水層，含水層及包含在其中的弱含水層被視為一個(gè)整體，整個(gè)土體骨架都可發(fā)生壓縮，參數(shù)

μ

、

μ

是在整個(gè)土層規(guī)模上的等效參數(shù)。

2 地面沉降發(fā)展與地下水水位變化的相關(guān)性分析

2.1 場(chǎng)地概況

本研究選擇的地面沉降多層位監(jiān)測(cè)場(chǎng)地位于浙江省東部、長(zhǎng)江三角洲東南角,平原區(qū)第四系厚度為50～110 m，最厚達(dá)120余米。監(jiān)測(cè)目的地層由下至上分別為第四系上更新統(tǒng)下組礫石和中細(xì)砂組成的第Ⅰ承壓含水層、上更新統(tǒng)上組下部細(xì)砂和含礫砂組成的第Ⅰ承壓含水層、上更新統(tǒng)上組中部亞黏土組成的第Ⅱ黏性土弱含水層、全新統(tǒng)下組亞砂土構(gòu)成的淺部孔隙承壓含水層、全新統(tǒng)中組淤泥或淤泥質(zhì)亞黏土構(gòu)成的第Ⅰ黏性土弱含水層和全新統(tǒng)上組亞砂土構(gòu)成的潛水含水層。場(chǎng)地所在區(qū)域自1982年開始少量開發(fā)地下水，開采量逐年增加，由于大規(guī)模開采地下水引起了較嚴(yán)重的地面沉降問題，為了保護(hù)環(huán)境，自2008年開始當(dāng)?shù)貙?duì)地下水禁采，目前只預(yù)留少部分地下水井應(yīng)急使用。

2.2 地面沉降發(fā)展與地下水水位變化的對(duì)比分析

根據(jù)地面沉降機(jī)理，地面沉降與地下水水位的變化存在密切的聯(lián)系，故本文對(duì)研究場(chǎng)地內(nèi)地面沉降及地下水水位監(jiān)測(cè)點(diǎn)1985—2008年各含水層壓縮沉降量與相應(yīng)的地下水水位變幅數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理與分析，詳見圖1至圖6。

圖1 潛水含水層沉降逐年變化量與地下水水位逐年 變化量對(duì)比Fig.1 Comparison of annual variation of land subsidence and groundwater level of phreatic aquifer

圖2 第Ⅰ黏性土弱含水層沉降逐年變化量與地下水 水位逐年變化量對(duì)比Fig.2 Comparison of annual variation of land subsidence and groundwater level of the first aquitard

圖3 淺部孔隙承壓含水層沉降逐年變化量與地下水 水位逐年變化量對(duì)比Fig.3 Comparison of annual variation of land subsidence and groundwater level of shallow confined aquifer

圖4 第Ⅱ黏性土弱含水層沉降逐年變化量與地下水 水位逐年變化量對(duì)比Fig.4 Comparison of annual variation of land subsidence and groundwater level of the second aquitard

圖5 第Ⅰ1承壓含水層沉降逐年變化量與地下水 水位逐年變化量對(duì)比Fig.5 Comparison of annual variation of land subsidence and groundwater level of the Ⅰ1 confined aquifer

圖6 第Ⅰ2承壓含水層沉降逐年變化量與地下水水位 逐年變化量對(duì)比Fig.6 Comparison of annual variation of land subsidence and groundwater level of the Ⅰ2 confined aquifer

從研究場(chǎng)地內(nèi)各含水層沉降逐年變化量與地下水水位逐年變化量的對(duì)比結(jié)果來(lái)看，地面沉降變化量與地下水水位標(biāo)高變化量數(shù)值在各監(jiān)測(cè)年份存在著明顯的對(duì)應(yīng)關(guān)系，且后續(xù)的地面沉降與地下水水位之間的回歸分析在數(shù)理上也充分證明了地面沉降量與地下水水位變化之間存在密切的相關(guān)性。

3 地面沉降量與地下水水位的回歸分析及預(yù)測(cè)

由前述理論分析和地下水水位監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)分析可知，地面沉降量與地下水水位的變化之間存在線性關(guān)系，可以用線性回歸方程來(lái)描述。本文基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，建立時(shí)間序列上地面沉降量與各含水層地下水水位變幅之間的多元線性回歸模型，以此為基礎(chǔ)，可以實(shí)現(xiàn)地下水開采引起的地面沉降量預(yù)測(cè)。

3.1 地面沉降量與地下水水位變化之間的多元線性回歸模型建立

通過對(duì)計(jì)算點(diǎn)多年統(tǒng)計(jì)資料的分析，本文建立了研究場(chǎng)地內(nèi)地面沉降量與地下水水位變化之間的多元線性回歸模型：

Δ

b=α

+

α

Δ

H

+

α

Δ

H

+

α

Δ

H

+

α

Δ

H

+

α

Δ

H

+

α

Δ

H

(15)

式中：Δ

b

為月地面沉降量(mm)；Δ

H

為潛水含水層月地下水水位變幅(m)；Δ

H

為潛水含水層與淺部孔隙承壓含水層間黏性土弱含水層月地下水水位變幅(m)； Δ

H

為淺部孔隙承壓含水層月地下水水位變幅(m)； Δ

H

為淺部孔隙承壓含水層與第Ⅰ承壓含水層間黏性土弱含水層月地下水水位變幅(m)；Δ

H

為第Ⅰ承壓含水層月地下水水位變幅(m)；Δ

H

為第Ⅰ承壓含水層月地下水水位變幅(m)；

α

為常數(shù)項(xiàng)，與各含水層和黏性土弱含水層的監(jiān)測(cè)控制程度和監(jiān)測(cè)精度以及非地下水開采引起的地面沉降有關(guān)；

