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    圓中易錯(cuò)點(diǎn)分析

    2021-06-07 05:30:42耿恒考特級(jí)教師
    初中生世界 2021年19期
    關(guān)鍵詞:錯(cuò)因圓周角勾股定理

    文 耿恒考(特級(jí)教師)

    “圓”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,也是許多同學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。由于對(duì)“圓”的認(rèn)識(shí)、理解和掌握難度較大,因此,同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中應(yīng)及時(shí)匯總自己的常錯(cuò)問題,精心選擇有代表性的題目,通過細(xì)心分析歸納來化解難點(diǎn)。

    一、忽略了點(diǎn)與圓的不同位置關(guān)系

    例1平面內(nèi)有一個(gè)⊙O和一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最大距離為8cm,最小距離為2cm,求⊙O的半徑長。

    【錯(cuò)因分析】對(duì)于這個(gè)問題,同學(xué)們更多的關(guān)注點(diǎn)在“點(diǎn)到圓上的最大距離和最小距離”上,無暇顧及點(diǎn)與圓的不同位置關(guān)系,往往只會(huì)考慮點(diǎn)P在圓外的一種情況,而忽略了點(diǎn)P在圓內(nèi)的情形。

    【正確解答】當(dāng)點(diǎn)P在⊙O外時(shí)(如圖1),直線PO交⊙O于點(diǎn)A、B,點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最大距離PB=8cm,最小距離PA=2cm,所以⊙O的半徑r=3cm;當(dāng)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)時(shí)(如圖2),直線PO交⊙O于點(diǎn)A、B,點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最大距離PB=8cm,最小距離PA=2cm,所以⊙O的半徑r=5cm。

    圖1

    圖2

    二、忽略了一條弦所對(duì)的弧有兩條、所對(duì)的圓周角有兩組

    例2如圖3,AB是直徑為8cm 的⊙O的一條弦,如果AB=4cm,那么弦AB所對(duì)的弧長為______,弦AB所對(duì)的圓周角為______°。

    圖3

    【錯(cuò)因分析】同學(xué)們關(guān)注較多的是劣弧,往往忽略一條弦所對(duì)的弧有兩條,且兩條弧的和為一個(gè)圓周長;一條弦所對(duì)的圓周角有兩組,且它們是互補(bǔ)關(guān)系。

    【正確解答】⊙O中弦AB所對(duì)的劣弧長為,弦AB所對(duì)的優(yōu)弧長為?!袿中弦AB所對(duì)的圓周角為30°或150°。

    三、忽略了弦與圓心的不同位置關(guān)系

    例3已知,內(nèi)直徑為100cm 的下水管道的橫截面是圓,截面圓中水面的寬度為80cm,求管道內(nèi)水面的深度。

    【錯(cuò)因分析】同學(xué)們的思維常將水面定位于圓心的下方(如圖4),忽視了水面在圓心上方的情形(如圖5)。

    【正確解答】如圖4、圖5,過點(diǎn)O作OD⊥AB,垂足為點(diǎn)C,交⊙O于點(diǎn)D,則AC=BC=40cm。連接OA,根據(jù)勾股定理,得OC=。

    圖4

    圖5

    當(dāng)水面在圓心O的下方時(shí),管道內(nèi)水面的深度為50-30=20(cm);

    當(dāng)水面在圓心O的上方時(shí),管道內(nèi)水面的深度為50+30=80(cm)。

    例4已知,線段AB、CD是半徑為5cm的⊙O中的兩條弦,且AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,求兩條弦AB、CD之間的距離。

    【錯(cuò)因分析】對(duì)于這類問題,同學(xué)們習(xí)慣于關(guān)注兩條平行弦在圓心同側(cè),忽略了兩條平行弦在圓心異側(cè)的情形,導(dǎo)致漏解。

    【正確解答】如圖6、圖7,過點(diǎn)O作OE⊥AB,垂足為點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,則OF⊥CD,則AE=3cm,CF=4cm。連接OA、OC,根據(jù)勾股定理,得3(cm)。

    圖6

    圖7

    當(dāng)平行弦AB、CD在圓心O的同側(cè)時(shí),弦AB、CD之間的距離為4-3=1(cm);

    當(dāng)平行弦AB、CD在圓心O的異側(cè)時(shí),弦AB、CD之間的距離為4+3=7(cm)。

    四、忽略了圓的軸對(duì)稱性質(zhì)

    例5已知⊙O的半徑為5cm,AB為直徑,弦CD⊥AB,垂足為點(diǎn)E,CD=6,求AC的長。

    【錯(cuò)因分析】對(duì)于這個(gè)問題,根據(jù)題意,同學(xué)們習(xí)慣于畫出圖8,而忽略了與之對(duì)稱的圖9。

    圖8

    【正確解答】如圖8,連接AC、OC。根據(jù)勾股定理,得OE=4cm,AE=5-4=1(cm)。在Rt△AEC中,由勾股定理得。如圖9,連接AC、OC。根據(jù)勾股定理,得OE=4cm,AE=5+4=9(cm)。在Rt△AEC中,由勾股定理,得。

    圖9

    本題也可以通過連接AC、OC、BC,利用相似三角形或射影定理來解決。

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