重力擾動(dòng)對(duì)SINS水平姿態(tài)的影響*

安 文，許江寧，吳 苗，李 峰

(1. 海軍工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 湖北 武漢 430033； 2. 海軍研究院， 北京 100161)

慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(INS，Inertial Navigation System)是目前水下大型航行器最常用的導(dǎo)航方式，隨著慣性測(cè)量單元(Inertial Measurement Unit, IMU)精度的提升，以及對(duì)導(dǎo)航精度要求的提高，重力擾動(dòng)對(duì)INS的影響愈發(fā)凸顯[1-3]，同時(shí)，重力擾動(dòng)也成為限制慣性導(dǎo)航精度的重要因素[4]。尤其是水平重力擾動(dòng)，1 mGal水平重力擾動(dòng)約引起0.2″的水平姿態(tài)誤差[5]，而水平重力擾動(dòng)常常為幾十到一百毫伽，個(gè)別地區(qū)可達(dá)到幾百毫伽[6]。因此，有必要對(duì)重力擾動(dòng)引起的INS導(dǎo)航誤差的機(jī)理進(jìn)行研究。

文獻(xiàn)[7]將垂線偏差視為平臺(tái)傾角誤差，利用簡(jiǎn)化的垂線偏差統(tǒng)計(jì)模型推導(dǎo)了導(dǎo)航系統(tǒng)位置誤差的均方差。文獻(xiàn)[8]建立了包含重力擾動(dòng)的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)(Strapdown INS, SINS)誤差模型，仿真結(jié)果表明重力擾動(dòng)垂直方向異常分量對(duì)慣性姿態(tài)測(cè)量系統(tǒng)的影響可以忽略，垂線偏差是影響系統(tǒng)精度的主要因素。文獻(xiàn)[9]研究了擾動(dòng)引力對(duì)彈道導(dǎo)彈命中精度的影響，為補(bǔ)償?shù)厍驍_動(dòng)引力對(duì)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的影響提供了理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[10]分析了重力擾動(dòng)在定位定向系統(tǒng)中的誤差傳遞，并提出一種實(shí)時(shí)的重力補(bǔ)償方法。文獻(xiàn)[11]研究了靜基座下垂線偏差對(duì)INS初始對(duì)準(zhǔn)的影響。文獻(xiàn)[12]從重力擾動(dòng)對(duì)慣性導(dǎo)航誤差的影響機(jī)理分析入手，指出重力擾動(dòng)是影響高精度零速修正導(dǎo)航精度的最主要誤差源之一。文獻(xiàn)[13]建立了包含重力擾動(dòng)的慣導(dǎo)誤差模型，分三種情況討論了單通道下重力擾動(dòng)矢量對(duì)INS的影響。文獻(xiàn)[14]分別闡述了初始對(duì)準(zhǔn)和純慣導(dǎo)解算時(shí)，水平加速度計(jì)零偏與水平重力擾動(dòng)間的耦合效應(yīng)，重力擾動(dòng)對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)的影響等效為加速度計(jì)零偏。文獻(xiàn)[15]設(shè)計(jì)了一個(gè)INS/GNSS組合導(dǎo)航仿真軌跡發(fā)生器，但仿真中并未加入重力擾動(dòng)。

水平重力擾動(dòng)與位置相關(guān)，根據(jù)重力場(chǎng)的球諧函數(shù)模型，可以認(rèn)為水平重力擾動(dòng)是一系列與位置有關(guān)的正弦函數(shù)的疊加。當(dāng)載體發(fā)生位移時(shí)，水平重力擾動(dòng)不能視為常量作用于INS，而應(yīng)該視為一列不同幅值和頻率的正弦波，因此有必要研究INS姿態(tài)誤差與水平重力擾動(dòng)間的幅頻特性。但目前關(guān)于重力擾動(dòng)與INS姿態(tài)誤差之間關(guān)系的研究，主要存在兩方面不足：一是沒有給出運(yùn)動(dòng)條件下水平重力擾動(dòng)與INS水平姿態(tài)誤差間的誤差傳遞表達(dá)式；二是沒有研究組合導(dǎo)航模式下，重力擾動(dòng)對(duì)INS水平姿態(tài)誤差的影響。

