平行軸純滾動(dòng)內(nèi)嚙合線齒輪設(shè)計(jì)方法

何迪,何恩義,殷詩(shī)浩,吳海華,杜義賢,葉喜蔥

(三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院,443002,湖北宜昌)

傳統(tǒng)工業(yè)齒輪由于齒廓形狀復(fù)雜,微小化和微納化應(yīng)用都十分困難[1-2]。2007年,陳揚(yáng)枝等提出了空間曲線嚙合理論,通過(guò)空間曲線構(gòu)造“簡(jiǎn)單實(shí)體”替代傳統(tǒng)齒輪以空間復(fù)雜曲面構(gòu)造的三維“復(fù)雜實(shí)體”,實(shí)現(xiàn)了齒輪占用空間的最小化設(shè)計(jì)[3-4]。如圖1所示,早期線齒輪以鉤桿和圓柱基體組成懸臂梁結(jié)構(gòu),應(yīng)用于輕載條件下的傳動(dòng)裝置。近年來(lái),許多學(xué)者開(kāi)展了基于空間曲線嚙合的齒輪設(shè)計(jì)研究。陳揚(yáng)枝等推導(dǎo)了斜交軸和交錯(cuò)軸線齒輪的基本設(shè)計(jì)公式并構(gòu)建了線齒輪樣本[5-6],在后續(xù)工作中,通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了傳動(dòng)的平穩(wěn)性和連續(xù)性。陳兵奎等建立了沿任意接觸角方向的嚙合方程等式,并提出用等距包絡(luò)法構(gòu)建管狀齒面[7-8]。姚莉等提出了一種滿足常規(guī)動(dòng)力傳遞的線齒輪設(shè)計(jì)方法,并研究了基于四軸加工中心的線齒輪加工技術(shù)[9-10]。陳禎等提出了根據(jù)嚙合線函數(shù)來(lái)主動(dòng)設(shè)計(jì)共軛曲線,并介紹了圓柱齒輪[11]、相交軸齒輪[12]和齒輪齒條[13]的幾何設(shè)計(jì)、嚙合性能和機(jī)械性能。上述的研究主要集中在外嚙合傳動(dòng)領(lǐng)域,針對(duì)內(nèi)嚙合線齒輪的研究較少,導(dǎo)致現(xiàn)階段線齒輪機(jī)構(gòu)在輪系裝置的應(yīng)用受到限制。

圖1 線齒輪樣件[4]Fig.1 Sample of line gear

在齒廓嚙合時(shí),由于接觸點(diǎn)的速度大小和方向不同會(huì)導(dǎo)致齒廓之間存在相對(duì)滑動(dòng),造成齒面磨損、節(jié)點(diǎn)沖擊和噪聲等不利因素[14]。為了削弱相對(duì)滑動(dòng)帶來(lái)的負(fù)面影響,早在20世紀(jì)初,Grant提出使齒頂高趨近于0,僅通過(guò)軸向重合來(lái)確保傳動(dòng)的連續(xù)性,使兩齒輪僅在節(jié)點(diǎn)處嚙合以實(shí)現(xiàn)純滾動(dòng)嚙合。由于傳遞動(dòng)力微乎其微,中心距稍大便會(huì)脫嚙,故未得到實(shí)際應(yīng)用。黃錫愷團(tuán)隊(duì)提出,一對(duì)純滾齒廓應(yīng)只在節(jié)點(diǎn)接觸、在齒輪的其他旋轉(zhuǎn)位置均不接觸,純滾動(dòng)齒廓應(yīng)位于漸開(kāi)線等共軛齒廓曲線內(nèi)部,并找到多種簡(jiǎn)單實(shí)用的純滾齒廓曲線,研制出了系統(tǒng)的純滾齒輪[15-16]。宜亞麗等基于五次多項(xiàng)式類(lèi)曲線的無(wú)剛、柔性沖擊等特點(diǎn),設(shè)計(jì)了激波器齒形,實(shí)現(xiàn)純滾動(dòng)活齒任意齒差等速共軛傳動(dòng)[17]。譚儒龍等研究了純滾動(dòng)接觸的擺線錐齒輪,并通過(guò)現(xiàn)有面滾齒工藝加工樣品進(jìn)行實(shí)驗(yàn),使用純滾動(dòng)擺線錐齒輪的齒輪箱可以實(shí)現(xiàn)更高的傳輸效率[18]。

為了擴(kuò)展線齒輪的嚙合傳動(dòng)形式,減小齒廓相對(duì)滑動(dòng)的負(fù)面影響,本文基于空間曲線嚙合理論,研究一種平行軸純滾動(dòng)內(nèi)嚙合線齒輪機(jī)構(gòu)。分析了內(nèi)嚙合線齒輪純滾動(dòng)嚙合的條件,并構(gòu)建了3種接觸形式的齒面數(shù)學(xué)模型。根據(jù)數(shù)學(xué)模型,構(gòu)建線齒輪副實(shí)體模型,并驗(yàn)證線齒輪副的傳動(dòng)平穩(wěn)性。

