連續(xù)比例邏輯斯蒂回歸模型在半?yún)?shù)ROC 曲面估計上的應(yīng)用*

楊 朝 偉

(南京財經(jīng)大學 應(yīng)用數(shù)學學院，南京 210023)

0 引 言

診斷試驗在醫(yī)療保健中起著非常重要的作用。它可以通過對患者的癥狀、體征以及各種檢查結(jié)果來判斷患者得了哪些疾病，同時也能判斷患者未患哪些疾病，而在診斷試驗中很重要的一環(huán)就是診斷試驗準確度的研究。診斷試驗準確度簡單地說就是在診斷試驗中區(qū)分不同疾病狀態(tài)的能力，評價診斷試驗準確度有很多指標，比如優(yōu)勢比和Youden指數(shù)等。

1971年，Lusted[1]提出了一種新的評價方法即ROC曲線，這是一種用來評價有兩類診斷結(jié)果(陽性、陰性)的診斷試驗準確度的方法，它有很多的優(yōu)點：首先，ROC曲線呈現(xiàn)了可視化的診斷準確度；其次ROC曲線也不需要選擇一個特殊的決策閾值，同時也不受患病率的影響。此外，根據(jù)Campbell[2]的研究，它也不受試驗結(jié)果量綱的影響，也就是說對試驗結(jié)果作單調(diào)變換，如線性、對數(shù)變換，ROC曲線不發(fā)生變化。因此在提出之后，ROC曲線就成為評價兩類診斷結(jié)果準確性最常用的方法。

但是在實際中，經(jīng)常會碰到有3種或3種以上診斷結(jié)果的情形，這使得傳統(tǒng)的ROC曲線評價方法不再適用。因此，近年來，學者們開始將研究重心從ROC曲線轉(zhuǎn)移到ROC曲面上來，以應(yīng)對有3種或3種以上診斷結(jié)果的情形，相關(guān)的研究也已有大量成果出現(xiàn)[3-8]。當診斷結(jié)果有3類時，可以將被測對象分為3類，記測量數(shù)據(jù)為X，任意給定兩個臨界值α1，α2且α1≤α2，將滿足X≤α1的對象判定為第一類，將滿足α1≤X≤α2的對象判定為第二類，剩余的判斷為第三類。Nakas，Yiannoutsos[3]基于ROC曲線的定義提出以Tα2對Tα1和Tα3作圖得到的曲面為ROC曲面的定義，這里的Tαi為將第i類的對象正確判別為第i類的概率，i=1，2，3；同時還提出了以ROC曲面下的體積作為診斷試驗準確度的評價指標，體積越大，診斷測試方法就越準確。

本文將提出一種半?yún)?shù)方法用來對一個有3類結(jié)果的連續(xù)型診斷測試進行ROC曲面分析，這也是Nakas，Yiannou-Tsos[3]和Xiong[4]研究的情形，不過他們使用的是參數(shù)方法和非參數(shù)方法，本文研究的是半?yún)?shù)方法。該方法的核心思想是在一個半?yún)?shù)密度函數(shù)比模型下進行ROC曲面的構(gòu)建，在一些文獻中，半?yún)?shù)密度函數(shù)比模型已經(jīng)成功運用到了ROC曲面的分析研究中，如參考文獻[9]，文中所使用的模型是比例優(yōu)勢模型，而本文使用的模型是連續(xù)比例邏輯斯蒂回歸模型，并且使用連續(xù)比例邏輯斯蒂回歸模型得到的結(jié)果十分優(yōu)良，計算也很簡便，運用一些邏輯斯蒂軟件即可得到結(jié)果。

1 主要方法

令D=k表示第k類，k=1，2，3，對一個給定的測試結(jié)果X=x，連續(xù)比例邏輯斯蒂回歸模型有如下形式：

其中:m=1，2，α1和α2是尺度參數(shù)，β1和β2是pxl的向量參數(shù)，r(x)是一個關(guān)于x的pxl光滑方程，在大部分應(yīng)用中r(x)=x或者r(x)=(x，x2)T，在連續(xù)比例邏輯斯蒂回歸模型中：

因為

P(D=1|X=x)+P(D=2|X=x)+P(D=3|X=x)=1

可得

從而

這里的i=1，2，3。

由貝葉斯公式可得

因此

令Fk(x)=P(X≤x|D=k)，k=1，2，3，fk(x)是Fk(x)的密度函數(shù)，k=1，2，3，有

exp(θk+gk(x；η))

