分部積分法的解構(gòu)和重構(gòu)
——兼簡論不定積分的定義和求不定積分的思想方法與一般思路

董春芳，石德剛

(天津工業(yè)職業(yè)學(xué)院,天津 300400)

分部積分法是一元積分學(xué)中求積分時(shí)常用的重要方法。初學(xué)者在學(xué)習(xí)的過程中往往對(duì)如何選取u與v′以及在什么情形下需要運(yùn)用分部積分法感到困惑，因此分部積分法是學(xué)生學(xué)習(xí)一元積分學(xué)時(shí)感到難以掌握的積分方法。本文對(duì)分部積分思想的理論依據(jù)進(jìn)行解構(gòu)和重構(gòu)，總結(jié)出選取u與v′的原則和運(yùn)用分部積分公式的模式。下面舉例說明如何運(yùn)用分部積分法求積分，以幫助初學(xué)者更好地學(xué)習(xí)和掌握分部積分法在積分運(yùn)算中的運(yùn)用。

一、分部積分公式

相應(yīng)于兩個(gè)函數(shù)乘積的微分法，可以推出另一種基本積分法——分部積分法，分部積分法主要用于求被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)的乘積且不具備湊微分法特征的積分。

設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)乘積導(dǎo)數(shù)、微分公式有(u·v)′=u′v+v′u、d(u·v)=vdu+udv，移項(xiàng)得u·v′=(u-v)′-v·u′、udv=d(u·v)-vdu(1).

對(duì)式(1)兩端求不定積分，得不定積分的分部積分公式

對(duì)式(1)兩端求從a到b的定積分，得定積分的分部積分公式

二、選取u與v′的原則與分部積分公式運(yùn)用模式

用分部積分公式求一個(gè)函數(shù)的積分，需要將被積函數(shù)看作是兩個(gè)函數(shù)u和v′的乘積，這就有個(gè)以什么函數(shù)為u，從而定出什么是v′的問題。因此正確地選擇u與v′是運(yùn)用分部積分法的關(guān)鍵所在。

(一)u經(jīng)過求導(dǎo)，使u′變得簡單，而v′和v的類型相同或復(fù)雜程度相當(dāng)，例如，當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)(代數(shù)函數(shù))和三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的乘積時(shí)，設(shè)冪函數(shù)(代數(shù)函數(shù))為u(參見例1、例2)。

(二)u經(jīng)過求導(dǎo)，使u′的類型與v的類型相同或相近(參見例5)，例如，當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)(代數(shù)函數(shù))和對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積時(shí)，設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u(參見例3、例4)。

(三)被積函數(shù)為不便于拆分為其它函數(shù)的單個(gè)函數(shù)[f(x)]n(n∈N+)時(shí)，一般設(shè)u=[f(x)]n

(n∈N+)(參見例6、例7)；若[f(x)]k(1

解 設(shè)u=x，則v′=sinx，且u′=1，v=-cosx，從而

解 設(shè)u=x，則v′=e-x，且u′=1，v=e-x，從而

當(dāng)分部積分公式運(yùn)用比較熟練后，就不必寫出u和v′，心里默記住u是什么和v′是什么即可直接使用分部積分公式。

三、簡論不定積分的定義與用公式及用方程組求不定積分

(一)簡論不定積分的定義

(二)用公式求不定積分

該類型題的特點(diǎn)是，對(duì)公式左端的兩個(gè)不定積分中的任何一個(gè)不定積分分部積分就可消去另一個(gè)不定積分，但是若對(duì)兩個(gè)不定積分都分部積分，則可能兩個(gè)不定積分都難以求出。

由該結(jié)論，要求I1(或I2)，可以選擇I2(或I1)，若能較易求得I1-I2，則不僅可求得I1(或I2)，而且同時(shí)求出了I2(或I1)。

本類型題的特點(diǎn)是，單獨(dú)求I1(或I2)都需用兩次分部積分公式并產(chǎn)生循環(huán)情形，即等式的右邊出現(xiàn)KI1(或KI2)，再移KI1(或KI2)至等號(hào)左邊來求出I1(或I2)。

四、用分部積分法建立遞推公式

當(dāng)被積函數(shù)含有以正整數(shù)n為指數(shù)的因子時(shí)，求該積分時(shí)一般都用分部積分法建立遞推公式(使用遞推公式計(jì)算積分層次清楚，便于檢查，且不易出錯(cuò))。

=-cscn-2xcotx-(n-2)In+(n-2)In-2

五、反函數(shù)的不定積分和不定積分的分部積分公式的推廣形式

(一)反函數(shù)的不定積分

證 由不定積分的分部積分公式與等式x=f[f-1(x)]得

(二)不定積分的分部積分公式的推廣形式

設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)具有直至n+1的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則有

……

上面“得”字后各式由下往上依次代入，并保留第一式左端的積分和最后一式右端的積分，即得分部積分公式的推廣形式.

