基于FP微陣列的壓縮感知光譜重建研究

吳笑男，張 瑞，王志斌，陳壯壯

（中北大學(xué) 理學(xué)院 山西省光電信息與儀器工程技術(shù)研究中心，山西 太原 030051）

引言

隨著光學(xué)信息獲取技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，各類光學(xué)信息獲取技術(shù)在探測方面集成，可實(shí)現(xiàn)不同目標(biāo)信息的同時獲取。光譜成像技術(shù)是一種多維成像的新型技術(shù)，由成像技術(shù)與光譜分析技術(shù)二者相結(jié)合形成，可以同時獲得目標(biāo)場景的光譜與空間二維信息。因此，光譜成像技術(shù)被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域。根據(jù)分光方式不同，光譜成像技術(shù)主要分為以棱鏡、光柵作為分光元件的色散型光譜成像技術(shù)，濾光片型光譜成像技術(shù)以及干涉型光譜成像又叫做傅里葉變換光譜成像技術(shù)。根據(jù)掃描方式不同，光譜成像技術(shù)主要分為擺掃型、推掃型和凝視型[1]。隨著科技的不斷發(fā)展，人們對光譜成像技術(shù)的要求也越來越高，高空間、高光譜分辨率、高光通量、高信噪比以及高效率的存儲和傳輸?shù)纫鬄楣庾V成像技術(shù)提出了新的挑戰(zhàn)。尤其是星載光譜成像技術(shù)，多采用濾光片陣列[2]、光柵和傅里葉分光方式[3]，但濾光片陣列型光譜通道數(shù)有限且光譜分辨率低，光柵型光通量低，傅里葉型空間分辨率低。在我國，對于光譜調(diào)制成像系統(tǒng)的研究雖起步較晚，但在不斷研究與探索下，也取得了突出成果。西安交通大學(xué)李杰等研制出基于靜態(tài)傅里葉變換偏振光譜成像系統(tǒng)[4-5]，運(yùn)用強(qiáng)度調(diào)制模塊與沃拉斯頓棱鏡對光譜進(jìn)行調(diào)制，實(shí)現(xiàn)對光譜信息及圖像的同時獲取。中科院長春光機(jī)所研制出多譜段偏振成像儀，該系統(tǒng)應(yīng)用于云和大氣氣溶膠檢測，可以識別大氣檢測過程中的云干擾，提高反演信息的精確度。北京航空航天大學(xué)的張穎、趙慧潔等人設(shè)計(jì)了多譜段成像系統(tǒng)[6]，利用雙液晶可變相位延遲器（liquid crystal variable retarder，LCVR）進(jìn)行相位調(diào)制及旋轉(zhuǎn)濾光片分光，通過對入射光的相位延遲量進(jìn)行調(diào)制，從而得到目標(biāo)的光譜信息。

隨著壓縮感知技術(shù)[7-9]發(fā)展，光譜成像與其進(jìn)行結(jié)合，產(chǎn)生壓縮感知光譜成像技術(shù)[10-12]。其中壓縮感知實(shí)現(xiàn)了信號的采集和壓縮同時進(jìn)行，避免了繁重?cái)?shù)據(jù)的采集以及大量采樣數(shù)據(jù)的浪費(fèi)，從而減輕采集任務(wù)。不同于傳統(tǒng)壓縮的是，壓縮感知直接采集壓縮后的有效數(shù)據(jù)，通過一定的壓縮比，從少量的數(shù)據(jù)中捕獲和恢復(fù)原始信號，不僅節(jié)約資源，提高效率，而且能夠精確地恢復(fù)原始信號，這也是壓縮感知的核心思想。2006年，杜克大學(xué)的Brady等人運(yùn)用二維編碼模板結(jié)合計(jì)算機(jī)仿真提出了壓縮感知光譜成像技術(shù)[13]。2016年，Johann等人模擬和研究了多路復(fù)用中波紅外成像儀圖像計(jì)算光譜成像技術(shù)[14]。2018年，Michael等人提出一種新的光譜成像方法，通過在普通的數(shù)碼相機(jī)上安裝一個色散擴(kuò)散器和一個基于壓縮傳感器的數(shù)字處理算法，將普通的數(shù)碼相機(jī)轉(zhuǎn)換為快照光譜成像儀，實(shí)現(xiàn)了快照光譜成像儀的小型化、輕量化設(shè)計(jì)[15]。但現(xiàn)有壓縮感知光譜成像無法同時實(shí)現(xiàn)高通量、高光譜分辨率、高空間分辨率。