1 建立共軛接觸線

建立空間右手坐標(biāo)系,如圖2所示。E為線齒輪副安裝中心距,夾具坐標(biāo)系O-x0y0z0、O-xpypzp記為S0和Sp。與小齒輪、齒圈固連的坐標(biāo)系O-x1y1z1、O-x2y2z2記為S1和S2。嚙合的初始時(shí)刻,與S0和Sp重合。小齒輪和齒圈分別以角速度ω1、ω2繞z0、zp軸勻速運(yùn)動(dòng),其轉(zhuǎn)向相同,經(jīng)過(guò)t步長(zhǎng),轉(zhuǎn)動(dòng)角度為θ1和θ2。在嚙合過(guò)程,空間曲線R1和R2的始終保持點(diǎn)接觸。通過(guò)坐標(biāo)變換和相關(guān)參數(shù)可得到S1到S2的變換矩陣

圖2 空間坐標(biāo)系Fig.2 Space coordinate system

M21=M2pMp0M01=

(1)

小齒輪接觸線R1在坐標(biāo)系S1下,參數(shù)方程為

(2)

式中:t為空間曲線的變參數(shù);te、ts分別表示接觸線進(jìn)入嚙合點(diǎn)和退出嚙合點(diǎn)的變參數(shù)對(duì)應(yīng)值。上標(biāo)表示矢量所在的坐標(biāo)系。

假設(shè)空間曲線R1和R2在任意嚙合時(shí)刻的接觸點(diǎn)為N(x1,y1,z1),則相對(duì)速度υ12在坐標(biāo)系S1的表達(dá)式[19]為

(3)

式中:E為O1到O2的矢量,它的模為線齒輪副中心距E。方程中的各個(gè)矢量在S1中可表示為

(4)

由空間曲線嚙合理論[3],可得一對(duì)共軛曲線在任意點(diǎn)的嚙合方程為

(5)

式中:β為小齒輪、齒圈上接觸線在接觸點(diǎn)N的主法失,可通過(guò)下式計(jì)算

(6)

由式(5)可解得轉(zhuǎn)角θ與t之間的關(guān)系

θ1=f(t);i21=θ2/θ1

(7)

根據(jù)式(1)(5)和(6),得到小齒輪接觸線R2在坐標(biāo)系S2下的參數(shù)方程為

(8)

為了可以得到在嚙合過(guò)程沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)的一對(duì)共軛曲線,需要保證在嚙合過(guò)程中任意嚙合點(diǎn)的相對(duì)速度為0,即

(9)

由式(4)可知,在任意嚙合時(shí)刻,嚙合點(diǎn)N的相對(duì)速度在S1中可表示為

(10)

通過(guò)式(1)～(10),可以得到純滾動(dòng)內(nèi)嚙合平行軸線齒輪副的一對(duì)共軛曲線。

2 純滾動(dòng)齒面構(gòu)建

2.1 齒面方程

以接觸線R1、R2上的點(diǎn)做為坐標(biāo)原點(diǎn)、夾具坐標(biāo)系S、Sp的基矢量作為x、y、z軸,建立齒廓坐標(biāo)系OS-xsecyseczsec、OS-xsec2ysec2zsec2(簡(jiǎn)寫(xiě)為δ1、δ2)。在嚙合點(diǎn)N處,小齒輪和齒圈的齒廓截面如圖3所示,r1、r2分別為小齒輪和齒圈的齒廓截面圓弧半徑;γ是OSN與xsec軸形成的接觸角,決定接觸點(diǎn)N在圓弧上的位置。當(dāng)接觸點(diǎn)落于A、B處時(shí),會(huì)存在邊緣接觸。為減少邊緣接觸,提高齒輪的接觸強(qiáng)度,建議將接觸點(diǎn)設(shè)置在圓弧AB中點(diǎn)附近。

圖3 齒廓截面圓弧Fig.3 The circular arc of profile cross-section

小齒輪、齒圈的齒廓截面曲線在坐標(biāo)系δ1、δ2下的參數(shù)方程分別為

(11)

(12)

式中:μ1、μ2為齒廓截面曲線方程的變參數(shù)。以小齒輪齒廓截面曲線內(nèi)側(cè)為正方向,當(dāng)齒圈齒廓截面曲線的圓心OS2在OS同側(cè)時(shí),式(12)取正號(hào);反之,取負(fù)號(hào)。符號(hào)會(huì)影響構(gòu)建齒面的凹凸性,下文將詳細(xì)討論。

