一道橢圓試題的教學(xué)探究及其啟示*

江蘇省姜堰第二中學(xué) (225500) 史記祥 朱傳美

圓錐曲線的魅力經(jīng)久不衰，歷史上眾多數(shù)學(xué)些結(jié)論家為之癡迷、陶醉.筆者在講授此章節(jié)時(shí)，時(shí)常就某些結(jié)論引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一些引申、探究，得到了一些有價(jià)值的結(jié)論.通過這樣的探究過程，很好地培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索精神，有效地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

師：這是在眾多高三復(fù)習(xí)資料中常見的一道經(jīng)典的試題，其證明方法并不復(fù)雜.我們感興趣的并不在于本題的解法，而在于本題的引申及探究.

師：哪位同學(xué)來證明一下？(老師拋磚引玉，先給出引申1)

教室里安靜片刻后.

生1(板書)：

圖1

師：很好！我們這里把短軸兩端點(diǎn)拓展為關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，原有結(jié)論仍然成立.那引申能否繼續(xù)？(老師很自然地把問題拋給學(xué)生)

眾生積極思考，躍躍欲試.

生2(板書)：

生3(板書)：

生4：證明呢？

生2、生3(害羞)：我們只是猜想，還沒證出來.

師：根據(jù)我們以往的經(jīng)驗(yàn)，這兩個(gè)命題應(yīng)該都是真命題，但課堂上時(shí)間有限，留給大家課后完成.

師(補(bǔ)充相關(guān)知識)：人們常稱x軸上的橫坐標(biāo)乘積為定值a2的兩個(gè)點(diǎn)為一對“伴侶點(diǎn)”，因?yàn)樗鼈兛偸浅蓪Τ霈F(xiàn)，而且相處的很和諧.

眾生：哦！原來如此.

至此，學(xué)生的探究熱情已被老師高高地燃起，都在積極思考著.

生5(板書)：

圖2

生5：A、B就是橢圓在x軸上的一對“伴侶點(diǎn)”.此命題也提供了“伴侶點(diǎn)”的一種作法.

生5(板書)：

證明：如圖2，設(shè)D(m1,n1)、E(m1,-n1)、F(m2,n2)、C(m2,-n2) (|m1|≠|(zhì)m2|)，則易得A、B兩點(diǎn)都在x軸上且橫坐標(biāo)分別為

師：生5利用橢圓的對稱性把原有圖形補(bǔ)充為橢圓的一個(gè)內(nèi)接等腰梯形，從而發(fā)現(xiàn)了“伴侶點(diǎn)”的一種作法，看來探究很有收獲.

探究仍在繼續(xù)，眾生忙碌，老師巡視！

生6(板書)：

師：看著應(yīng)該是個(gè)真命題，下面就來證證看.

可此命題的證明難度很大，一時(shí)間，教室里炸開了鍋，討論很是熱烈，因?yàn)槔蠋熞膊恢趺醋C，就時(shí)不時(shí)地加入到各個(gè)討論群，但轉(zhuǎn)眼十多分鐘過去了，還是沒有成功.

師：這個(gè)命題的證明確實(shí)很難，就留待我們課后繼續(xù)探討，下面請大家再想想，能否再給出更多引申.

生7(板書)：

生7：A、B就是橢圓在y軸上的一對“伴侶點(diǎn)”.

師：很好.能證明嗎？

仿前面的證明，眾生很快就解決了！

師：厲害，這么快就學(xué)會(huì)模仿了.

眾生大笑.

生8：那么在平行于坐標(biāo)軸的直線上也有“伴侶點(diǎn)”嗎？我正在找，可還沒找著.

師：好，下面我們就一起來幫他找.

在師生的共同努力下，很快又得到如下引申.

下課鈴已經(jīng)響了，但探究還在繼續(xù)……

第二天上課時(shí)，筆者還了解到:學(xué)生早已解決了引申2、引申3及引申5的證明，并且還把相關(guān)結(jié)論向雙曲線及拋物線做了推廣，筆者驚喜地發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓的積極性大漲，當(dāng)然，第二天的數(shù)學(xué)課堂氣氛很好，效率也非常高.

結(jié)束語

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要凸顯學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生勇于探索，親身感受或經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生歷程，而我們的教師往往顧忌教學(xué)效果，拘泥于教學(xué)計(jì)劃，而不敢放開手讓學(xué)生自發(fā)地提出問題，共同解決問題.傳統(tǒng)的教學(xué)中教師的認(rèn)真教，學(xué)生的照著學(xué)，充其量只能是一種模仿，其實(shí)，教師可以不把現(xiàn)成的結(jié)論和方法直接告訴學(xué)生，而應(yīng)讓學(xué)生自己對學(xué)習(xí)的對象進(jìn)行探索、研究，自己去獲得.課堂上，教師只能是組織者、指導(dǎo)者和參與者，教師只能起到主導(dǎo)、指導(dǎo)、向?qū)Ш吐窐?biāo)的作用；學(xué)生才是主體，是學(xué)習(xí)研究的探索者、創(chuàng)新者和實(shí)踐者，而教師的作用就是在教學(xué)過程中要為學(xué)生營造一個(gè)寬松、和諧、積極、民主的學(xué)習(xí)環(huán)境，使每位學(xué)生都能成為問題的探索者、研究者和發(fā)展者.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升可以落實(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面，老師要做學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的指導(dǎo)者，引路人，積極創(chuàng)造研究氛圍濃厚的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的強(qiáng)烈欲望，促成學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的快速提升.