本文以SINS為研究對(duì)象，首先推導(dǎo)了南北方向、東西方向勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，純慣性解算的水平姿態(tài)誤差與水平重力擾動(dòng)間的傳遞函數(shù)；然后繪制了常用速度和位置范圍內(nèi)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖；之后根據(jù)組合導(dǎo)航模式下的誤差傳遞結(jié)構(gòu)圖，推導(dǎo)了組合導(dǎo)航模式下水平姿態(tài)誤差與水平重力擾動(dòng)間的傳遞函數(shù)；最后分別給出VN=10 m/s，L=30°和VE=10 m/s，L=30°時(shí)傳遞函數(shù)的Bode圖，分析了純慣性解算模式和組合導(dǎo)航模式下，傳遞函數(shù)的幅頻特性，并針對(duì)如何提高SINS解算精度問題給出建議。

1 純慣性解算時(shí)的誤差傳遞函數(shù)

由于SINS高度通道發(fā)散，實(shí)際中常常引入阻尼，因此只研究水平回路。由于重力測(cè)量作業(yè)時(shí)，要求載體盡可能沿直線勻速航行，水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)可以分解為南北方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和東西方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，因此分別分析兩種方向勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)水平重力擾動(dòng)對(duì)SINS水平姿態(tài)誤差的影響。定義當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系(東-北-天)為導(dǎo)航坐標(biāo)系(n系)，SINS誤差方程為：

(1)

系統(tǒng)輸出方程為：

Y=Hx

(2)

式中：Y=(φE,φN)T為輸出量；H為2×7輸出矩陣，H1,1=1，H2,2=1。

根據(jù)式(1)和式(2)，繪制系統(tǒng)輸入、輸出間的結(jié)構(gòu)圖，如圖1所示。

圖1 式(1)和式(2)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Diagram of system described by Eq.(1) & Eq.(2)

系統(tǒng)輸入輸出間的傳遞函數(shù)為：

(3)

1.1 南北方向勻速直線運(yùn)動(dòng)

當(dāng)載體沿南北方向勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，狀態(tài)矩陣A中東向速度VE=0。根據(jù)式(1)～(3)和圖1，得到南北方向勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)SINS水平姿態(tài)誤差與水平重力擾動(dòng)間的傳遞函數(shù)為：

(4)

(5)

記式(4)和式(5)的極點(diǎn)為pi(i=1,2,3,…,6)，式(4)的零點(diǎn)為z1i(i=1,2,3,4)，式(5)的零點(diǎn)為z2i(i=1,2,3,4)，其中極點(diǎn)p1與p2，p3與p4，p5與p6，零點(diǎn)z11與z12，z13與z14，z21與z22，z23與z24分別互為共軛。

1.2 東西方向勻速直線運(yùn)動(dòng)

當(dāng)載體沿東西方向勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，狀態(tài)矩陣A中北向速度VN=0。根據(jù)式(1)～(3)和圖1，得到東西方向勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)SINS水平姿態(tài)誤差與水平重力擾動(dòng)間的傳遞函數(shù)為：

(6)

(7)

記式(6)和式(7)的極點(diǎn)為pi(i=1,2,3,4)，式(6)的零點(diǎn)為z11和z12，式(7)的零點(diǎn)為z21和z22，其中極點(diǎn)p1與p2，p3與p4，零點(diǎn)z11與z12，z21與z22分別互為共軛。

2 傳遞函數(shù)零極點(diǎn)分布

從式(4)～(7)可以看出，SINS水平姿態(tài)誤差與水平重力擾動(dòng)間的傳遞函數(shù)與載體速度和位置有關(guān)。圖2顯示了常用速度VN∈[-100 m/s,100 m/s]和位置L∈[0°,70°]范圍內(nèi)，傳遞函數(shù)式(4)和式(5)的零極點(diǎn)分布。從圖2(a)可以看出，在上述速度和位置范圍內(nèi)，傳遞函數(shù)式(4)的零極點(diǎn)分布非常集中，有一對(duì)零極點(diǎn)p5、p6與z13、z14的分布雖然相對(duì)不集中，但這對(duì)零極點(diǎn)可以相消。從圖2(b)可以看出，傳遞函數(shù)式(5)的零極點(diǎn)除了可對(duì)消的零極點(diǎn)對(duì)p5、p6與z23、z24之外，其他零極點(diǎn)的分布也非常集中。因此，可以選擇上述速度和位置范圍內(nèi)任意一組速度和位置對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)的特征來代表整類運(yùn)動(dòng)模式下SINS水平姿態(tài)誤差與水平重力擾動(dòng)間的誤差傳遞特征。

(a) 式(4)的零極點(diǎn)分布(a) Distribution of zeros and poles of Eq.(4)

(b) 式(5)的零極點(diǎn)分布(b) Distribution of zeros and poles of Eq.(5)圖2 南北方向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)零極點(diǎn)分布Fig.2 Distribution of zeros and poles of transfer functions for north-south motion

