依托課堂對話促進問題解決

【摘要】隨著全球信息化向縱深發(fā)展，記憶、程序等低階思維逐漸被人工智能所替代，高階思維的培養(yǎng)已成為各國共識的教育目標之一.教師在課堂對話的預(yù)設(shè)中應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)意義的建構(gòu).課堂對話中要以問題與變式為驅(qū)動力推動學(xué)生思維進階;問題設(shè)計中要將抽象的數(shù)學(xué)知識與鮮活的現(xiàn)實生活建立聯(lián)系;問題解決中要學(xué)會傾聽與及時評價，敏于捕捉課堂生成性的關(guān)鍵信息，在生生交流中發(fā)展求異思維.

【關(guān)鍵詞】課堂對話;問題解決;高階思維;圓的面積

高階思維是發(fā)生在較高認知水平層次上的心智活動或較高層次的認知能力，按照布魯姆教育目標分類體系，依據(jù)認知的復(fù)雜程度從低到高劃分為記憶、理解、運用、分析、評價和創(chuàng)造六個層次，其中分析、評價和創(chuàng)造稱為高階思維能力[1].課堂對話的教學(xué)形式有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，提升高層次的思維水平與創(chuàng)新意識[2].因此，數(shù)學(xué)課堂對話應(yīng)指向高階思維，在課堂對話中促進學(xué)生良好思維品質(zhì)的養(yǎng)成.

建構(gòu)主義理論對課堂對話的預(yù)設(shè)有以下幾點啟示：一是教學(xué)方式從“灌輸式”到“對話式”的轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生積極自主地參與數(shù)學(xué)活動，達成對數(shù)學(xué)意義的建構(gòu);二是在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)建與現(xiàn)實生活相關(guān)的數(shù)學(xué)問題情境，這樣有利于學(xué)生在舊知上對新知進行意義建構(gòu);三是老師不是知識的“權(quán)威”，他應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者與合作者[3].從社會建構(gòu)層面來看，學(xué)習(xí)的本質(zhì)是一個社會對話的過程.學(xué)習(xí)是在課堂中進行的，課堂就是一個社會單位[4].因此，如何在師生和生生的交流、互動、批判、反思等過程中實現(xiàn)課堂的“社會建構(gòu)”，促進學(xué)生問題解決能力的發(fā)展，成為本文關(guān)注的研究問題.1現(xiàn)狀調(diào)查分析

現(xiàn)狀調(diào)查分析采取了問卷調(diào)查法和訪談法，使用問卷調(diào)查法的研究對象是上海市某中學(xué)的六年級學(xué)生，共發(fā)放65份問卷，收回了65份問卷，其中有效問卷65份.使用訪談法的研究對象是該校部分六年級學(xué)生，筆者根據(jù)學(xué)號隨機抽取了8位學(xué)生分別進行個別訪談.

據(jù)表1中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，在第1題中選擇“有時這樣”和“經(jīng)常這樣”的學(xué)生占比分別為44.62%和35.38%，說明教師會通過問題與情境推動學(xué)生的思考.第2題中有47.70%的學(xué)生選擇“有時這樣”，在第3題中有44.62%的學(xué)生選“有時這樣”，這兩題說明多數(shù)情況下教師給予學(xué)生之間的評價、討論、對話的機會不充分.在訪談中學(xué)生說：“課上老師講得比較多，提問也不少，有時是我們回答，基本上是一問一答，但有時因為時間緊老師就自己回答了，同學(xué)間討論的機會比較少.”這說明雖然教師會通過課堂提問來促進學(xué)生思考，但追問與更深入的對話不足，甚至因趕教學(xué)進度而出現(xiàn)教師自問自答的現(xiàn)象，教師也沒有給學(xué)生充分參與討論的機會，不利于學(xué)生問題解決能力與高階思維的培養(yǎng).第4題和第5題中選擇“有時這樣”的學(xué)生人數(shù)最多，在訪談的8位學(xué)生中有4位在被問及“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用”時，他們的回答是“可以做題或參加考試”.可見一些學(xué)生被動地、應(yīng)試地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，缺乏“數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活”的體驗，因此部分學(xué)生不會主動用數(shù)學(xué)的眼光觀察身邊世界.第6題和第7題的數(shù)據(jù)表明教師能對學(xué)生的回答作出及時反饋，在反饋中也注重肯定學(xué)生的作答，但在進一步的訪談中當談及“教師一般是如何評價你的回答”時，有50%的受訪學(xué)生表示：“老師對我的回答作出的反饋較多是對與錯的簡單評價”，還有學(xué)生提出：“希望老師能對課堂上我們的想法開展一些互動”，這些都表明教師雖然能夠及時理答，并給予稱贊或鼓勵，但評價內(nèi)容與方式較為單一，對課堂生成性的關(guān)鍵信息的評價與運用不足.

