一類具ψ-Caputo導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分方程 邊值問(wèn)題解的存在性*

董偉萍， 周宗福

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微積分的概念我們并不陌生，它是整數(shù)階到任意階的推廣。隨著自然科學(xué)的發(fā)展，復(fù)雜的工程被大量需求，分?jǐn)?shù)階微積分理論和它的應(yīng)用受到極大的關(guān)注[1-6]。

近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微分方程在很多科學(xué)領(lǐng)域里面都體現(xiàn)得很重要，關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題也獲得了很好的研究前景。至今，涉及分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的唯一性以及多個(gè)解存在的情況已經(jīng)取得了豐富的成果[7-9]。

在文獻(xiàn)[10]的啟發(fā)下，本篇文章研究了下面分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問(wèn)題：

(1)

本文在文獻(xiàn)[10]的前提下，考慮了高階的Caputo導(dǎo)數(shù)，并且在積分和多點(diǎn)混合邊值條件下研究了解的存在性和唯一性，對(duì)文獻(xiàn)[10]進(jìn)行了推廣。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

在本節(jié)中，將介紹貫穿全文的定義、定理和引理。設(shè)α>0，I=[a，b]是有限或無(wú)限區(qū)間，x：[a，b]→R是一個(gè)可積函數(shù)，ψ：[a，b]→R是一個(gè)單調(diào)遞增的可微函數(shù)，并且滿足對(duì)于任意的t∈[a，b]，有ψ′(t)≠0。

定義1[2]ψ-Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義如下：

定義2[2]ψ-Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下：

其中：

引理1[13]若x∈Cn[a，b]，則

其中：n=[α]+1。

引理2[13]如果β∈R，且β>n，則有

其中：n=[α]+1。

引理3[13]如果α，β>0，則有

引理4[13]設(shè)x：[a，b]→R是一個(gè)函數(shù)。

(i) 若x是連續(xù)的，則

(ii) 若x∈Cn-1[a，b]，則

引理5 分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題式(1)的解等價(jià)于下面積分方程：

其中：

證明由引理4知

c1(ψ(t)-ψ(0))+…+cn-1(ψ(t)-ψ(0))n-1

根據(jù)x(0)=x′(0)=…=x(n-2)(0)=0，有

c0=c1=…=cn-2=0

則有

(2)

再根據(jù)引理2和引理3知

接著由邊值條件：

可知

即有

因此，由式(2)知

證畢。

為了方便計(jì)算，定義如下式(3)：

(3)

2 主要結(jié)論

則可以看出算子T的不動(dòng)點(diǎn)等價(jià)問(wèn)題式(1)有解。

定理1 如果存在常數(shù)L1>0，使得

|f(t，x1)-f(t，x2)|≤L1|x1-x2|

?t∈[0，1]，?x1，x2∈R

且L1B<1，其中B由式(3)給出，則式(1)存在唯一解。

設(shè)?x1，x2∈K，則

由于0≤L1B<1，故算子T是壓縮算子。由Banach壓縮映像原理知算子T存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，即邊值問(wèn)題式(1)存在唯一解。

定理2 如果

(ⅰ) 存在常數(shù)L2>0，使得|f(t，x)|≤L2，?t∈[0，1]，?x∈R。

(ⅱ) 存在實(shí)數(shù)r>0，使得

則式(1)至少存在一個(gè)解。

證明(ⅰ) 令Br：={x∈E：‖x‖≤r}，則Br為E中的一個(gè)有界凸閉集，由f連續(xù)易知T在Br上連續(xù)。下面證明T(Br)?Br：?x∈Br，有

故T(Br)?Br。

(ⅱ) 下面證明T(Br)是等度連續(xù)的。對(duì)于?x∈Br，?t1，t2∈[0，1]且t1

3 實(shí)例分析與應(yīng)用

在本節(jié)中，通過(guò)具體例子來(lái)說(shuō)明主要結(jié)果。

例1 考慮如下分?jǐn)?shù)階微分方程：

(4)

其中：

并且取

通過(guò)計(jì)算可知

令L1=0.1，則?t∈[0，1]，?x1，x2∈R，有

且L1B=0.916<1，因此定理1的條件滿足。所以由定理1知，邊值問(wèn)題式(4)存在唯一解。

4 結(jié)束語(yǔ)

分?jǐn)?shù)階微分方程作為經(jīng)典微積分方程的延拓，它的理論分析和數(shù)值計(jì)算有著很強(qiáng)的實(shí)踐性，進(jìn)而衍生出來(lái)的解決分?jǐn)?shù)階微分方程解的方法也變得各式各樣。本篇文章中，研究的一類ψ-Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)選取好特殊的函數(shù)ψ和對(duì)應(yīng)的微分算子，就可以得到Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、Hadamard分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)等比較常見(jiàn)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。和以前的結(jié)果相比較，本文建立的具ψ-Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的微分方程的邊值條件更為復(fù)雜，并且得到的相應(yīng)問(wèn)題解的唯一性與存在性充分性條件很合理，通過(guò)最后實(shí)例也可看出此條件容易滿足，具有一定的適用性。