(a) 式(6)的零極點(diǎn)分布(a) Distribution of zeros and poles of Eq.(6)

(b) 式(7)的零極點(diǎn)分布(b) Distribution of zeros and poles of Eq.(7)圖3 東西方向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)零極點(diǎn)分布Fig.3 Distribution of zeros and poles of transfer functions for east-west motion

圖3給出了VE∈[-100 m/s,100 m/s]，L∈[0°,70°]時(shí)，傳遞函數(shù)式(6)和式(7)的零極點(diǎn)分布。從圖3可以看出，傳遞函數(shù)式(6)和式(7)的零極點(diǎn)也分布在一個(gè)集中的范圍，因此也可以選擇任意一對(duì)東向速度和位置對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)的特征來代表整類運(yùn)動(dòng)模式下SINS水平姿態(tài)誤差與水平重力擾動(dòng)間的誤差傳遞特征。

3 組合導(dǎo)航模式下的誤差傳遞函數(shù)

當(dāng)SINS工作在組合導(dǎo)航模式時(shí)，將陀螺漂移和加速度計(jì)零偏建模為常值項(xiàng)與隨機(jī)項(xiàng)之和，用位置作為觀測(cè)量，系統(tǒng)濾波模型為：

(8)

系統(tǒng)的輸出方程為：

(9)

Kalman濾波模型能夠得到x中能觀狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)，并給出最優(yōu)增益矩陣K。組合導(dǎo)航模式下，系統(tǒng)誤差傳遞的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 組合導(dǎo)航模式下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Diagram of system under integrated navigation mode

(a) φE/gdN

(b) φN/gdE圖5 南北方向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)Bode圖Fig.5 Bode diagram of transfer functions for north-south motion

(a) φE/gdN

(b) φN/gdE圖6 東西方向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)Bode圖Fig.6 Bode diagram of transfer functions for east-west motion

根據(jù)式(8)、式(9)和圖4，系統(tǒng)輸入輸出間的傳遞函數(shù)為：

(10)

當(dāng)沒有Kalman濾波環(huán)節(jié)時(shí)，K為零矩陣，傳遞函數(shù)退化為純慣性解算模式，如式(3)所示。比較式(10)和式(3)，可以看出，Kalman濾波器的引入改變了系統(tǒng)的基本模態(tài)，也會(huì)改變零極點(diǎn)分布。因此只分析純慣性解算模式SINS水平姿態(tài)誤差與水平重力擾動(dòng)間的關(guān)系是不夠的。

4 仿真及應(yīng)用分析

由第2節(jié)的分析可知，當(dāng)載體沿南北方向或東西方向勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以選擇常用位置和速度范圍內(nèi)任意一組位置和速度下傳遞函數(shù)的特征來代表整類運(yùn)動(dòng)。因此，不失一般性，選擇L=30°，VN=10 m/s代表南北方向勻速直線運(yùn)動(dòng)，選擇L=30°，VE=10 m/s代表東西方向勻速直線運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)載體沿南北方向勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，繪制SINS水平姿態(tài)誤差與水平重力擾動(dòng)間傳遞函數(shù)的Bode圖，如圖5所示。圖5中：藍(lán)色曲線代表純慣性解算模式(pure)，即傳遞函數(shù)式(4)和式(5)；紅色曲線代表組合導(dǎo)航模式(KF)。

當(dāng)載體沿東西方向勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，繪制SINS水平姿態(tài)誤差與水平重力擾動(dòng)間傳遞函數(shù)的Bode圖，如圖6所示。圖6中：藍(lán)色曲線代表純慣性解算模式，即傳遞函數(shù)式(6)和式(7)；紅色曲線代表組合導(dǎo)航模式。

從圖5、圖6可以看出，在純慣性解算模式下，系統(tǒng)存在兩個(gè)在ωs附近的自然頻率。當(dāng)水平重力擾動(dòng)為常值時(shí)(如靜基座情況下)，SINS水平姿態(tài)誤差在重力擾動(dòng)激勵(lì)下表現(xiàn)為振蕩運(yùn)動(dòng)，振蕩頻率約為ωs；當(dāng)水平重力擾動(dòng)的時(shí)間頻率等于自然頻率時(shí)，SINS水平姿態(tài)誤差將在重力擾動(dòng)的激勵(lì)下振蕩幅值達(dá)到最大。在組合導(dǎo)航模式下，Kalman濾波器相當(dāng)于在系統(tǒng)中加入阻尼，同時(shí)增大了系統(tǒng)的截止頻率，這意味著組合導(dǎo)航模式下，SINS姿態(tài)誤差受更多高頻重力擾動(dòng)信號(hào)的影響。