綜合以上調(diào)查分析，可以得出目前六年級數(shù)學(xué)課堂對話中存在以下三點不足：一是課堂對話中一問一答的形式較多，生生對話與評價較少，學(xué)生參與課堂對話的深度、廣度不夠;二是課堂對話教學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實生活的關(guān)聯(lián)度不高，部分學(xué)生誤認為學(xué)數(shù)學(xué)就是用來做題和考試的;三是教師對學(xué)生回答的反饋以簡單評價為多，對課堂生成性的關(guān)鍵信息反饋較少.

2案例與評析

基于上述研究，本文以滬教版六年級第一學(xué)期4.3節(jié)“圓的面積”教學(xué)為例，談?wù)勗跀?shù)學(xué)高階思維視域下，以問題解決為導(dǎo)向，對課堂對話設(shè)計與設(shè)施的一些嘗試與思考.教師在課堂對話的預(yù)設(shè)中關(guān)注數(shù)學(xué)意義的建構(gòu)，在問題解決的過程中注重學(xué)生思維的進階，根據(jù)學(xué)情與教學(xué)要求，精心設(shè)計問題情境和變式，并注重知識點間的關(guān)聯(lián)，促進學(xué)生問題解決能力的發(fā)展.本文所指的課堂對話主要關(guān)注人的因素，即師生對話與生生對話.

2.1內(nèi)容及其解析

本節(jié)課是“圓的面積”的第一課時，既是繼圓的周長之后對圓的進一步研究，又是為后續(xù)學(xué)習(xí)扇形的面積打下學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，因此，本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容具有承前啟后的作用.從單元教學(xué)的角度看，第三章“比和比例”“百分比”等內(nèi)容體現(xiàn)了部分與整體的關(guān)系，第四章第1節(jié)“圓的周長和弧長”和第2節(jié)“圓和扇形的面積”，都是整體與部分在幾何上的具體體現(xiàn)與應(yīng)用.因此，在本節(jié)課的問題解決教學(xué)中應(yīng)體現(xiàn)知識點間關(guān)聯(lián)以及整體與部分之間的關(guān)系.

《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標準（試行稿）》中指出“通過操作活動，對圓的周長和面積、弧長與扇形面積等計算公式形成猜想或進行驗證;會用公式進行簡單度量問題的計算”.因此，在本節(jié)課的教學(xué)中應(yīng)當給與學(xué)生充分的時間和適當?shù)墓ぞ?，使其對圓的面積公式形成猜想和驗證，并運用圓的面積公式解決一些簡單的度量問題.

基于以上分析，確立本課的教學(xué)重點：圓的面積公式的理解與掌握;教學(xué)難點：圓的面積公式的探索與推導(dǎo).

2.2學(xué)情分析

六年級學(xué)生尚處于小學(xué)到中學(xué)的過渡期，他們活潑好動、有很強的好奇心和求知欲.在小學(xué)，學(xué)生已認識了三角形、平行四邊形和梯形，知道可以利用剪拼的方法把這些圖形轉(zhuǎn)化成長方形，從而推導(dǎo)出它們的面積公式.課前通過問卷調(diào)查得知，大部分學(xué)生知道圓的面積的意義及其公式，但不清楚該公式是如何得出的.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可能會遇到的障礙點是不知道如何分割圓，以及感悟無限逼近的思想.學(xué)生的興趣點在于動手操作，將圓近似地剪拼為其他熟悉的圖形.

因此，在本節(jié)課的問題解決教學(xué)中，通過學(xué)生感興趣的動手操作，幫助學(xué)生建構(gòu)對圓的面積公式意義的理解，同時，還應(yīng)注重學(xué)生從分割圓到理解“無限逼近”的思維進階.