α

、

α

、

α

、

α

、

α

、

α

為系數(shù)項(xiàng)，與各含水層和黏性土弱含水層的土體骨架釋水系數(shù)有關(guān)。

根據(jù)已有266組因變量(月地面沉降量)與自變量(各含水層地下水水位變幅)的觀測(cè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到了研究場(chǎng)地內(nèi)月地面沉降量與各含水層地下水水位變幅之間的多元線性回歸方程：

Δ

b=

-0.87+1.22Δ

H

+0.46Δ

H

+2.61Δ

H

+0.32Δ

H

+0.63Δ

H

+ 0.83Δ

H

(

16

)

3.2 模型檢驗(yàn)

本文所建立的多元線性回歸模型的擬合度檢驗(yàn)結(jié)果，詳見表1。

表1 多元線性回歸模型擬合度檢驗(yàn)結(jié)果Table 1 List of goodness of fit test of the multiple linearregression model

由表1可知，建立的多元線性回歸模型的復(fù)相關(guān)系數(shù)

R

為0.917，表明模型自變量與因變量之間的密切程度很高；模型的決定系數(shù)(也稱判定系數(shù))

R

值為0.841，為避免隨自變量個(gè)數(shù)增加其可靠性降低，經(jīng)調(diào)整后

R

值為0.837(統(tǒng)計(jì)學(xué)上一般

R

值大于0.8時(shí)說(shuō)明其擬合程度較高)，表明利用該多元線性回歸方程來(lái)描述和說(shuō)明因變量的變化所解釋的程度較高；而模型

R

的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差值為2.682 26，其值較小，表明

R

的估值具有一定的可靠性。

本文所建立的多元線性回歸模型的方差分析結(jié)果，見表2。

表2 多元線性回歸模型方差分析結(jié)果Table 2 List of ANOVA of the multiple linear regressionmodel

由表2可知，建立的多元回歸模型的顯著性指標(biāo)Sig.值為0，

F

分布統(tǒng)計(jì)量值為195.534，說(shuō)明該模型具有高度顯著的統(tǒng)計(jì)意義。

本文所建立的多元線性回歸模型的共線性檢驗(yàn)結(jié)果，見表3。

表3 多元線性回歸模型共線性檢驗(yàn)結(jié)果Table 3 List of collinearity tests of the multiple linearregression model

由表3可知，建立的多元線性回歸模型的特征值均不為0(若多個(gè)維度的特征值等于0，則可能存在共線性問題)，條件指數(shù)值均小于30(若某個(gè)維度的條件指數(shù)大于30，則存在共線性問題)，說(shuō)明該模型各自變量間存在共線性問題的可能性很小。

本文所建立的多元線性回歸模型的殘差分析結(jié)果，見表4。

表4 多元線性回歸模型殘差分析結(jié)果Table 4 List of residual statistics of the multiple linearregression model

由表4可知，建立的多元線性回歸模型的殘差統(tǒng)計(jì)量數(shù)據(jù)中無(wú)離群值，且數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)殘差也較小，可以認(rèn)為該模型是健康的。

通過對(duì)本文所建立的多元線性回歸模型的檢驗(yàn)，繪制了標(biāo)準(zhǔn)化殘差的直方圖和標(biāo)準(zhǔn)化殘差的正態(tài)

P

-

P

圖，見圖7和圖8。

圖7 標(biāo)準(zhǔn)化殘差直方圖Fig.7 Histogram of standardized residuals

圖8 標(biāo)準(zhǔn)化殘差正態(tài)P-P圖Fig.8 Normalized residual normal P-P diagram

由圖7和圖8可見，建立的多元線性回歸模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差分布具有正態(tài)分布的趨勢(shì)，說(shuō)明模型是恰當(dāng)、可用的。

綜上所述，本文所建立的多元線性回歸模型正確、可信，可以用來(lái)預(yù)測(cè)某處地面沉降總量月變化量的發(fā)展趨勢(shì)。

4 結(jié) 論

(1) 由地下水開采引起的地面沉降，地面沉降量與地下水水位變化之間存在時(shí)間上的對(duì)應(yīng)，通過對(duì)地面沉降機(jī)理的研究證實(shí)兩者之間確實(shí)存在線性相關(guān)關(guān)系。本文應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，通過工程實(shí)例對(duì)地面沉降與地下水水位進(jìn)行了回歸分析及預(yù)測(cè)，模型檢驗(yàn)結(jié)果表明該預(yù)測(cè)模型是可用的。

(2) 在未來(lái)地下水開發(fā)利用規(guī)劃情況下，場(chǎng)地所在地區(qū)可應(yīng)用該方法開展由地下水開采引起的地面沉降量預(yù)測(cè)，其計(jì)算速度快、實(shí)用性較高。

(3) 隨著全國(guó)范圍內(nèi)地下水與地面沉降監(jiān)測(cè)網(wǎng)的逐年完善，大量精度較高的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)將被獲取與積累。本文的研究方法可在第四紀(jì)松散沉積層較厚的沖、洪積平原地區(qū)進(jìn)行廣泛的推廣與應(yīng)用。