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    求解奇異線性系統(tǒng)的右預(yù)處理GMRES方法

    2021-06-08 08:40:04王帥麗
    關(guān)鍵詞:值域方程組預(yù)處理

    王帥麗

    (溫州大學(xué)數(shù)理學(xué)院,浙江溫州 325035)

    本文討論求解線性方程組:

    本文用T A表示A的轉(zhuǎn)置,Ir為r階的單位矩陣,用R()A和N()A分別表示A的值域和A的零空間.

    本文主要討論奇異線性系統(tǒng)的右預(yù)處理GMRES(The Generalized Minimal Residual)方法并做收斂性分析.眾知,矩陣乘法不滿足交換律,尤其是奇異矩陣乘法逆序律的復(fù)雜性,導(dǎo)致左、右預(yù)處理系統(tǒng)的系數(shù)矩陣其條件數(shù)有時候差異很大.從而,對某些問題,若做左預(yù)處理效果不理想時,可以考慮做右預(yù)處理[1-2].

    由Saad等[3]提出的GMRES方法是解決大型非對稱線性系統(tǒng)最流行的方法之一,用GMRES方法可以進行求解非奇異線性系統(tǒng),也可以求解奇異線性系統(tǒng)[1,4].

    定義1[5]設(shè)B∈Rn×n,我們稱滿足r(Bi)=r(Bi+1)的最小非負整數(shù)i為B的指標,記作:

    B的Drazin逆記為BD,并滿足:

    定義2 對于任意矩陣A∈Rn×n,如果R(A)=R(AT),那么稱A為值域?qū)ΨQ矩陣.

    引理1[6]設(shè)A∈Rn×n,那么值域?qū)ΨQ矩陣的等價描述如下:1)R(A)=R(AT),2)N(A)=N(AT),3)A+A=AA+,4)A+=A#,其中A+是A的Moore-Penrose廣義逆,即A+滿足:A+AA+=A+,AA+A=A,(AA+)T=AA+,(A+A)T=A+A.

    A#是A的群逆,即A#滿足:AA#A=A,A#AA#=A#,AA#=A#A.

    如果A是值域?qū)ΨQ矩陣,則A的指標為1,即index(A)=1,且;但index(A)=1,則A不一定是值域?qū)ΨQ矩陣,如:

    文[6]中Zhang對線性系統(tǒng)(1)的系數(shù)矩陣做了左預(yù)處理,而本文對線性系統(tǒng)(1)的系數(shù)矩陣做右預(yù)處理,使得預(yù)處理后的系數(shù)矩陣是值域?qū)ΨQ的.對于值域?qū)ΨQ的奇異線性系統(tǒng),用GMRES方法進行求解時,具有良好的性能.因此,我們需要找出合適的預(yù)處理子使得經(jīng)過預(yù)處理后系統(tǒng)的系數(shù)矩陣是值域?qū)ΨQ的.除此之外,本文基于恰當分裂,討論了其收斂性.

    1 奇異線性系統(tǒng)的右預(yù)處理子

    基于線性方程組(1)的系數(shù)矩陣A的分裂所誘導(dǎo)的分裂迭代方法,稱為定常迭代法.對于系統(tǒng)(1)的系數(shù)矩陣,當A是非奇異矩陣時,基于A的分裂:A=M-N,假設(shè)M可逆,則其迭代格式為xk+1=M-1Nxk+M-1b,k=0,1,2,…,稱M為預(yù)處理子;當系數(shù)矩陣A是奇異矩陣時,A-1不存在,因此奇異矩陣M作為預(yù)處理子更合理.經(jīng)過右預(yù)處理后的矩陣使得預(yù)處理后的線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣是值域?qū)ΨQ的,且 index(A?)=1,然后用GMRES方法進行求解.

    設(shè)用一個奇異矩陣M作為線性系統(tǒng)(1)的右預(yù)處理子,則通過它預(yù)處理后的系統(tǒng)為:

    通過求解(3)來求解(1).

    定義3A的分裂:為恰當分裂.

    注意:如果A和M是非奇異的,那么由A所誘導(dǎo)的分裂均為恰當分裂.

    證明:先證明1).

    首先有

    由N(A)=N(M),則

    由r(BM)≤r(B),可得

    再證2).

    首先有N(M+) ?N(AM+),由1)可得

    由N(M+)=N(MT),可得N(AM+)=N(MT).

    證畢.

    當原方程組的系數(shù)矩陣不是值域?qū)ΨQ的,那么經(jīng)過預(yù)處理后方程組的系數(shù)矩陣是否是值域?qū)ΨQ的呢?或者當原方程組的系數(shù)矩陣是值域?qū)ΨQ的,那么經(jīng)過預(yù)處理后方程組的系數(shù)矩陣是否依舊是值域?qū)ΨQ的呢?如下定理給出預(yù)處理系統(tǒng)的系數(shù)矩陣保持值域?qū)ΨQ的充要條件.

    定理2 如果A是值域?qū)ΨQ矩陣,N(A)=N(M),那么AM+是值域?qū)ΨQ矩陣,當且僅當M是值域?qū)ΨQ的.

    證明:由定理1知,N((AM+)T)=N(AT),N(AM+)=N(MT).

    由A是值域?qū)ΨQ矩陣,則N(A)=N(AT).又由N(A)=N(M),有N(M)=N(AT).則N((AM+)T)=N(AM+),當且僅當N(M)=N(MT).

    證畢.

    進一步,由如下定理說明對任一系數(shù)矩陣A,經(jīng)恰當分裂后的預(yù)處理系統(tǒng)的系數(shù)矩陣均為值域?qū)ΨQ的.