2.3目標及其解析

1.通過類比—操作—實驗—討論，探索推導(dǎo)圓的面積公式，能運用公式解決簡單的實際問題;

2.在操作實驗與直觀想象中，感悟“化曲為直、無限逼近”的數(shù)學(xué)思想;

3.在運用新知解決簡單實際問題的過程中，提升應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識;通過小組合作交流，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與自信.

本課在目標設(shè)計中以課程標準為依據(jù)，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向.在圓的面積公式的探索與推導(dǎo)中著重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理與直觀想象;在運用圓的面積公式解決簡單實際問題的過程中，旨在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

2.4教學(xué)過程設(shè)計及其說明

本課的教學(xué)流程，如圖1所示.

創(chuàng)設(shè)情境引入新知實踐操作類比轉(zhuǎn)化分享交流反思求變應(yīng)用新知歸納小結(jié)圖1

2.4.1創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

上課伊始，教師先請學(xué)生回憶上一節(jié)課圓的周長公式，然后請學(xué)生猜一猜：“今天會學(xué)習(xí)圓的什么內(nèi)容？”，并說一說“你是怎樣想到的？”，接著教師創(chuàng)設(shè)了“羊吃草”的問題情境，從而引出圓的面積的概念.

問題情境用一根繩子將一只羊拴在草地上，如果繩子長6米，那么羊最多能吃到多少面積的草？

設(shè)計意圖教師先讓學(xué)生回顧了圓的周長公式，再請學(xué)生猜想今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容，目的是引導(dǎo)學(xué)生知道認識一個圖形后，一般要研究它的周長和面積，這既為本節(jié)課圓面積公式的推導(dǎo)做知識儲備，又強調(diào)了研究幾何圖形的通性通法.通過“羊吃草”的問題引出課題“圓的面積”，學(xué)生在實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，使概念自然生成.

2.4.2實踐操作，類比轉(zhuǎn)化

在學(xué)生動手操作前，教師先提問學(xué)生：“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過哪些圖形的面積？”“它們的面積是如何推導(dǎo)的？”“這其中體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？”，接著，學(xué)生利用圓形紙片、剪刀等工具在小組合作中探究圓的面積.在小組操作中，教師發(fā)現(xiàn)個別學(xué)生無從下手，于是提問“圓的面積與誰有關(guān)？”，學(xué)生回答：“半徑”，教師追問：“那么你們在剪紙時可以怎么分割呢？”，此時學(xué)生豁然開朗“哦，沿著半徑將圓剪開！”.

師生活動在操作實驗中，不少小組將圓等分成了8份或16份，再將8份或16份相同的扇形重新拼成一個近似的平行四邊形，教師請一組學(xué)生上臺進行演示推導(dǎo)，其中學(xué)生講到如果將圓等分的份數(shù)越多，那么這個圖形就越像一個長方形，在學(xué)生經(jīng)過直觀想象并紛紛點頭同意后，教師利用幾何畫板動態(tài)演示了圓被等分成32份、64份、128份等情形.

設(shè)計意圖在探究圓的面積前，教師先請學(xué)生回憶之前已學(xué)圖形的面積及其推導(dǎo)方法，學(xué)生們通過割補法將三角形、梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形再轉(zhuǎn)化為長方形，求出它們的面積，感悟化歸思想，筆者由此啟發(fā)學(xué)生類比直線型圖形的面積轉(zhuǎn)化，將曲線型圖形——圓通過小組合作、實驗操作進行轉(zhuǎn)化，在“做中學(xué)”中發(fā)展合情推理.教師在學(xué)生經(jīng)過直觀想象“如果將圓等分的份數(shù)越多，那么這個圖形就越像一個長方形”后，再運用幾何畫板動態(tài)演示，通過問題鏈幫助學(xué)生在類比與演繹推理的過程中，將圓轉(zhuǎn)化為直線型圖形——長方形，并推導(dǎo)出圓的面積公式，促進問題解決.學(xué)生通過直觀想象與課堂對話，體會“化曲為直、無限逼近”的數(shù)學(xué)思想.

2.4.3分享交流，反思求變

在巡視學(xué)生小組合作中，教師發(fā)現(xiàn)有些小組的學(xué)生嘗試將等分的小扇形拼成其他直線型圖形，于是教師抓住這一課堂生成性的關(guān)鍵信息，鼓勵學(xué)生求異創(chuàng)新思維的發(fā)展.

