超起拉索非保向力作用下伸縮臂幾何非線性分析

劉士明，劉俊汝，孟麗霞

（沈陽建筑大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110168）

1 引言

全地面起重機作為現(xiàn)代建筑施工中典型的起重設(shè)備，其起升高度和工作幅度隨著建筑向高聳化發(fā)展而不斷增加，導(dǎo)致伸縮臂結(jié)構(gòu)的長細比逐漸增大。經(jīng)典力學(xué)中的線性理論分析，在很多種情況下并不適用，因此，在起重臂結(jié)構(gòu)分析時需要考慮幾何非線性效應(yīng)[1]。隨著伸縮臂節(jié)數(shù)的增多其承載能力逐漸變?nèi)?，為提高伸縮臂的承載能力使其受力更加合理，引入了附加支撐裝置即超起裝置[2]。超起裝置中由于超起拉索的存在，使得伸縮臂承受非保向力的作用，導(dǎo)致伸縮臂幾何非線性變形不能顯示精確表達，也缺乏相應(yīng)的理論推導(dǎo)[3]。文獻[4]運用差分法對伸縮臂撓度進行推導(dǎo)，在計算彎矩時略去了軸力的影響，這種方法沒有計入軸向力的二階效應(yīng)，對大長細比伸縮臂結(jié)構(gòu)存在較大的誤差。文獻[5-6]分別研究了根部固支和兩端鉸支兩種支撐情況下多節(jié)階梯柱的幾何非線性變形問題，得到其臂端部撓度精確表達的遞推公式，并給出適合工程實際應(yīng)用的計算表達式，但沒有涉及非保向力作用對多級階梯柱變形的影響。文獻[7-8]建立了空間對稱雙拉索作用下伸縮臂的撓曲微分方程，雖然考慮了非保向力的作用，為了便于推導(dǎo)，假設(shè)多節(jié)伸縮臂為等慣性矩，由于簡化了推導(dǎo)過程，導(dǎo)致與工程實際差異較大。文獻［9-10］利用有限元軟件進行建模仿真得到了伸縮主臂的受力狀況，缺少深入的理論分析，同時所構(gòu)建模型也僅僅是針對特定型號，不具有通用性。為此，論文基于縱橫彎曲理論，考慮軸向力二階效應(yīng)的影響，建立空間對稱拉索非保向力作用下多級伸縮臂的撓曲微分方程，求解伸縮臂撓度的遞推表達式，為具有超起裝置的起重機伸縮臂設(shè)計計算提供理論依據(jù)。

2 等效力學(xué)模型的建立

具有超起裝置的典型全地面起重機，如圖1 所示。兩個對稱布置的超起撐桿2 與伸縮臂4 鉸接，后拉板3 的一端連接超起撐桿2 的活動端，另一端與伸縮臂4 的基本臂根部鉸接，對稱布置的超起拉索1 一端連接超起撐桿2，另一端連接伸縮臂4 頂部，變幅油缸5 可以調(diào)節(jié)起重機的工作角度，后拉板3 和超起拉索1均成對稱布置。超起撐桿2、拉板3 以及伸縮臂4 根部構(gòu)成一個三角形區(qū)域，它們對伸縮臂端部的撓曲變形影響很小，因此，在分析伸縮臂的非線性撓曲變形時可以忽略撐桿2 和拉板3 的影響。具有超起裝置的全地面起重機伸縮臂可等效為空間對稱非保向力作用下的多級階梯柱模型，如圖2 所示。在圖2 所示具有超起裝置的伸縮臂等效力學(xué)模型中，由于油缸的軸向剛度可假設(shè)為無窮大，則油缸以下的基本臂與油缸可等效為一個轉(zhuǎn)動剛度為K0的彈性支撐[6]。因此，圖2 所示的等效力學(xué)模型可進一步等效為彈性支撐條件下的多級階梯柱模型，如圖3 所示。

圖1 具有超起裝置的全地面起重機Fig.1 All Terrain Crane with Super-Lifting Device

圖2 等效力學(xué)模型Fig.2 Equivalent Mechanical Model

圖3 具有超起裝置的多級伸縮臂的計算模型Fig.3 Computational Model of Telescopic Arm with Super-Lifting Device

