華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 黃一德 田秀蓉
我們把本文的主要結(jié)果寫成一個定理。
證明不等式(1),需要用到下面幾條事實。
當(dāng)0<t<1時,
e(1-t)<e1-t,
2-t<e1-t。
這些不等式可以直接證明,也可以參考文獻(xiàn) [2] 的5.3節(jié)不等式1,18,40,41。
四次多項式
p1(t)=(e-2)+(3e-2)t-3et2+et3-2et4
有兩個實數(shù)根:
r'1=-0.1023,r1=0.7658
和一對共軛復(fù)根:
-0.0818-1.2962i,-0.0818+1.2962i。
當(dāng)r'1<t<r1時,p1(t)>0。
六次多項式
p2(t)=3e-8+(6e-8)t-11et2+8et3-7et4+2et5-et6
有兩個實數(shù)根:
r'2=-0.0175,r2=0.3591
和兩對共軛復(fù)根:
0.7229-1.3983i,0.7229+1.3983i;
0.1063-1.9087i,0.1063+1.9087i。
當(dāng)r'2<t<r2時,p2(t)>0。
三次多項式
p3(t)=-1+4t-4t2+2t3
有一個實數(shù)根:
r3=0.3522
和一對共軛復(fù)根:
0.8239+0.8607i,0.8239-0.8607i。
當(dāng)t>r3時,p3(t)>0。
五次多項式
p4(t)=-4+19t-21t2+15t3-6t4+t5
有一個實數(shù)根:
r4=0.2832
和兩對共軛復(fù)根:
0.5296-1.4198i,0.5296+1.4198i;
2.3289-0.8534i,2.3289+0.8534i。
當(dāng)t>r4時,p4(t)>0。
我們不需要知道多項式p1(t),p2(t),p3(t),p4(t)的根的準(zhǔn)確值,只需要知道r'1<r'2<0<r4<r3<r2<r1就夠了。
令x1=et,0<t<1,那么a=e-tt,上條不等式可以改寫為:
下面證明當(dāng)0<t<1時,F(xiàn)'(t)<0,即證明F1(t)>0。
情形1:0<t<r2,
因此,在[r3,1]上F1(t)是減函數(shù),從而當(dāng)r3≤t<1時,F(xiàn)1(t)>F1(1)=0。
上面證明了當(dāng)0<t<1時,F(xiàn)'(t)<0,所以在區(qū)間(0,1)上,F(xiàn)(t)是減函數(shù),從而當(dāng)0<t<1時,F(xiàn)(t)>F(1)=0。
所以在區(qū)間(0,1)上,f(t)是減函數(shù),從而當(dāng)0<t<1時,f(t)>f(1)=0。
把δ作用于不等式(1)的不等號兩邊,再開平方,即得不等式(3)。
因為函數(shù)θ(x)=eax,x∈(-∞,+∞)是增函數(shù),所以把θ作用于不等式(3)的不等號兩邊,即得不等式(4)。
(1)x2-x1的上下界還有
但不等式(3)的最弱的上下界都分別比這個上下界強。
(2)x1x2和x1+x2的大小有如下關(guān)系:
利用這個不等式,可以從x1+x2的上下界得到x1x2的上下界,或從x1x2的上下界得到x1+x2的上下界。但經(jīng)驗證,這種方法對定理的結(jié)果幾乎沒有改進(jìn)作用,因此本文不詳細(xì)討論這個不等式。唯一略有改進(jìn)的地方是,從不等式(2)的下界可得x1x2的一個新下界:
僅當(dāng)a<0.0747486400610507時,
即僅當(dāng)此時,這個新下界比不等式(1)的下界好。