如圖4所示,圓弧齒面是由齒廓截面曲線沿軸向的螺旋運(yùn)動(dòng)形成,其齒面方程可表示為

圖4 齒面接觸線和圓弧截面關(guān)系示意圖Fig.4 Schematic diagram of the relationship between contact curve on tooth surface and arc section

(13)

式中:i=1,2時(shí),式(13)分別表示小齒輪齒面和齒圈齒面;MSi-δi是齒廓坐標(biāo)系δi到坐標(biāo)系Si的變換矩陣。

2.2 齒面構(gòu)建

2.1節(jié)中,齒廓截面曲線方程中正負(fù)號(hào)的選擇不同,會(huì)影響齒面凹凸性。根據(jù)小齒輪和齒圈齒廓截面曲線的圓心位置和圓弧半徑r1、r2,可以構(gòu)建出3種不同接觸形式的嚙合齒面:凸凹接觸、凸凸接觸和凸平接觸。本文選取小齒輪齒廓截面曲線方程正號(hào)為例。

(1)凸凹接觸。當(dāng)式(11)取正號(hào)、式(12)取正號(hào)時(shí),小齒輪和齒圈的齒廓截面圓弧的圓心OS、OS2位于同側(cè)。此時(shí),齒圈齒面為凹齒面,接觸類(lèi)型為凸凹接觸,如圖5所示。

圖5 凸凹接觸Fig.5 Convex-concave contact

(2)凸凸接觸。當(dāng)式(11)取正號(hào)、式(12)取負(fù)號(hào)時(shí),小齒輪和齒圈的齒廓圓弧的圓心OS、OS2位于異側(cè)。此時(shí),齒圈齒面為凸齒面,接觸類(lèi)型為凸凸接觸,如圖6所示。

圖6 凸凸接觸Fig.6 Convex-convex contact

(3)凸平接觸。當(dāng)式(11)取正號(hào)、式(12)取負(fù)號(hào)且ρ2→∞時(shí),圓弧AB演變?yōu)橹本€AB,齒圈齒面變?yōu)榍衅矫?此時(shí)接觸類(lèi)型為凸平接觸,如圖7所示。

圖7 凸平接觸Fig.7 Convex-flat contact

對(duì)于3種接觸形式的齒面,由于接觸點(diǎn)的相對(duì)曲率半徑不同,其齒面接觸應(yīng)力也不相同。由赫茲接觸原理[20-21]可知,嚙合點(diǎn)的接觸應(yīng)力計(jì)算公式為

(14)

式中:qmax為最大接觸應(yīng)力;Q為外力;E1、E2分別為小齒輪和齒圈材料的彈性模量;ν1、ν2為泊松比;Σr為相對(duì)曲率半徑;“+”表示凸齒面對(duì)凸齒面的接觸形式;“-”表示凸齒面對(duì)凹齒面的接觸形式。

由式(14)可知,在相同載荷條件下,齒面接觸應(yīng)力與相對(duì)曲率半徑成反比。凸凹接觸的齒面相對(duì)曲率半徑最大,接觸應(yīng)力最小。假設(shè)E1=E2=2×105MPa,ν1=ν2=0.3,Q=20 N,r1=1 mm,r2=4 mm,將相關(guān)參數(shù)代入式(14),可得到不同接觸形式齒面的最大接觸應(yīng)力,如表1所示。由表1可知,凸凹接觸形式的齒面接觸應(yīng)力相比于凸凸接觸降低了28.95%,相比于凸平降低了19.17%。對(duì)于齒面為點(diǎn)接觸的線齒輪而言,可以有效地提高齒面接觸強(qiáng)度。因此,凸凹接觸形式的內(nèi)嚙合線齒輪副最具研究?jī)r(jià)值,也是本文所研究的主要對(duì)象。

表1 不同接觸形式的最大接觸應(yīng)力Table 1 Maximum contact stress of different contacts

3 實(shí)例分析

3.1 純滾動(dòng)內(nèi)嚙合線齒輪齒面構(gòu)建

在坐標(biāo)系S1中,小齒輪齒面接觸線R1參數(shù)方程為

(15)

式中:m為圓柱螺旋線的螺旋半徑;n為節(jié)距系數(shù)。圓柱螺旋線R1的螺旋升角為

φ1=arctan(n/m)

(16)

根據(jù)式(6),可得到R1在接觸點(diǎn)的主法矢向量

(17)

根據(jù)式(5),可得到接觸點(diǎn)的嚙合方程

(18)

通過(guò)化簡(jiǎn)式(18),可以得到t與θ1的關(guān)系為

t=θ1

(19)

聯(lián)合式(1)(7)(8)(19),可得齒圈接觸線參數(shù)方程為

(20)

若令m2=m+E,T=t/i12,式(20)可轉(zhuǎn)化為

(21)