本文針對星載掃描特點(diǎn)及現(xiàn)有光譜成像存在的問題，將光譜成像技術(shù)與壓縮感知相結(jié)合[16]，提出了一種基于法布里珀羅（Fabry-Perot，F(xiàn)P）微陣列的快速掃描光譜成像系統(tǒng)。在確保高光譜、高空間分辨率，以及高光通量的前提下，實(shí)現(xiàn)了光譜信息的快速、高效采集。

1 基本原理

1.1 FP微陣列壓縮感知光譜成像基本原理

雖然壓縮感知光譜成像得到很大發(fā)展，但目前多采用編碼孔徑方式[17-19]，且需要獨(dú)立分光元件，導(dǎo)致光通量低、體積大；另外一種典型方式是基于光譜調(diào)制的壓縮感知光譜成像[20-21]，光譜調(diào)制多采用FP和電光調(diào)制，但無法同時實(shí)現(xiàn)高通量、高光譜分辨率、高空間分辨率。因此，傳統(tǒng)光譜成像和普通壓縮感知光譜成像存在低光譜分辨率或是低空間分辨率的缺點(diǎn)。我們利用衛(wèi)星掃描特點(diǎn)，結(jié)合壓縮感知技術(shù)，設(shè)計(jì)了基于FP微陣列的壓縮感知掃描光譜成像方式，如圖1所示。

圖1 快速掃描光譜成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)圖Fig.1 Schematic diagram of rapid scan spectral imaging system

該結(jié)構(gòu)由一個1×19的FP陣列、一個面陣探測器以及一個鏡頭組成，衛(wèi)星飛行掃描方向沿y軸，其中每兩個反射鏡之間有不同的間隙d。平行光沿x軸進(jìn)入鏡頭，通過鏡頭匯聚到FP陣列上對入射光信號進(jìn)行調(diào)制，然后由面陣探測器收集。利用兩步迭代閾值收縮算法(two-step iterative shrinkage/thresholding，TWIST)可以恢復(fù)原始光譜信息。面陣探測器通過收集19個調(diào)制后的光譜數(shù)據(jù)，經(jīng)過適當(dāng)?shù)膲嚎s感知（compressed sensing，CS）算法，重建得到上百個原始光譜數(shù)據(jù)，掃描系統(tǒng)與快照系統(tǒng)不同，快照系統(tǒng)普遍應(yīng)用于凝視環(huán)境下的成像，而掃描系統(tǒng)可用于衛(wèi)星掃描成像。與傳統(tǒng)凝視型成像系統(tǒng)相比，由于我們的成像系統(tǒng)沿y軸進(jìn)行動態(tài)掃描，系統(tǒng)會對同一位置的光譜信息進(jìn)行多次掃描，意味著該設(shè)計(jì)具有更高的信噪比和光通量，可為微光條件下光譜成像探測提供幫助。此外，由于利用了壓縮感知框架，可以重建高于一個數(shù)量級以上的光譜波段，相比于其他基于多孔徑方法的相機(jī)[22-24]，具有很大優(yōu)勢。

1.2 壓縮感知原理

壓縮感知框架由稀疏信號模型、適當(dāng)?shù)臏y量矩陣設(shè)計(jì)以及恰當(dāng)?shù)闹亟ㄋ惴╗25]3部分組成。一般情況下，我們認(rèn)為，當(dāng)信號本身具有稀疏性或在某些變換域中可滿足一定的稀疏性時，可以將高維的信號通過與測量矩陣相乘投影為低維的信號，也就是說此信號是可壓縮的。變換域的選擇尤為重要，它與信號的稀疏性緊密相關(guān)，選擇好的變換域，可使信號獲得較優(yōu)的稀疏表示，從而使得重建信息更加精確。壓縮感知理論提供了一種從M個不同的測量信號中還原出N個信號的技術(shù)，其中N>>M。當(dāng)信號滿足一定稀疏性時，并且使用適合的傳感矩陣時，可以實(shí)現(xiàn)這種技術(shù)。在此，我們用矢量f表示原始光譜信息，用矢量g表示測量信號。那么，壓縮感知過程可以表示為