3 伸縮臂幾何非線性變形的遞推表達式

超起拉索非保向力作用下多級伸縮臂幾何非線性分析模型，如圖3 所示。兩超起拉索的長度均為ls 且對稱分布，兩牽繩之間夾角為2α，主臂與兩拉索所成平面夾角為β，每節(jié)伸縮臂的慣性矩為Ii（i＝1，2，3…n），材料的彈性模量為E，在軸向力P、側(cè)向力Q、彎矩M 以及拉索非保向力作用下伸縮臂頂部的豎向撓度為δ。由圖3 所示拉索非保向力作用下伸縮臂變形前的幾何關(guān)系可知：

由于拉索呈對稱分布，所以兩根拉索產(chǎn)生的合力分解成軸向力Fx與側(cè)向力Fy：

多級伸縮臂自由度撓度表達式（17）是一個關(guān)于撓度δ 的超越方程，采用數(shù)值迭代的方法解此超越方程即可得伸縮臂自由端的撓度δ。

當無非保向力作用時，F(xiàn)x、Fy均不存在，伸縮臂自由端撓度表達式（17）可退化成與文獻[6]具有相同的表達形式：

4 算例分析

為了驗證所推出的任意多級伸縮臂撓度遞推表達式的正確性，對具有超起裝置的7 節(jié)伸縮臂等效力學(xué)模型進行幾何非線性分析，并與ANSYS 仿真結(jié)果對比，如圖4 所示。

圖4 具有超起裝置的7 節(jié)伸縮臂等效力學(xué)模型Fig.4 Mechanical Analysis Model of 7-Section Telescopic Arm with Super-Lifting Device

在如圖4 所示彈性支撐的7 節(jié)伸縮臂等效力學(xué)模型中，主臂彈性模量E＝2×1011Pa，各節(jié)臂慣性矩I1＝2.32×10-2m4，I2＝1.63×10-2m4，I3＝1.20×10-2m4，I4＝0.85×10-2m4，I5＝0.62×10-2m4，I6＝0.49×10-2m4，I7＝0.38×10-2m4，各節(jié)臂長度為L1＝5.4m，L2＝9.1m，L3＝9.1m，L4＝9.1m，L5＝9.1m，L6＝9.1m，L7＝9.1m。鋼絲繩長度ls＝57m，鋼絲繩的彈性模量Es＝1×1011Pa，橫截面積As＝1×10-3m2。伸縮臂頂部承受的載荷軸力P＝400kN，側(cè)向力Q＝100kN，端部彎矩M＝1000kN·m，α＝5°，β＝10°。ANSYS 仿真驗證：對超起拉索作用下伸縮臂結(jié)構(gòu)進行二階效應(yīng)的幾何非線性分析，在有限元分析中，將每節(jié)伸縮臂劃分成10 個單元，采用beam44 單元進行建模，用link10 單元模擬單向受拉的超起拉索，彈性支撐用combin14 單元進行模擬。引入ξ＝K0L/（EI1）作為無量綱彈性嵌固系數(shù)，在不同ξ 值下，計算結(jié)果，如表1所示。其中誤差1 表示為ANSYS 線性解與ANSYS 非線性解的誤差，誤差2 表示理論非線性解與ANSYS 非線性解的誤差。

表1 7 節(jié)伸縮臂自由端的撓度Tab.1 Free End Deflection of 7-Section Telescopic Arm

從表1 中的誤差可以看出，ANSYS 線性解與ANSYS 非線性解的最小誤差為8.81%，最大誤差為10.12%；理論非線性解與ANSYS 非線性解的誤差都在5%以內(nèi)。算例分析表明：對于大長細比的伸縮臂采用線性分析會引起較大的誤差，是不能滿足實際工程需要的。因此，對大長細比的伸縮臂進行幾何非線性分析才能滿足工程實際的設(shè)計計算。

5 結(jié)論

（1）對超起拉索非保向力作用下多級伸縮臂的受力模型進行合理等效，基于縱橫彎曲理論，推導(dǎo)了計及二階效應(yīng)的任意多級伸縮臂撓度的遞推表達式，獲得了伸縮臂幾何非線性變形的有效解。（2）對具有超起裝置的7 節(jié)伸縮臂幾何非線性分析表明，論文推導(dǎo)的空間對稱雙拉索作用下的任意多級伸縮臂撓度的遞推表達式是正確的和合理的，能夠有效地滿足工程實際應(yīng)用。