揭示隱含條件的幾個藏身地

浙江省嘉興市嘉善第二高級中學(xué) (314100) 孫洪梅

在某些數(shù)學(xué)命題的題設(shè)中，已知條件或欲求結(jié)論中還可能隱含某些信息，或在解題過程中所得到的結(jié)論也隱蔽著大小關(guān)系、取值范圍等，我們稱之為“隱含條件”.在解題中，如果我們不能及時披露題目中隱含條件，一般會造成解題錯誤或者解題過程繁瑣，亦或者認(rèn)為題目缺少條件而束手無策.針對此類問題，本文通過舉例分析，揭示隱含條件的一般藏地及如何尋找隱含條件，供讀者朋友參考.

一、隱含在數(shù)學(xué)概念中

許多概念都是定義在相關(guān)條件上的，遇到這些概念就應(yīng)該聯(lián)想到建立此概念所必須滿足的條件，關(guān)注這些條件并合理運用非常重要.

例1 設(shè)A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=0}，若A∪B=A，求實數(shù)a的值.

例2 設(shè)鈍角三角形的三邊長分別為k、k+1、k+2，求實數(shù)k的取值范圍.

解析：設(shè)最大邊k+2所對的角為θ，則θ必為鈍角，故有cosθ<0，由余弦定理得，cosθ=

評注：這里容易忽視“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這一構(gòu)成三角形的重要條件，造成錯解.

二、隱含在數(shù)學(xué)公式中

一些數(shù)學(xué)公式必須在一定條件下才能得到，在使用這個公式時要考慮使用條件，不可盲目套用.

例3 已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2n2+1，求通項公式an

評注：對于Sn-1來說，蘊含著條件n≥2，所以關(guān)系式an=Sn-Sn-1在n≥2時對任何數(shù)列都適用，但當(dāng)n=1時不適用，即不要忘記對n=1進行驗證.

例4 已知a>0，求函數(shù)y=(sinx+a)(cosx+a)的最大值和最小值.

三、隱含在已知條件中

在一些題目中，條件比較隱晦，不能一眼看透，需要加強分析、特值探求，或有意識的反思等方法找到條件.

例5 已知3sin2α+2sin2β=2sisα,求sin2α+sin2β的取值范圍.

評注：在本解法中，利用特殊值進行驗證獲得了f(1)=1這一隱含信息，得到了關(guān)于系數(shù)a、b、c的一個關(guān)系式，這是破題的關(guān)鍵所在.

四、隱含在待求結(jié)論中

如果題目的條件簡單，而欲求結(jié)論相對復(fù)雜，通過化簡、變形這個結(jié)論就可以挖出當(dāng)中所含的條件或提示.

評注：有些數(shù)學(xué)題中隱含著等式關(guān)系，它提示了該數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，挖掘出這些隱含的等式關(guān)系，就是我們解答此問題的切入點.

例8 △ABC的三邊a，b，c和面積S滿足關(guān)系S=c2-(a-b)2，且a+b=2，求面積S的最大值.

評注：題中要求的是三角形面積的最大值，何時取最大是問題的關(guān)鍵，所以首先根據(jù)題意從題設(shè)中挖掘出角C的取值情況非常重要.

五、隱含在圖象、圖形中

有一些幾何圖形、幾何體粗看上去不易理解，但通過連輔助線、拆分圖形，把已知條件進行整合，就能找出隱含的關(guān)系或結(jié)論.

A．0 B．3 C．-3 D．3或-3

評注：由于題設(shè)中只有一個條件，故需研究三角函數(shù)圖象的特征，再充分運用這個條件，這樣就撇開了參數(shù)ω、φ，進行整體分析，整體求解.

例10 如圖1，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E、F分別為AA1與CC1的中點，求四棱錐A1-EBFD1的體積.

圖1

解析：容易求出EB=BF=FD1=D1E=

評注：本題中直接求體積比較困難，但通過分割、換底變高轉(zhuǎn)化，將難以計算的底與高轉(zhuǎn)化為已知的底與高的三棱錐，這就是挖出了幾何圖形中所隱含條件，從而使問題輕松化解.

六、隱含在解題過程中

在解題過程中可能得到許多的中間結(jié)論，若能及時發(fā)現(xiàn)，及時利用，可簡化解題過程，提高解題的正確率.

評注：在對條件的化簡變形中，及時的抓住2sinαcosα<0這個隱含條件，確定了sinα- cosα的取值，從而避免了增解的發(fā)生.

例12 設(shè)A和B為拋物線y2=4px(p>0)上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.

評注：在解題過程中，得到了直線AB過定點Q(4p,0)，再由OM⊥MQ，根據(jù)圓的定義直接得出點M的軌跡方程，不放過這個解題途中獲得隱含條件是破題關(guān)鍵.