一個非齊次核Hilbert型不等式的推廣

有名輝

(浙江機電職業(yè)技術學院數(shù)學教研室，浙江杭州 310053)

為了行文方便，約定下文中的p,q滿足設M為實數(shù)集R中的L可測集，是定義在M上的非負可測函數(shù)，定義

特別地，當γ(x)=1時，簡記

式（1）就是著名的Hilbert不等式[1]，其中π是滿足式（1）的最佳常數(shù)因子．與式（1）相對應的有如下基本的非齊次的Hilbert型不等式[2]：

近20年來，通過不斷對變量加入?yún)?shù)，并引入β-函數(shù)等特殊函數(shù)，兼考慮離散、半離散、齊次、非齊次、多維等情形，研究者們探究了式（1）的各種推廣、類比、加強[2-8]，建立了大量形式精美、結構精巧的Hilbert型不等式．

順便指出，在積分核函數(shù)構造的過程中，遇到負因子，研究者們通常采取加絕對值的方式，保證核函數(shù)為正[2]，如：

1 引 理

證明：經(jīng)過簡單的變量替換，可得

其中，

類似可得，

結合式（5）―（7），可知

由于可展開成如下部分分式[9]，

令x=πγ，并結合式（8），可得式（4）．

以及

證明：令xy=t，可得

故由引理1，可得

把式（12）代入到式（11），即得式（9）．同理，可得式（10）．

2 主要結論

證明：由H?lder不等式[10]及引理2，得

若式（14）等號成立，那么一定有不全為零的實數(shù)K1與K2，滿足

即，

于是，有常數(shù)A，使得：

不妨假設K1≠0，則，a. e.于這與顯然矛盾，故式（14）不可取等號．

接下證明式（13）中的常數(shù)因子是最佳值．事實上，若此常數(shù)不是最佳，則必有更小實數(shù)k，滿足

使得式（13）中的常數(shù)因子替換為k后不等式依舊成立，即

作變量替換xy=u，由Fubini定理[9]，可知

令ε→0，并利用式（12），可得

把式（17）代入式（18），并令ε→0，則顯然矛盾．故式（13）中的系數(shù)因子為最佳值．定理1證畢．

在定理1中，令β2=2β1，注意到則有推論1．

特別地，若再取p=q=2，則可得式（2）．

在推論1中，若β1＞1，令β=0，則則式（19）可轉化為

在定理1中，令β2=3β1，則有推論2．

式（21）是文獻[2]第311頁中結論的一個補充．在式（21）中，若令此時式（21）可轉化為

在式（22）中，令此時式（22）轉化為

賦予參數(shù)其它的數(shù)值，仍然可以得到一些新的有意義的不等式，在此不再贅述．