迭代混合實驗收斂速度與收斂精度的數(shù)值模擬

王 濤，鄭 歡，王 貞，許國山

(1.黑龍江科技大學 建筑工程學院， 哈爾濱 150022； 2.武漢理工大學 土木與建筑學院， 武漢 430070； 3.哈爾濱工業(yè)大學 土木工程學院， 哈爾濱 150090)

0 引 言

針對土木工程結構開展抗震實驗研究是獲取結構抗震性能的主要手段。當前主要的抗震實驗研究方法有擬靜力實驗[1]、擬動力實驗[2]、模擬地震振動臺實驗[3]和實時混合實驗[4-5]。其中實時混合實驗方法兼具較高的實驗精度與經(jīng)濟性，受到眾多學者的關注。該方法將整體結構劃分為物理子結構和數(shù)值子結構，分別進行物理加載與數(shù)值模擬，建立高速數(shù)據(jù)交互通道實現(xiàn)二者間的實時數(shù)據(jù)交互。但是由于實時混合實驗要求實時，時滯便成了影響實驗精度的主要問題，目前針對實時混合實驗的研究工作集中在時滯與補償上[6-7]。2016年，郭進等[8-9]提出了基于全局迭代的混合實驗方法，該方法改變了傳統(tǒng)實時混合實驗方法的數(shù)據(jù)交互方式，將數(shù)據(jù)交互時間步長由積分步轉變成了全時程，并通過離線迭代不斷逼近真實結構響應，避開了時滯問題。當前針對迭代混合實驗對不同結構適用性與物理子結構數(shù)值模型精度對迭代收斂性的影響，尚需要開展進一步研究。

筆者以安裝有黏滯阻尼器的單層框架為研究對象，將框架內的黏滯阻尼器作為物理子結構，其余部分作為數(shù)值子結構，分別進行了不同結構阻尼比與物理子結構數(shù)值模型精度下的迭代混合實驗數(shù)值模擬，比較了不同工況的迭代收斂速度和收斂精度，探究了結構阻尼比和初始物理子結構數(shù)值模型精度與收斂性對迭代混合實驗收斂速度和收斂精度的影響規(guī)律。

1 實驗方法及流程

迭代混合實驗方法源于實時混合實驗方法，實時混合實驗方法運動方程為

MNaN,i+CNvN,i+KNdN,i+FE,i=Fi，

(1)

式中：MN、CN、KN——數(shù)值子結構的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；

aN、vN、dN——數(shù)值子結構的加速度向量、速度向量、位移向量；

FE——物理子結構反力向量；

F——結構的外荷載向量；

i——積分步數(shù)。

引入迭代思想，在方程(1)中增加迭代輪次這一變量。在迭代過程中，首先對整體結構進行全時程數(shù)值計算，得到物理子結構全時程加載命令，再對物理子結構進行全時程加載，加載結束后采集當前輪次的全時程試件反力，并將該反力帶入運動方程，進行下一迭代輪次的運動方程求解，迭代混合實驗方法運動方程為

式中，j——迭代輪次。

該方法的原理如圖1所示。

圖1 迭代混合實驗方法流程Fig. 1 Direct of iterative hybrid test method

迭代混合實驗方法的具體流程如下：

(1)模型建立。將整體結構劃分為物理子結構和數(shù)值子結構，建立物理子結構數(shù)值模型。

(2)迭代啟動。迭代首輪利用物理子結構數(shù)值模型，進行整體結構的純數(shù)值計算，得到整體結構全時程力-位移響應。

(3)反力采集。將上一步得到的物理子結構位移響應在作動器上進行加載，得到真實的物理子結構全時程反力響應。

(4)多輪迭代。將上一步采集的物理子結構反力帶入運動方程當中，代替物理子結構，進行下一輪整體結構全時程數(shù)值計算。

(5)收斂判斷。將計算得到的物理子結構全時程位移與參考解進行比較，若收斂則實驗成功結束，若不收斂則進行最大輪次判斷。

(6)輪次判斷。由于迭代不可能無限制進行下去，因此需要在實驗前預先設定一個最大迭代輪次，進行迭代輪次判斷。若當前輪次小于最大迭代輪次，則返回第(4)步，否則實驗失敗結束。

由圖1可知，該方法的物理子結構與數(shù)值子結構相互獨立，在迭代過程中一個完整時程僅進行一次數(shù)據(jù)交互，這樣對于數(shù)值子結構部分而言，不再需要與物理子結構實時通信，逐步積分過程變成了純數(shù)值計算，對于物理子結構而言，加載過程變成了給定加載制度的加載方式，這在避開時滯問題的同時，解決了逐步積分算法穩(wěn)定性的問題，具有其獨特的優(yōu)勢。

