基于斜率和（積）背景下的圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題求解新探

福建省永春第一中學(xué) 李金進(jìn)

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

已知點(diǎn)A（2，1）是橢圓G：x2+4y2=8上的點(diǎn)，B，C是橢圓G上的兩點(diǎn)，設(shè)k1，k2分別是直線AB，AC的斜率，且滿足4k1·k2=1，試問(wèn)：直線B，C是否過(guò)定點(diǎn)？如果過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不過(guò)定點(diǎn)，試說(shuō)明理由。

分析：在圓錐曲線解答題中，常見(jiàn)這類以斜率的和或者斜率的積為背景探求直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題。常規(guī)的處理方式為通過(guò)直線方程與曲線方程聯(lián)立，分別求出B，C兩點(diǎn)，再通過(guò)兩點(diǎn)式得到直線BC的方程，經(jīng)過(guò)整理確定直線所過(guò)的定點(diǎn)，從而形成如下解法。

解法一：設(shè)直線AB，AC的方程分別為y-1=k1（x-2），y-1=k2（x-2）。

設(shè)點(diǎn)B（x1，y1），C（x2，y2），

聯(lián)立G：x2+4y2=8得（1+4k12）x2-（16k12-8k1）x+16k12-16k1-4=0，

所以直線BC恒過(guò)定點(diǎn)（0，0）。

相比解法一而言，解法二借助變換主元，也就是把常規(guī)變量x為變量的一元二次方程，轉(zhuǎn)化為以斜率k為變量的一元二次方程，通過(guò)韋達(dá)定理使計(jì)算量變小，達(dá)到比較理想的效果。

二、解后反思

1.常規(guī)方法

由韋達(dá)定理確定出兩個(gè)交點(diǎn)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，然后經(jīng)過(guò)對(duì)式子的整理確定定點(diǎn)，想法自然，但計(jì)算量較大，不易完成。

2.變換主元

變換視角，以斜率k為主要變量，結(jié)合斜率的和（或者斜率的積）的樣式，借助韋達(dá)定理求定點(diǎn)，這樣的想法學(xué)生容易接受，計(jì)算量較小，計(jì)算的效率較高。

三、應(yīng)用拓展

（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB。

解：（1）過(guò)程省略。

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線方程為y=k（x-2）（易知斜率存在），

代入橢圓方程，消去y得x2+2k2（x-2）2-2=0，

按斜率k降冪整理可得2（x-2）2k2+x2-2=0，

設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，則k1+k2=0，

所以∠OMA=∠OMB。

題2 已知直線l過(guò)拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)，且垂直于拋物線的對(duì)稱軸，l與拋物線兩交點(diǎn)間的距離為2。

（1）求拋物線C的方程；

（2）若點(diǎn)P（2，2），過(guò)點(diǎn)（-2，4）的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k1和k2，求證：k1k2為定值，并求出此定值。

解：（1）過(guò)程省略，求得拋物線C的方程x2=2y。

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（2，2）的直線方程為y-2=k（x-2）（易知斜率存在），

代入拋物線C：x2=2y，消去x得（y-2）2+4k（y-2）+4k2=2k2y，

按斜率k降冪整理可得（4-2y）k2+4（y-2）k+（y-2）2=0，

又因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)（-2，4），不過(guò)點(diǎn)P，所以y=4。

所以k1k2=-1（定值）。

圓錐曲線解答題是高考必考題型，而定點(diǎn)問(wèn)題又是圓錐曲線解答題中的?？伎键c(diǎn)，本文通過(guò)對(duì)原本方法的改進(jìn)，提供了一個(gè)嶄新的思路，對(duì)學(xué)生更快速、高效地解決此類問(wèn)題提供了一種借鑒與參考，也希望借此拋磚引玉，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的思考獲得解決此類問(wèn)題的一般方案，培養(yǎng)其創(chuàng)新意識(shí)，提升其探索精神， 從而提高解決此類問(wèn)題的能力。