式中：Θ表示傳感矩陣，且 Θ∈BM×N；Φ為測量矩陣；Ψ為稀疏矩陣；傳感矩陣包括稀疏矩陣和測量矩陣，測量矩陣和稀疏變換基互不相干；θ表示稀疏變換后的系數(shù)。

壓縮感知過程如圖2所示，其中θ為f在Ψ 域中的稀疏表示。為了重建原始信號，開發(fā)了許多算法。常用的算法為TWIST算法，通過解決最優(yōu)解問題來估計(jì)原始信號f：

圖2 壓縮感知數(shù)學(xué)模型Fig.2 Mathematical model of compressed sensing

2 仿真及數(shù)據(jù)分析

2.1 FP調(diào)制器工作原理

由于星載掃描實(shí)際需在真空條件下，實(shí)驗(yàn)操作難以實(shí)現(xiàn)，我們用一個改進(jìn)的FP調(diào)制器代替設(shè)計(jì)的FP微陣列對輸入信號進(jìn)行調(diào)制。FP兩個反射鏡之間的距離d對應(yīng)FP陣列中不同的高度，以此來驗(yàn)證FP微陣列的可行性。FP調(diào)制器由兩個平行的平面反射鏡組成。理想FP調(diào)制器的透射率由（3）式得出：

式中δ（λ）是入射光信號之間的相位差，等于：

式中：λ是波長；n是兩個FP反射鏡之間的介質(zhì)折射率；i是光信號的入射角；參數(shù)F由（5）式給出：

式中R為FP兩個平面反射鏡的反射率。FP調(diào)制腔對入射光譜信息進(jìn)行調(diào)制，輸出強(qiáng)度由傳感器接收。通過改變d的值，我們會得到K個不同的調(diào)制光譜。

一般來說，我們希望光譜響應(yīng)具有相對較窄的峰值，這樣可以方便獲得對(4)式中不相干特性的測量；另一方面，他們應(yīng)該足夠?qū)?，以便通過測量來充分感知波長。在壓縮感知中，傳輸峰的最優(yōu)集合將使相應(yīng)的傳感矩陣 Φ具有最低的相干參數(shù)μ。通過模擬傳感矩陣，根據(jù)方程（3），以空氣為介質(zhì)，在FP反射鏡之間，發(fā)現(xiàn)了最優(yōu)壓縮感知條件（即具有最低的相干參數(shù)μ）。當(dāng)反射鏡反射率為0.8時，得以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)條件[20]。

當(dāng)平面鏡反射率為0.8時，波長在400 nm～700 nm范圍內(nèi)，F(xiàn)P可分辨的最小波長間隔為

由上式可知，R為0.8，λ在400 nm～700 nm之間，由于FP的腔長h最大約為100 μm，從而使得干涉條紋的級數(shù)k的數(shù)量級約為103，此時FP可分辨的最小波長間隔約在0.02 nm～0.05 nm之間，所以入射波長在400 nm～700 nm的范圍內(nèi)時，可以實(shí)現(xiàn)光譜通道達(dá)到700個的要求。

如圖3所示，光信號進(jìn)入FP調(diào)制腔進(jìn)行調(diào)制，通過調(diào)節(jié)壓電驅(qū)動器，我們可以控制FP兩個反射鏡之間的距離。調(diào)制后的信號經(jīng)過一個匯聚透鏡后進(jìn)入接收器中。該過程重復(fù)K次，由于FP腔寬度d不斷變化，從而使每次測量得到不同的光譜響應(yīng)。在本文中，K=19。圖4顯示了兩個不同的具有代表性的光譜響應(yīng)。

圖3 FP調(diào)制器裝置圖Fig.3 Device diagram of FP modulator

圖4 當(dāng)FP反射鏡反射率為0.8時FP調(diào)制器兩種不同的光譜響應(yīng)Fig.4 Two different spectral responses of FP modulator when reflectivity of FP reflector is 0.8