將頻率范圍分成三個(gè)區(qū)間：當(dāng)重力擾動(dòng)信號(hào)的時(shí)間頻率低于7×10-4rad/s時(shí)，SINS水平姿態(tài)誤差與水平重力擾動(dòng)間的傳遞函數(shù)近似為比例環(huán)節(jié)，如式(11)和式(12)；當(dāng)重力擾動(dòng)信號(hào)的時(shí)間頻率高于0.05 rad/s時(shí)，傳遞函數(shù)的幅值急劇衰減；當(dāng)重力擾動(dòng)信號(hào)時(shí)間頻率在7×10-4～5×10-2rad/s范圍時(shí)，純慣性解算模式下傳遞函數(shù)幅值以-40 dB/dec的速度衰減，組合導(dǎo)航模式下，傳遞函數(shù)相位存在滯后。

(11)

(12)

由于傳遞函數(shù)的自變量是時(shí)間頻率，而重力擾動(dòng)信號(hào)是空間相關(guān)量，通過載體運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)換為時(shí)間頻率信號(hào)作用于系統(tǒng)，轉(zhuǎn)換關(guān)系如式(13)所示。

(13)

式中：ω為時(shí)間頻率，v為載體運(yùn)動(dòng)速度，λg為重力擾動(dòng)信號(hào)波長(zhǎng)。

不同重力擾動(dòng)信號(hào)波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)特性見表1。

表1 不同重力擾動(dòng)信號(hào)波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)特征

對(duì)組合導(dǎo)航模式而言，當(dāng)重力擾動(dòng)信號(hào)波長(zhǎng)λg<40πvs/rad時(shí)，不會(huì)對(duì)SINS姿態(tài)解算帶來太大誤差，可以不用補(bǔ)償。當(dāng)重力擾動(dòng)信號(hào)波長(zhǎng)λg≥40πvs/rad時(shí)，為了提高SINS的解算精度，需要補(bǔ)償該波段的重力擾動(dòng)。

比較兩種解算模式，發(fā)現(xiàn)組合導(dǎo)航模式下，SINS姿態(tài)誤差受更多高頻重力擾動(dòng)信號(hào)的影響，這意味著組合導(dǎo)航模式下的SINS需要更高分辨率的重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)來進(jìn)行重力擾動(dòng)補(bǔ)償。由圖5和圖6看出，系統(tǒng)存在截止頻率，這使得高于該頻率的重力擾動(dòng)信號(hào)不會(huì)作用于SINS的水平姿態(tài)。這就說明在對(duì)高精度SINS進(jìn)行重力擾動(dòng)補(bǔ)償時(shí)，對(duì)于重力擾動(dòng)分辨率的需求是有限度的，并不是越精細(xì)越好，因?yàn)檫^于精細(xì)的重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)一方面帶來測(cè)量壓力，另一方面帶來存儲(chǔ)壓力，卻并不會(huì)提高SINS的姿態(tài)精度。

5 結(jié)論

本文推導(dǎo)了載體勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，SINS水平姿態(tài)誤差與水平重力擾動(dòng)間的傳遞函數(shù)，在常用速度和位置范圍內(nèi)，傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布非常集中。然后推導(dǎo)了組合導(dǎo)航模式下，SINS水平姿態(tài)誤差與水平重力擾動(dòng)間的傳遞函數(shù)，Kalman濾波器的引入會(huì)改變系統(tǒng)的基本模態(tài)，也會(huì)改變零極點(diǎn)分布。仿真中，分別用L=30°，VN=10 m/s和L=30°，VE=10 m/s代表南北方向、東西方向勻速直線運(yùn)動(dòng)，分析了純慣性解算模式和組合導(dǎo)航模式下傳遞函數(shù)的幅頻特性。組合導(dǎo)航模式下，SINS姿態(tài)誤差受更多高頻重力擾動(dòng)信號(hào)的影響。組合導(dǎo)航模式下的SINS需要更高分辨率的重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)來進(jìn)行重力擾動(dòng)補(bǔ)償。在對(duì)高精度SINS進(jìn)行重力擾動(dòng)補(bǔ)償時(shí)，對(duì)于重力擾動(dòng)分辨率的需求是有限度的，不是越精細(xì)越好，過于精細(xì)的重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)一方面帶來測(cè)量壓力，另一方面帶來存儲(chǔ)壓力，卻并不會(huì)提高SINS的姿態(tài)精度。