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    厘清線角關(guān)系 巧破易錯痛點

    2021-06-07 05:30:42徐菊萍
    初中生世界 2021年19期
    關(guān)鍵詞:內(nèi)切圓外接圓圓周角

    文 徐菊萍

    圓是涵蓋知識點較多的圖形,可以從線段、角、多邊形等直線圖形擴充到弧、扇形等曲線圖形。如果將圓與各類直線圖形結(jié)合,我們能構(gòu)造出更復(fù)雜的圖形。如何有效解決圓中的易錯問題,避免失誤呢?我們可以從以下幾個方面來辨析錯誤,精準(zhǔn)解題。

    一、善用圓中弧、角、弦對應(yīng)關(guān)系解決圓中線角關(guān)系

    例1如圖1,AB為⊙O的直徑,C、D為⊙O上兩點,若∠BCD=40°,則∠ABD的大小為( )。

    A.60° B.50° C.40° D.20°

    【解析】很多同學(xué)可能因為找不到∠BCD與∠ABD的關(guān)系而不能求解。因為圖中有“圓周角”,關(guān)于圓周角有兩個基本圖形,因此可以從以下兩個方向思考。

    解法一(利用同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍):連接OD,如圖2?!摺螪OB和∠BCD分別是弧BD所對的圓心角和圓周角,∴∠DOB=2∠BCD=80°,再由半徑相等,所以在等腰△DOB中,∠ABD=50°。故選B。

    圖2

    解法二(利用直徑所對的圓周角是直角,同弧所對圓周角相等):連接AD,如圖3?!逜B為⊙O的直徑,∴∠ADB=90°。∵∠A和∠BCD都是弧BD所對的圓周角,∴∠A=∠BCD=40°,∴∠ABD=90°-40°=50°。故選B。

    圖3

    二、善用多邊形邊角關(guān)系解決圓中線角問題

    例2若正六邊形的內(nèi)切圓半徑為2,則其外接圓半徑為________。

    【解析】本題需理解兩個圓與正多邊形的關(guān)系,如果能將內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑轉(zhuǎn)化為三角形的線段關(guān)系,就能輕松破解。如圖4,連接OE,作OM⊥EF于點M,則OE=EF,EM=FM,由正六邊形的知識可知,內(nèi)切圓半徑OM=2,∠EOM=30°。在Rt△OEM中,,解得,即外接圓半徑為。

    圖4

    三、善用切線與過切點的半徑垂直解決圓中位置關(guān)系

    例3如圖5,PA是⊙O的切線,切點為A,PO的延長線交⊙O于點B,若∠P=40°,則∠B的度數(shù)為( )。

    圖5

    A.20° B.25° C.40° D.50°

    【解析】本題只有利用切線的性質(zhì),正確添加輔助線才能解決。如圖6,連接OA,可得直角△AOP和等腰△OAB,得∠B=25°。故選B。

    圖6

    四、善用空間想象力解決圓錐問題

    例4如圖7,圓錐的底面半徑r=6,高h(yuǎn)=8,則圓錐的側(cè)面積是( )。

    圖7

    A.15π B.30π C.45π D.60π

    【解析】本題易用錯圓錐側(cè)面積的公式。因為圓錐的高、母線和底面半徑構(gòu)成直角三角形,故先由r=6,h=8,得母線為10,再得圓錐的側(cè)面積=6×10π=60π。故選D。

    例5如圖8,矩形紙片ABCD中,AD=6cm。把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后,分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓,恰好能作為一個圓錐的底面和側(cè)面,則AB的長為( )。

    圖8

    A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm

    【解析】本題需理解圓錐側(cè)面與底面的關(guān)系,即側(cè)面展開圖的弧長=底面圓的周長。

    從上述例題可見,要想解決圓中的線、角問題,還要善于添加合適的輔助線。常見的輔助線有:連半徑、作弦心距、構(gòu)造直徑所對的圓周角、連過切點的半徑等。因此,我們?nèi)绻苁煜A中的基本圖形,做到心中有圖,再結(jié)合常見的數(shù)學(xué)思想方法,那么一定能輕松破解圓中的易錯問題。

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