2.2 調(diào)制光譜壓縮過程

上文提到壓縮感知由稀疏矩陣、測量矩陣、重建算法3部分構(gòu)成。圖3所示的FP調(diào)制腔對輸入信號起到調(diào)制作用，也就相當(dāng)于對輸入信號進(jìn)行稀疏表示。接下來的工作是設(shè)計(jì)測量矩陣，測量矩陣是信號壓縮過程的核心，它直接影響信號重構(gòu)的精度。因此，要實(shí)現(xiàn)從低維信號中重構(gòu)出高維信號，需要對傳感矩陣有一定的約束條件。由Candes和Tao提出并證明了RIP（受限等距性質(zhì)）約束條件[18]。傳感矩陣在滿足RIP條件的同時，測量矩陣 Φ要與稀疏變換基Ψ 盡量不相干。目前常用的測量矩陣有高斯隨機(jī)矩陣、二值隨機(jī)矩陣、局部傅里葉隨機(jī)矩陣、結(jié)構(gòu)化隨機(jī)矩陣等。在本文中，我們給出一個FP調(diào)制系統(tǒng)透射的例子，通過模擬改變壓電驅(qū)動器來改變兩個平面反射鏡之間的距離，選取了19個不同的光譜調(diào)制作為測量矩陣[17]。圖5表示了測量矩陣的可視化圖形，每一行表示不同光譜調(diào)制的透射強(qiáng)度。根據(jù)（1）式，利用測量矩陣得到壓縮后的測量信號g。

圖5 19個不同的光譜調(diào)制的透射實(shí)例圖Fig.5 Transmission instance diagram of 19 different spectral modulations

2.3 壓縮光譜重建

光譜重建是對方程（2）的求解過程。由于測量信號g的 維度遠(yuǎn)小于原始信號f的維度，所以該求解問題是欠定的，因此原始光譜信號的重構(gòu)問題可以表示為優(yōu)化求解問題[26]。Candes[27]等人證明該優(yōu)化問題可以表示為l0范數(shù)最優(yōu)化問題，但是l0范數(shù)問題是非凸的，很難求出解。因此，我們把它轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問題，也就是轉(zhuǎn)化為l1范數(shù)最優(yōu)化問題，l0范數(shù)優(yōu)化和l1范數(shù)優(yōu)化在一定程度上是等價的。常用的幾種信號重構(gòu)算法包括：貪婪算法、迭代閾值法以及最小化全變分法。本文使用TWIST兩步迭代算法重構(gòu)信號。

由于某種程度上，迭代加權(quán)收縮算法(IRS)和迭代閾值收縮算法(IST)的收斂速度都不理想，Josh M.Bioucas- Dias等人將兩者結(jié)合，提出了兩步迭代閾值收縮算法（TWIST）[28]。TWIST算法的迭代值與之前兩步迭代所得的估計(jì)值有關(guān)，其算法更新迭代過程如（6）式：

式中：t≥1；x0是初始值；α和β為算法的參數(shù)；Γλ為軟收縮閾值函數(shù)；ψλ為去噪軟閾值函數(shù)。由該式可以看出xt+1由xt和xt?1共同決定[20]。

TWIST算法將IST和IRS算法的優(yōu)點(diǎn)相結(jié)合，既能保證收斂速度，又可以在噪聲環(huán)境中高質(zhì)量地重構(gòu)信號。以632.8 nm紅色激光和532 nm綠色激光為例，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的可行性。

2.4 仿真數(shù)據(jù)分析

首先用標(biāo)準(zhǔn)光柵光譜儀測量兩個激光的疊加光譜，如圖6所示。然后用通過仿真測量矩陣采集到的數(shù)值進(jìn)行重構(gòu)。圖7顯示了兩個激光的重構(gòu)光譜，通過與光柵光譜儀測得的光譜相比較，可以發(fā)現(xiàn)，在400 nm～700 nm的范圍內(nèi)，僅從19個測量數(shù)據(jù)中重建了700個光譜數(shù)據(jù)，壓縮比約為37∶1。重構(gòu)光譜與用光柵光譜儀測量的光譜之間的均方誤差（mean square error，MSE）為0.002。

圖6 標(biāo)準(zhǔn)光柵光譜儀測得的紅綠激光疊加光譜Fig.6 Red-green laser superposition spectrum measured by standard grating spectrometer