但是該方法由于其迭代的特點，在對于不同類型的結構會表現(xiàn)出不同的收斂特征，同時由于迭代首輪需要假定物理子結構數(shù)值模型，不同的模型精度對迭代收斂性的影響規(guī)律是需要研究的問題。

2 單層框架迭代混合實驗數(shù)值模擬

2.1 工程概況

為了研究結構阻尼比與物理子結構數(shù)值模型精度對迭代收斂速度與收斂穩(wěn)定性的影響，開展整體結構為安裝有黏滯阻尼器的單層框架的迭代混合實驗數(shù)值模擬，單層框架迭代混合實驗原理如圖2所示。由圖2可知，將黏滯阻尼器作為物理子結構，剩余部分作為數(shù)值子結構。在迭代首輪，分別建立物理子結構數(shù)值模型和數(shù)值子結構有限元模型，進行全時程數(shù)值計算，得到單層框架全時程響應。在迭代次輪，利用上一迭代輪次加載得到的物理子結構全時程反力代替物理子結構本身，參與運動方程求解，計算出物理子結構全時程位移命令，再將命令傳輸給作動器進行加載，依次循環(huán)直至實驗結束。本文中上述實驗過程通過Matlab編程模擬，定義框架質量mN=3.6×105kg，框架剛度KN=1.24×105kg，框架阻尼比作為模擬研究的變量，分別取值為0.5%、1.0%、1.5%、2.0%、2.5%。

圖2 單層框架迭代混合實驗原理Fig. 2 Principle of iterative hybrid test of single layer frame

物理子結構為黏滯阻尼器，其力學模型為

FE=cEsgn(vE)|vE|α1，

(2)

vE——物理子結構速度向量；

α1——黏滯阻尼器速度指數(shù)。

在迭代混合實驗首輪，需要假定物理子結構數(shù)值模型。為了研究不同模型精度對迭代收斂性的影響，分別假定模型精度為0、20%、40%、60%、80%，需要說明的是，模型精度為0即無阻尼器，僅僅針對數(shù)值子結構的框架開展迭代混合實驗模擬。地震波選擇EL centro波如圖3所示，激勵時長20 s，積分步長0.01 s，積分步數(shù)2 000步。

由于黏滯阻尼器恢復力計算要以當前步速度為輸入，因此積分算法選用文獻[10]中的方法，該方法為顯式兩步的數(shù)值積分方法，可以將位移、速度、加速度顯式表達，且不需要用到結構的參數(shù)，具體積分格式如下：

aN,i=(Fi-CNvN,i-KNdN,i-FE,i)/mN，

dN,i+1=dN,i+vN,iΔt+(1/2+ψ)·aN,iΔt2-ψaN,i-1Δt2，

vN,i+1=vN,i+(1+φ)aN,iΔt-φaN,i-1Δt，

式中，φ、ψ——翟方法引入的參數(shù)。

圖3 EL centro地震波Fig. 3 EL centro ground motion record

在逐步積分第一步，定義dN,1=vN,1=0、φ=ψ=0；在后續(xù)積分過程中，定義φ=ψ=0.5，此時其最大穩(wěn)定步長與中心差分法相同。

2.2 工況設計

擬開展的模擬工況如表1所示。工況1～5為不同阻尼比下的迭代混合實驗模擬，工況6～10為不同物理子結構數(shù)值模型精度的迭代混合實驗模擬。

疼痛可以直接影響到病人的生活質量,疼痛發(fā)作時,機體會出現(xiàn)一系列地病理和生理反應,同時會讓患者主觀出現(xiàn)不悅的感受,在心理上給患者造成了巨大的困擾,而這些因素又恰恰決定著化療、放療及相關的一些治療能否繼續(xù)進行。[3]疼痛是一些晚期癌癥病人常見的臨床表現(xiàn),尤其是持久、強烈、無法忍受的疼痛,這些會經(jīng)常引起一系列癥狀,如食欲發(fā)聵、睡眠不佳、焦慮、煩躁、憂郁、甚至消極抗拒治療等等,從而使得病情惡化。因而改善患者的疼痛狀況,緩解情緒反應至關重要。我們需要加強對患者疼痛方面的教育,使晚期癌癥患者度過舒服、平靜的終末期。