式中:n2=i12n。

通過(guò)對(duì)比式(15)與(21)不難發(fā)現(xiàn),接觸線R1和接觸線R2參數(shù)方程形式相同,都是圓柱接觸線,并且同為右旋螺旋線,如圖8所示。圓柱螺旋線R2螺旋升角為

圖8 圓柱螺旋線Fig.8 The cylindrical helix

φ2=arctan(n2/m2)

(22)

(23)

通過(guò)化簡(jiǎn)式(23),可得到

m=E/(i12-1)

(24)

結(jié)合式(22)和(24),接觸線R2的螺旋升角可表示為

(25)

由式(24)可知,純滾動(dòng)平行軸內(nèi)嚙合線齒輪的中心距和傳動(dòng)比確定時(shí),圓柱螺旋線的螺旋半徑也隨之確定。當(dāng)中心距和螺旋半徑滿足式(24)時(shí),主動(dòng)螺旋線和從動(dòng)螺旋線螺旋升角相等。

通過(guò)上述討論,總結(jié)出選取圓柱螺旋線作為接觸線的純滾動(dòng)嚙合條件:

(1)接觸線R1和R2螺旋升角相等且旋向相同;

(2)螺旋半徑m和中心距E滿足關(guān)系式(24)。

3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

根據(jù)平行軸內(nèi)嚙合線齒輪齒面生成方法以及純滾動(dòng)嚙合條件,運(yùn)用NX8.5構(gòu)建精確的線齒輪副實(shí)體模型。本文建模的基本參數(shù)如表1所示,創(chuàng)建的線齒輪副三維實(shí)體模型如圖9所示。

表2 設(shè)計(jì)線齒輪副相關(guān)參數(shù)Table 2 Relevant parameters of line gear pair design

(a)小齒輪

重合度大于或等于1是保證齒輪連續(xù)嚙合傳動(dòng)并保證傳動(dòng)連續(xù)性和穩(wěn)定性的必要條件。本文主動(dòng)輪的齒數(shù)為6,根據(jù)文獻(xiàn)[3]的重合度計(jì)算公式,可以得到線齒輪的重合度為

(26)

當(dāng)重合度為1.5時(shí),部分狀態(tài)為2對(duì)齒參與嚙合,2對(duì)齒都是基于純滾動(dòng)條件建立的齒面,所以線齒輪副連續(xù)傳動(dòng)過(guò)程都能保持純滾動(dòng)嚙合狀態(tài)。

對(duì)安裝的線齒輪副進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真,如圖10所示。給定與小齒輪固聯(lián)的輸入軸角速度為ω1,設(shè)置小齒輪和齒圈的接觸形式為3D接觸,通過(guò)速度傳感器測(cè)得齒圈的角速度曲線ω2,如圖11所示。小齒輪角速度為10 rad/s,齒圈角速度在4.84～5.11 rad/s波動(dòng),平均傳動(dòng)比為2.00,均方差為5.1×10-4,最大變化值為0.07。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:通過(guò)本文方法構(gòu)建的純滾動(dòng)平行軸內(nèi)嚙合線齒輪機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)、連續(xù)的速度傳遞,滿足設(shè)計(jì)傳動(dòng)比需求,驗(yàn)證了齒面設(shè)計(jì)方法的可行性。相比于理論值,運(yùn)動(dòng)仿真誤差的來(lái)源有:齒面變形導(dǎo)致了瞬時(shí)接觸路徑與理論接觸路徑的偏差[22];計(jì)算機(jī)儲(chǔ)存數(shù)據(jù)長(zhǎng)度有限引入誤差,在求解時(shí),誤差隨著迭代次數(shù)放大。

圖10 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真模型Fig.10 Kinematic simulation model

圖11 小齒輪和齒圈角速度曲線Fig.11 Angular velocity curves of pinion and gear ring

4 結(jié) 論

(1)基于空間曲線共軛嚙合理論,研究了一種純滾動(dòng)內(nèi)嚙合線齒輪副的構(gòu)建方法,建立了凸凸接觸、凸凹接觸和凸平接觸的齒面數(shù)學(xué)模型。凸凹齒面曲率半徑最大,相同載荷條件下齒面接觸應(yīng)力最小。

(2)以圓柱螺旋線為例,求解了一對(duì)共軛接觸線,推導(dǎo)出了純滾動(dòng)嚙合條件:小齒輪和齒圈接觸線旋向相同、螺旋升角相等,且滿足關(guān)系式E=m(i12-1)。

(3)根據(jù)齒面方程構(gòu)建了線齒輪副模型,并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真,實(shí)驗(yàn)表明:通過(guò)本文方法構(gòu)建的平行軸純滾動(dòng)內(nèi)嚙合線齒輪機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)、連續(xù)傳動(dòng),滿足設(shè)計(jì)傳動(dòng)比需求。