分部積分公式的推廣形式也可以寫成表格形式：

u各階導(dǎo)數(shù)uu'u″u?…(-1)n+1u(n+1)v(n+1)的各階原函數(shù)v(n+1)v(n)v(n-1)v(n-2)v

解 設(shè)u=x2、v?=cosx，則

x2各階導(dǎo)數(shù)x22x20cosx的各階原函數(shù)cosxsinx-cosx-sinx

當(dāng)被積函數(shù)(兩類不同函數(shù)的乘積)中有一個(gè)因子為對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)時(shí)，不宜使用分部積分公式的推廣形式。

當(dāng)上面的表格中同一列的兩個(gè)函數(shù)的乘積等于所給被積函數(shù)的常數(shù)倍時(shí)，求各階導(dǎo)數(shù)與求vn+1的各階原函數(shù)的工作就不需要再進(jìn)行，利用解方程組的方法就可以迅速求得所給積分。

六、用分部積分法建立泰勒公式及泰勒級(jí)數(shù)的余項(xiàng)的絕對(duì)值的上界的估計(jì)

(一)用分部積分法建立泰勒公式

高等數(shù)學(xué)(微積分、數(shù)學(xué)分析)教材一般都是在微分學(xué)中建立泰勒公式，不僅過程較為繁雜，而且難度較大。但是用分部積分法建立泰勒公式的過程是較為簡單的。

式(6)稱為積分型余項(xiàng).

證 只證x0x的情形類似可證).

由牛頓—萊布尼茨公式和分部積分法(連續(xù)用)得

……

式(7)稱為柯西型余項(xiàng).

式(8)稱為拉格朗日型余項(xiàng)，

(二)泰勒級(jí)數(shù)的余項(xiàng)的絕對(duì)值的上界的估計(jì)

用函數(shù)f(x)的泰勒多項(xiàng)式近似代替函數(shù)f(x)，需要估計(jì)誤差(泰勒級(jí)數(shù)的余項(xiàng)Rn(x))。從泰勒公式的證明可以看出，導(dǎo)出Rn(x)的表達(dá)式的過程較為繁雜。但是從泰勒公式的證明也可以看出，證明泰勒公式事先并不需要知道泰勒級(jí)數(shù)的余項(xiàng)Rn(x)的表達(dá)式，這啟示在不知道泰勒級(jí)數(shù)的余項(xiàng)Rn(x)的表達(dá)式的情形下，也可以給出|Rn(x)|的上界的估計(jì)。

證 只證x0x的情形類似可證).

……

七、不定積分的思想方法和一般思路：

(一)求不定積分的思想方法

原函數(shù)定義是非“構(gòu)造性”的，原函數(shù)定義只表明，若函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則有F′(x)=f(x),因此，根據(jù)原函數(shù)定義并不知道從函數(shù)f(x)出發(fā)，經(jīng)過怎樣的運(yùn)算能求得函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)，即原函數(shù)定義并未明確指出求原函數(shù)的途徑，從而求不定積分(除少數(shù)標(biāo)準(zhǔn)類型外)并沒有一個(gè)固定的格式可循，往往帶有試探性質(zhì)。

以上闡述表明積分法雖然是微分法的逆運(yùn)算，但是求不定積分的思想方法與求導(dǎo)數(shù)的思想方法有本質(zhì)的區(qū)別，且求一個(gè)初等函數(shù)的不定積分遠(yuǎn)比求一個(gè)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)困難得多。下面簡述求不定積分的思想方法。

1．將要求的不定積分設(shè)法轉(zhuǎn)化成基本積分表里已有的積分(簡稱為表列積分，它的答案是已知的)，是解答不定積分問題必須明確的一個(gè)基本原則。

2．熟悉和牢記將要求的不定積分轉(zhuǎn)化成表列積分的三種積分法——直接積分法、換元積分法、分部積分法的使用方法與適用范圍，一般來說，對(duì)被積函數(shù)作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏?，才能充分使用這些方法,而且每種方法的運(yùn)用，往往視具體題目而定，有時(shí)解答一個(gè)題目僅用一種方法還不行，需要綜合使用這些方法(參見例2、例6、例14、例15)，因此，較多且準(zhǔn)確的掌握各種積分類型的特點(diǎn)，以及與之相適應(yīng)的積分方法(特別是針對(duì)被積函數(shù)特點(diǎn)而引入的各種換元積分法)，成為解答不定積分問題的關(guān)鍵所在。

(二)求不定積分的一般思路

必須指出的是，只有多做練習(xí)，且在練習(xí)中隨時(shí)注意被積函數(shù)的類型和特點(diǎn)，并體會(huì)轉(zhuǎn)化被積函數(shù)的方法，才能增強(qiáng)觀察的敏銳性和積淀成功的經(jīng)驗(yàn)，從而提高簡潔、準(zhǔn)確、迅速地求解不定積分的能力。