    定理3 如果A=M-N是恰當分裂,那么AM+是值域?qū)ΨQ的.

    證明:由定理1知:N((AM+)T)=N(AT),N(AM+)=N(MT).由于A=M-N是恰當分裂,則R(A)=R(M),N(A)=N(M),N((AM+)T)=N(AM+),即AM+是值域?qū)ΨQ矩陣.

    證畢.

    引理2[7]對于線性系統(tǒng)(1)應(yīng)用GMRES,初始迭代向量x(0)∈R(A),如果A是值域?qū)ΨQ的,那么GMRES在終止時決定的解為:x*=A+b.

    定理4A=M-N是一個恰當分裂,對預(yù)處理后的系統(tǒng)(3)應(yīng)用GMRES,初始迭代向量y(0)∈R(A),那么GMRES在終止時決定的解為:x*=A+b.

    由引理2知,若y(0)∈R(AM+),則GMRES在終止時決定的解為:y*=(AM+)+b.

    下證R(AM+)=R(A),x*=M+y*=M+(AM+)+b=A+b.

    再證(AM+)+=MA+.

    由于A=M-N是恰當分裂,則R(A)=R(M),N(A)=N(M),R(AT)=R(MT).

    又由R(M+M)=R(MT)=R(M+),則M+M是R(M+)上的正交投影.

    同理,A+A是R(A+)上的正交投影.

    遠程教育理念核心在于實現(xiàn)教學(xué)過程中教師與學(xué)生的時空分離,此理念在節(jié)省教育資源,促進教育公平發(fā)展的同時,也使得學(xué)習(xí)過程更具自主和靈活,滿足不同水平學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的充分理解,即契合“掌握學(xué)習(xí)”理論的一般原理。慕課、微課以及雨課堂等迅速成長,成為當下教育信息化的重要方式。但簡單地將傳統(tǒng)課堂數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)化就能取得績效是不切實際的。實現(xiàn)在線教育優(yōu)勢,教師核心素養(yǎng)是保證教學(xué)質(zhì)量,實現(xiàn)信息化教育有效推進的重要因素。

    證畢.

    2 恰當分裂的特征

    由上節(jié)內(nèi)容可知,對于任意一致的奇異線性系統(tǒng),我們都可以基于恰當分裂的預(yù)處理GMRES方法得到廣義逆解A+b,即基于恰當分裂選擇預(yù)處理.在本節(jié)中,我們進一步討論恰當分裂的特征及其它刻畫,同時我們還討論了恰當分裂條件下預(yù)處理系統(tǒng)系數(shù)矩陣的譜性質(zhì).

    首先,R(A)=R(M)當且僅當存在一個非奇異矩陣P1使得M=AP1,N(A)=N(M),當且僅當存在一個非奇異矩陣P2使得M=P2A.進一步,恰當分裂可由下述命題等價刻畫.

    命題1A=M-N稱為A的恰當分裂,當且僅當存在非奇異矩陣P1,P2使得M=AP1=P2A.

    線性系統(tǒng)(1)的系數(shù)矩陣A,A∈Rn×n,r=rank(A) <n,Berman等[8]通過下面A的分解來描述恰當分裂:

    其中,A11是秩為r的非奇異矩陣,P和Q是置換矩陣.

    引理3[8]A由(4)式給出,那么A=M-N是一個恰當分裂,當且僅當

    其中,M11是秩為r的矩陣.

    引理4[6]矩陣A由(6)式給出,那么A=M-N是恰當分裂,當且僅當

    其中,R是一個秩為r的非奇異矩陣,且

    引理5[9]矩陣A和矩陣M分別由(6)式和(7)式給出,那么

    當線性系統(tǒng)(1)的系數(shù)矩陣非奇異時,假設(shè)M可逆,則A=M-N是恰當分裂,其迭代格式位:x(k+1)=M-1Nx(k)+M-1b,有如下經(jīng)典結(jié)論成立:

    進一步,當M不可逆時,有如下定理對這一結(jié)論加以推廣.

    定理5 矩陣A和矩陣M分別由(6)式和(7)式給出,A=M-N是恰當分裂,那么

    證明:由A=M-N是恰當分裂,則N(A)=N(M),N(AM+)=N(M+),易證R(A+)=

    令(λ,y)是AM+的特征對,則λ≠0,y≠0,故AM+y=λy≠0.

    由N(AM+)=N(M+),則M+y≠0,即

    由于A+A是R(A+)上的正交投影,有

    所以λ是的特征值,即λ是的特征值.

    證畢.

    3 結(jié) 論

    通過GMRES方法求解奇異線性系統(tǒng)Ax=b,是目前解決大型稀疏線性系統(tǒng)最流行的方法之一.研究表明:A無論是不是值域?qū)ΨQ矩陣,當找到預(yù)處理子M使得A=M-N是一個恰當分裂,則預(yù)處理后的系統(tǒng)的系數(shù)矩陣是值域?qū)ΨQ的,那么GMRES將收斂到一個解;同時,x*=A+b是Ax=b在y(0)∈R(A)中的唯一解.在某種程度上,我們解決一個奇異的線性系統(tǒng),就像解決一個局部的非奇異線性系統(tǒng)一樣,或者用局部的非奇異化來求解一個奇異的線性系統(tǒng).對于求解奇異線性系統(tǒng),在恰當分裂條件下,我們已經(jīng)推導(dǎo)出存在左預(yù)處理子使得R(M+A)=R((M+A)T),存在右預(yù)處理子使得R(AM+)=R((AM+)T).進一步,利用本文的理論結(jié)果,為尋求左、右全局預(yù)處理子P、Q使得提供了可能性,這也將是我們下一步的研究工作.

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