師生活動教師請小組代表分享圓的面積公式推導(dǎo)的不同方法.圖2

師：如何將圓拼成其他熟悉的圖形，從而推出圓的面積公式呢？

師：同學(xué)們的想法真豐富！那么這些不同的方法都體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？

生（多位學(xué)生）：轉(zhuǎn)化的思想.設(shè)計意圖在此教學(xué)環(huán)節(jié)中教師請不同小組的同學(xué)上臺分享他們對圓的不同轉(zhuǎn)化方法，并且說明他們是如何利用這些圖形推導(dǎo)出圓的面積公式，在課堂對話中促進學(xué)生的演繹推理能力與用數(shù)學(xué)語言表達交流的能力.第五位同學(xué)的方法也給我們的教學(xué)帶來啟示，在幾何學(xué)習(xí)時，包括教材呈現(xiàn)中，一般遵循先整體再部分的順序，比如先學(xué)習(xí)圓的周長再學(xué)習(xí)弧長，先學(xué)習(xí)圓的面積再學(xué)習(xí)扇形的面積.那么逆向思維，能不能先部分再整體呢？這里第五位同學(xué)的證明正是從部分入手，先計算一個小扇形，看作近似的小三角形的面積，再計算整體圓的面積.可見，學(xué)生的不同思維在對話交流、反思求變中碰撞出了火花，在分享多種問題解決方案的過程中，學(xué)生學(xué)會互相欣賞、分析與評價，而這些創(chuàng)新思維的火花正是在教師捕捉課堂關(guān)鍵信息并進行深度課堂對話中產(chǎn)生的.

2.4.4應(yīng)用新知，歸納小結(jié)

學(xué)生在運用圓的面積公式解決本課引入的“羊吃草”問題后，教師向?qū)W生展示了兩道變式問題.

變式1如果把羊能吃到草的邊界用鐵絲圍成一圈，已知一圈鐵絲的長度為31.4米，那么羊最多能吃到多少面積的草？（π取3.14）

變式2在變式1的基礎(chǔ)上，在鐵絲外鋪設(shè)寬為2米的環(huán)形路，請問鋪設(shè)環(huán)形路的面積是多少？（π取3.14）

師生活動在變式2的問題分析中，教師請學(xué)生畫出環(huán)形路的草圖，在草圖中學(xué)生發(fā)現(xiàn)要求圓環(huán)的面積，先分別求出大圓與小圓的半徑，再用大圓面積減去小圓面積.在課堂自主小結(jié)中，學(xué)生說道：“通過這節(jié)課，我會推導(dǎo)圓的面積公式，可以把圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形”“在推導(dǎo)圓的面積公式中，我體會到了‘化曲為直、無限逼近，還有各種不同的推導(dǎo)方法，覺得很神奇！”“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以用來解決實際問題，數(shù)學(xué)很有用處！”

師：今天我們通過動手操作將圓沿著半徑剪開，在轉(zhuǎn)化成直線型圖形的過程中，同學(xué)們展示了不同的拼法，對此你還有什么問題嗎？

生：如果不沿著半徑剪開，是否也可以將圓轉(zhuǎn)化成其他熟悉的圖形？

師：這位同學(xué)的問題非常好！我們就帶著這個問題在課后繼續(xù)探究.圖7

第二天，學(xué)生在查閱相關(guān)資料的基礎(chǔ)上，給出了圖7的轉(zhuǎn)化方法，將圓形紙片剪成一個個同心圓環(huán)，再分段剪開，拼成一個三角形，其底為圓的周長，底上的高是圓的半徑，運用三角形的面積公式可推出圓的面積公式.學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與興趣被充分激發(fā).

設(shè)計意圖在兩道變式中，教師引導(dǎo)學(xué)生運用圓的面積公式對實際問題進行數(shù)學(xué)抽象與建模，使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活.由于一些學(xué)生以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗只局限于學(xué)了概念、公式，然后套用公式做題，導(dǎo)致這樣一個錯誤的觀點：學(xué)數(shù)學(xué)就是用來做題和考試的，教師希望改變這一觀點，逐步讓學(xué)生養(yǎng)成應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.在課堂小結(jié)后，學(xué)生提出問題“如果不沿著半徑剪開，是否也可以將圓轉(zhuǎn)化成其他熟悉的圖形？”，該問題將學(xué)生的思維從沿著半徑把圓形紙片分割后的不同“拼”法，進階、發(fā)散到對圓形紙片的不同“剪”法上，學(xué)生課后繼續(xù)探究圓的面積的其他分割轉(zhuǎn)化方法，發(fā)展求異思維，將課堂上的問題解決延伸到課后.由此可見，從分析問題、解決問題到發(fā)現(xiàn)問題、提出問題是一個循環(huán)往復(fù)的過程.有必要讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的科學(xué)研究過程.

