最小二乘估計量優(yōu)于工具變量估計量的一個充分條件

王義鬧

(溫州大學數(shù)理學院，浙江溫州 325035)

考慮隨機解釋變量問題：

式中，b0,1b為常數(shù)，x為隨機解釋變量，u為隨機誤差項，x與u線性相關(guān)．

我們知道，對(x,u)的容量為n的簡單隨機樣本

有

參數(shù)1b的最小二乘（OLS）估計量

不是一致估計量；參數(shù)1b的工具變量（IV）估計量

是一致估計量，其中w是x的工具變量[1]．因此，只要樣本容量足夠大，就一定有：

上述結(jié)論也意味著，樣本容量不夠大時，上式不一定成立．本文進一步給出了樣本容量確定時，

成立的一個充分條件，即最小二乘估計量優(yōu)于工具變量法估計量的一個充分條件．

1 工具變量法估計量與最小二乘估計量的誤差分析

對x的任一工具變量w，參數(shù)1b的工具變量估計量

式中，

為工具變量w與隨機誤差項u的樣本相關(guān)系數(shù)，

為工具變量w與隨機解釋變量x的樣本相關(guān)系數(shù)．再記樣本標準差

則由（8）式可見，參數(shù)1b的工具變量估計量的絕對誤差為：

因此，當我們選取的解釋變量的樣本觀察值越分散，工具變量與隨機解釋變量的樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越大時，誤差越?。?/p>

參數(shù)1b的最小二乘估計量為：

其中

為隨機解釋變量x與隨機誤差項u的樣本相關(guān)系數(shù)，于是最小二乘估計量的絕對誤差為：

故有下面引理1．

引理1 當

時，工具變量估計量的絕對誤差小于最小二乘估計量的絕對誤差，否則，最小二乘估計量更好．

2 工具變量估計量的絕對誤差較小的概率

1915年Fisher找到了樣本相關(guān)系數(shù)的精確分布[2]：

在X,Y服從二維正態(tài)分布，相關(guān)系數(shù)的假設下，當樣本容量n≥3時，樣本相關(guān)系數(shù)rXY的概率密度為：

其中v=n-2是自由度．

據(jù)此對不同樣本容量n，可求得0.75分位數(shù)x0.75使

定理1 設工具變量w與隨機干誤差項u服從二維正態(tài)分布樣本容量則工具變量估計量的絕對誤差小于OLS估計量的絕對誤差的概率為：

證明：由于工具變量w與隨機干擾項u服從二維正態(tài)分布，樣本容量n≥3，且工具變量w與隨機干擾項u不相關(guān)，所以樣本相關(guān)系數(shù)rwu的概率密度為（14）式，再由引理1知，工具變量估計量的絕對誤差小于OLS估計量的絕對誤差的概率為：

再由（13）式可知，上式意味著工具變量估計量的絕對誤差小于OLS估計量的絕對誤差的概率大于0.5；當時，

上式意味著OLS估計量的絕對誤差小于工具變量法估計量的絕對誤差的概率大于0.5．

為查閱方便，將根據(jù)（14）式計算的樣本相關(guān)系數(shù)的0.75分位數(shù)x0.75列于表1．

表1 樣本相關(guān)系數(shù)的0.75分位點

由定理1及表1可見，當樣本容量為10時，如果|rwxrxu|大于0.242，則工具變量法估計值優(yōu)于OLS估計值的概率大于0.5，我們應該應用工具變量法估計參數(shù)；如果|rwxrxu|小于0.242，就應該用最小二乘法估計參數(shù)．而當樣本容量為100時，哪怕解釋變量與隨機干擾項u的樣本相關(guān)系數(shù)小到只有0.1，只要|rwxrxu|大于0.068，應用工具變量法估計參數(shù)仍然優(yōu)于最小二乘法．

在實際問題中，隨機干擾項u的取值觀察不到，無法驗證是否成立．但是，由于可以由觀察值計算，如果就必有應該用最小二乘法估計參數(shù)．這個結(jié)論就是定理1的一個推論：

推論1給出了一個判斷最小二乘法估計量優(yōu)于工具變量法估計量的充分條件，實際問題中這一充分條件是否滿足，很容易通過計算隨機解釋變量與其工具變量之間的樣本相關(guān)系數(shù)判斷．