圖7 壓縮感知重構(gòu)光譜Fig.7 Compressed sensing reconstruction spectrum

3 實(shí)驗(yàn)部分

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置

FP調(diào)制系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)裝置如圖8所示，在該系統(tǒng)中，光譜信號通過FP調(diào)制腔，F(xiàn)P調(diào)制腔由兩個特別制造的反射鏡構(gòu)成。該反射鏡的反射率約為0.8。為了控制兩面反射鏡之間的距離，在其中一個鏡子下面加了壓電驅(qū)動器。使用的驅(qū)動器為PI公司的P-611.1線性壓電陶瓷定位系統(tǒng)，行程為1 μm～100 μm，分辨率可達(dá)0.2 nm。光信號經(jīng)過FP調(diào)制腔進(jìn)行調(diào)制，經(jīng)過調(diào)制的光譜信號由傳感器接收。

圖8 FP光譜調(diào)制系統(tǒng)Fig.8 FP spectral modulation system

特別說明的是，由于干涉測量系統(tǒng)是非常敏感的，所以FP反射鏡需要小心地平行放置。此外，壓電驅(qū)動器需控制在幾納米的范圍內(nèi)，才能確保光譜調(diào)制的精度和重復(fù)性[17]。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了驗(yàn)證仿真數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，我們進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。首先，用標(biāo)準(zhǔn)光譜儀測得黃藍(lán)兩種不同顏色LED點(diǎn)光源的光譜。然后，分別以黃藍(lán)兩種不同顏色光源作為入射光信號，經(jīng)過FP調(diào)制器對入射光信號進(jìn)行調(diào)制，用探測器收集FP調(diào)制器不同間隙下的光譜響應(yīng)總強(qiáng)度。此外，利用壓縮感知重構(gòu)算法重建入射光譜，黃藍(lán)兩色重建光譜的均方誤差（MSE）分別為0.004和0.005。光譜重建結(jié)果如圖9～圖10所示。在400 nm～700 nm的范圍內(nèi)，光譜帶的數(shù)量為700個，僅從19個測量值中重建出來。如圖所示，黃藍(lán)兩單色光的重建光譜與標(biāo)準(zhǔn)光譜儀測量光譜之間存在一定的差距，造成此誤差的原因主要有兩個方面：一方面實(shí)驗(yàn)過程中不可避免有一些輕微震動以及噪音，對光譜收集的準(zhǔn)確造成了一定的影響；另一方面在測量矩陣的設(shè)計(jì)上，測量矩陣的選取對重建結(jié)果也造成了一定誤差，我們會繼續(xù)優(yōu)化測量矩陣，來減小重建光譜與標(biāo)準(zhǔn)光譜儀測量光譜之間的差距。

圖9 藍(lán)色LED點(diǎn)光源重建光譜與標(biāo)準(zhǔn)光譜儀測量光光譜對比Fig.9 Comparison of reconstructed spectrum of blue LED point light source and measuring light spectrum of standard spectrometer

圖10 黃色LED點(diǎn)光源重建光譜與標(biāo)準(zhǔn)光譜儀測量光光譜對比Fig.10 Comparison of reconstructed spectrum of yellow LED point light source and measuring light spectrum of standard spectrometer

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種新型掃描成像系統(tǒng)，該系統(tǒng)光譜范圍為400 nm～700 nm，光譜通道數(shù)高達(dá)700個，僅從19個測量數(shù)據(jù)中重建出原始光譜信號，壓縮比約為37∶1。仿真激光入射光譜與壓縮感知重構(gòu)光譜進(jìn)行對比，仿真均方誤差（MSE）為0.002。實(shí)驗(yàn)反演驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)獲得的重構(gòu)光譜與標(biāo)準(zhǔn)光譜儀測得的光譜基本一致，證明了設(shè)計(jì)的可行性。與傳統(tǒng)的光譜掃描系統(tǒng)相比，提出的FP陣列設(shè)計(jì)以及結(jié)合壓縮感知光譜重構(gòu)方法從較小的測量值中恢復(fù)原始信號，因此提高了采集速度和光通量，且具有較高的空間分辨率和光譜分辨率，為星載微弱光照環(huán)境下的光譜成像提供了便利，具有重要的科學(xué)價值和廣泛的應(yīng)用前景。