2.5教學(xué)反思

由于智力的形成與發(fā)展往往建立在動作技能的發(fā)生與發(fā)展之上[5]，因此在探索推導(dǎo)圓的面積公式的過程中，學(xué)生先通過動手操作，在師生對話與生生對話中建構(gòu)了對圓的面積公式意義的理解，在直觀想象中感悟“化曲為直、無限逼近”的思想，再輔以幾何畫板動態(tài)演示，從而化解了教學(xué)難點.學(xué)生對圓形紙片嘗試不同方式的剪拼與轉(zhuǎn)化，在問題解決與求異創(chuàng)新中，學(xué)生的高階思維被充分調(diào)動.在運用圓的面積公式分析、解決實際問題中，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與建模的思維能力，提升了應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，落實了本課的教學(xué)重點.

不足之處是在實驗操作中，有個別小組將圓等分得太細，導(dǎo)致在有限的課堂時間內(nèi)未能完成推導(dǎo).由于在學(xué)生動手操作后，教師將用幾何畫板動態(tài)演示圓被等分成32份、64份、128份等情形，因此教師如果能提醒學(xué)生等分圓的份數(shù)不宜超過16份，那么效果可能會更好.

3研究結(jié)論與反思

3.1研究結(jié)論

通過對“圓的面積”的分析可知，基于問題解決的課堂對話是培育高階思維的重要載體.在高階思維視域下，以課堂對話促進問題解決的教學(xué)設(shè)計需要考慮以下幾個因素：

第一，課堂對話中要以問題與變式為驅(qū)動力推動學(xué)生思維進階.教師應(yīng)了解學(xué)生原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗與知識基礎(chǔ)，根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，運用富有探究性的問題與變式，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性[6]，讓學(xué)生在師生對話、生生對話中經(jīng)歷知識的自然生成、建構(gòu)與應(yīng)用，發(fā)展分析、評價與創(chuàng)造思維.

第二，問題設(shè)計中要將抽象的數(shù)學(xué)知識與鮮活的現(xiàn)實生活建立聯(lián)系，提升學(xué)生的問題解決能力.高階思維的發(fā)展需要高階學(xué)習(xí)任務(wù)的支撐[7]，數(shù)學(xué)高階思維是在學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、方法解決問題的過程中逐漸形成與發(fā)展的.要讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達世界，需要基于現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)活動，在活動中提升分析問題、解決問題的能力.

第三，問題解決中要學(xué)會傾聽與及時評價，敏于捕捉課堂生成性的關(guān)鍵信息，在生生交流中發(fā)展求異思維.對話不僅是一個認知的過程，還是一個情感交融的過程.要通過數(shù)學(xué)課堂培育學(xué)生的高階思維，創(chuàng)設(shè)民主、平等、包容的課堂氛圍十分必要，這樣有助于學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，感悟數(shù)學(xué)的思想與方法，形成嚴謹求實、樂于實踐、勇于創(chuàng)新的學(xué)習(xí)志趣.

3.2研究反思

本文在現(xiàn)狀調(diào)查對象的選取上，由于時間和客觀因素的限制，只選取了上海市某校的65位六年級學(xué)生，樣本數(shù)較少，不能全面反映問題.所得的研究結(jié)論是否具有普適性，仍需作后續(xù)研究.同時，在高階思維視域下，對不同問題解決教學(xué)課例的研究是筆者有待進一步探索的方向.

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作者簡介楊輝（1990—），男，中學(xué)一級，碩士.上海市第四期“雙名工程”高峰計劃攻堅課題組成員，同時主持上海市虹口區(qū)2019年度教育科學(xué)研究項目“高階思維視域下的初中數(shù)學(xué)問題解決課案例研究”.發(fā)表論文多篇.