表1 模擬工況

為量化迭代收斂速度，定義收斂步數(shù)指標如式(3)所示，其物理意義為當前迭代輪次與參考解在第i積分步前的位移差值小于限定值，即認為當前迭代輪次收斂步數(shù)為i。該指標能夠直接體現(xiàn)當前迭代輪次的迭代收斂積分步數(shù)，能直觀反應收斂速度。其中收斂步數(shù)限定位移s根據(jù)實際情況定義，通常認為當該值小于參考解位移幅值的2%，即為合理取值范圍。

(3)

式中：ε——收斂步數(shù)；

d0——參考解位移, m；

s——收斂步數(shù)限定位移, m。

為量化迭代過程中的收斂精度，定義絕對誤差如式(4)所示，即當前迭代輪次內每一積分步與參考解差值的最大值，該指標能夠反映當前迭代輪次內計算的位移時程與參考時程局部誤差大小，以體現(xiàn)迭代收斂精度。

(4)

式中,σ1——絕對誤差, m。

2.3 實驗結果分析

不同阻尼比下迭代收斂位移時程響應如圖4所示?？梢婋S著阻尼比的增大，位移響應的幅值逐漸降低，這表明阻尼比越大，結構消能減震的能力越強，位移響應越小。不同阻尼比時迭代收斂速度如圖5所示。

圖4 不同阻尼比下阻尼器的位移響應 Fig. 4 Damper displacement response of different damping ratio

圖5 不同阻尼比迭代收斂速度 Fig. 5 Iterative convergence rate of different damping ratio

由圖5可知，結構阻尼比越小，相同迭代輪次下的收斂步數(shù)就越大。當阻尼比分別為0.5%、1.0%、1.5%、2.0%、2.5%時，完全收斂分別需要迭代7輪、21輪、42輪、65輪、96輪。通常開展迭代混合實驗不超過20輪，由此可以認為，對于本次模擬選用的結構質量、剛度下，結構阻尼比ζ≤1.0%才能較好地利用迭代混合實驗進行抗震分析。通常大型復雜結構的阻尼比往往較小，這將為開展迭代混合實驗的收斂性提供保證，可見迭代混合實驗對大型復雜結構較為適用。不同阻尼比的迭代誤差如圖6所示，當結構阻尼比為0.5%時，迭代100輪的絕對誤差最大值為1.37 mm；當結構阻尼比為1.0%時，絕對誤差最大值為51.22 mm；當結構阻尼比為1.5%時，絕對誤差最大值為145.44 mm；當結構阻尼比為2.0%時，絕對誤差最大值為267.62 mm；當結構阻尼比為2.5%時，最大絕對誤差為397.78 mm，可見隨著結構阻尼比的增加，物理子結構位移響應的絕對誤差不斷增加，迭代收斂精度下降。

圖6 不同阻尼比迭代誤差Fig. 6 Iterative error of different damping ratio

不同黏滯阻尼器初始模型精度下迭代收斂速度如圖7所示。由圖7可知，物理子結構數(shù)值模型精度分別為0、20%、40%、60%、80%時，完全收斂分別需要迭代24輪、23輪、23輪、22輪、22輪，可見隨著物理子結構數(shù)值模型精度的提高，迭代收斂速度無明顯變化，模型精度從0提到至80%，完全收斂的輪次減少兩輪。由此可以認為，物理子結構初始數(shù)值模型精度對迭代收斂速度影響不明顯，即迭代混合實驗對物理子結構數(shù)值模型精度魯棒性較強。

不同阻尼器模型精度的迭代誤差如圖8所示。

圖7 不同阻尼器模型精度迭代收斂速度Fig. 7 Iterative convergence rate of different damper models accuracy

圖8 不同阻尼器模型精度迭代誤差Fig. 8 Iterative error of different damper models accuracy

由圖8可知，當模型精度分別為0、20%、40%、60%、80%時，絕對誤差最大值分別為127.94、102.98、92.75、76.45、51.22 mm，表明隨著模型精度的提高，迭代誤差降低，迭代收斂精度提高。

3 結 論

(1)結構阻尼比越小，迭代收斂速度與收斂精度越高。針對本文模擬對象，當阻尼比分別為0.5%、1.0%、1.5%、2.0%、2.5%時，完全收斂分別需要迭代7輪、21輪、42輪、65輪、96輪，可見當阻尼比小于等于1.0%時，迭代混合實驗收斂速度較快，滿足迭代混合實驗收斂速度要求。

(2)物理子結構數(shù)值模型精度越高，迭代收斂精度越高，迭代收斂速度無明顯變化。當模型精度分別為0、20%、40%、60%、80%時，完全收斂分別需要迭代24輪、23輪、23輪、22輪、22輪，可見迭代混合實驗對物理子結構數(shù)值模型精度魯棒性較強。