其中

為了保證模型可辨識，將α1和θ1合并，容易得到如下的三樣本半?yún)?shù)密度比模型：

X31，…，X3n3～f3(x)

Xk1，…，Xknk～fk(x)=exp(θk+sk(x；η))f3(x)，k=1，2

sk(x；η)=

以{T1，…，Tn}表示合并的樣本：

{X11，…，X1n1；X21，…，X2n2；X31，…，X3n3}

這里的Pi=dF3(Ti)，i=1，…，n是概率的躍遷且總和為1，與Qin，Zhang(1997)[9]類似，L在受到如下的約束條件的情況下：

這里k=1，2。

L的最大值可以通過拉格朗日乘數(shù)法在

l(θ，η)是剖面對數(shù)似然函數(shù)，且

注意到，約束條件：

等價于

這說明exp{θk+sk(Ti；η)}dF3(t)是一個分布函數(shù)。

因此F3(t)的半?yún)?shù)最大似然估計是

類似地，F(xiàn)j(t)，j=1，2的半?yún)?shù)最大似然估計是

這里的s1，s2∈[0，1]。用

j=1，2

從而得到ROC曲面估計值為

2 實例分析

實例的數(shù)據(jù)來源于Reaven，Miller[11]進行的一項糖尿病研究。在該數(shù)據(jù)中，145名非肥胖成年人被分為3個人群，其中76人正常，36人為糖尿病前期，33人為顯性糖尿病。以空腹血糖(PLG)為例進行ROC曲面分析。由于原始數(shù)據(jù)在量級上變化很大，因此對數(shù)據(jù)進行對數(shù)變換。此外根據(jù)Qin，Zhang[10]的相關(guān)研究，發(fā)現(xiàn)模型在r(x)=x時擬合得比較好，代入后擬合的結(jié)果為α2=43.393 0，β1=-3.350 4，β2=-4.825 1，θ1=0.020 7，θ2=-16.688 2。對ROC曲面進行估計時，以R(0.2，0.4)為例，得到的估計值為0.939 8，相應(yīng)的95%置信區(qū)間為(0.878， 0.984)。對于VUS的分析，其估計值為0.686 6，置信區(qū)間為(0.587，0.789)。此外也得到了使用非參數(shù)方法構(gòu)建的ROC曲面和使用半?yún)?shù)方法構(gòu)建的ROC曲面。如圖1，圖2所示：

圖1 基于實例的非參數(shù)ROC曲面估計值Fig. 1 Non-parametric ROC surface estimators based on the real example

圖2 基于實例的半?yún)?shù)ROC曲面估計值Fig. 2 Semi-parametric ROC surface estimators based on the real example

從圖1和圖2可以看出，圖2中的半?yún)?shù)ROC曲面要比圖1中的非參數(shù)ROC曲面更加光滑，這說明了半?yún)?shù)方法要比非參數(shù)方法更優(yōu)越。此外，若用非參數(shù)方法對有序數(shù)據(jù)進行ROC曲面分析，雖然不需要進行任何的分布假設(shè)，但是估計非常粗糙，當數(shù)據(jù)分布不佳時，體積的估計值將嚴重低于實際ROC曲面下的體積，因此在估計ROC曲面時，更適宜用半?yún)?shù)方法。

3 結(jié) 論

將連續(xù)比例邏輯斯蒂回歸模型與半?yún)?shù)方法相結(jié)合，提出了一種bootstrap方法來構(gòu)造ROC曲面的置信區(qū)間，并得到了ROC曲面估計量的表達式。相比于非參數(shù)方法，用半?yún)?shù)方法得到的ROC曲面更平滑，得到的結(jié)果也更精確。此外在計算半?yún)?shù)最大似然估計時，傳統(tǒng)的方法是利用牛頓迭代法之類的數(shù)值計算方法，而這里是用一些邏輯斯蒂回歸程序，這樣可以很快速地得到結(jié)果，因此方法也更容易實現(xiàn)。但在實際應(yīng)用中還存在著一些不足，這是因為由于缺少相應(yīng)的軟件，半?yún)?shù)方法相比于參數(shù)或非參數(shù)方法對于部分曲面下體積估計的有效性和穩(wěn)健性還沒有學者進行評價。