不同基函數(shù)對LSM美式期權(quán)定價的影響

于 拓, 唐亞勇

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 成都 610064)

1 引 言

不同于歐式期權(quán)，美式期權(quán)的期權(quán)持有人可以在期權(quán)到期日之前的任何時刻執(zhí)行該期權(quán).因此，我們無法用經(jīng)典的B-S公式為美式期權(quán)定價.當(dāng)前，對于美式期權(quán)的定價主要采用數(shù)值分析的方法.

對美式期權(quán)進(jìn)行定價的常用數(shù)值方法有三類，其中的二項式方法和有限差分方法均采用逆向求解的方法.雖然它們可以用于美式期權(quán)定價，但是在處理具有多個標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價問題時這兩種方法均表現(xiàn)不好.蒙特卡洛模擬方法雖然在處理多個標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價問題以及有關(guān)路徑依賴的期權(quán)定價問題上具有明顯的優(yōu)勢，但由于該方法采用正向求解方法，因而無法將某一時刻立即執(zhí)行該美式期權(quán)的收益與繼續(xù)持有該美式期權(quán)的期望收益相比較，從而導(dǎo)致在計算過程中無法確定是立即執(zhí)行期權(quán)還是繼續(xù)持有期權(quán).2001年，Longstaff和Schwartz[1]提出了最小二乘蒙特卡洛法，解決了這一問題，進(jìn)而該方法成為美式期權(quán)定價中最常用的一種方法.此后，許多學(xué)者對該方法進(jìn)行了研究，如Guo和Loeper[2]討論了應(yīng)用多個多項式基的最小二乘蒙特卡羅模擬法；Joshi和Kwon[3]對具有小偏差和單向偏差的最小二乘蒙特卡羅的信用值進(jìn)行討論和調(diào)整；孫延維和雷建軍[4]利用圖形處理器優(yōu)化實現(xiàn)了最小二乘蒙特卡洛模擬法的美式期權(quán)模擬定價系統(tǒng)；Mostovyi[5]分析了算法在行權(quán)日數(shù)增加時的穩(wěn)定性，證明了如果股票價格的基本過程是連續(xù)的，等.

基于LSM算法，需要對當(dāng)前標(biāo)的資產(chǎn)價格S進(jìn)行最小二乘回歸.選擇不同的基函數(shù)(通常是正交函數(shù))將導(dǎo)致最終美式期權(quán)定價得到不同的結(jié)果[6-16].本文中我們將對不同的基函數(shù)對最小二乘蒙特卡洛法的影響進(jìn)行討論.

2 美式期權(quán)

與歐式期權(quán)不同，美式期權(quán)在合約到期前的任何時刻都可以執(zhí)行.由此直觀來看，美式期權(quán)持有者可以在期權(quán)到期之前的任意一天行權(quán)也就表示著美式期權(quán)持有者比歐式期權(quán)持有者享有更多權(quán)利，因而一般來說歐式期權(quán)的價格要小于美式期權(quán)的價格.其能否提前執(zhí)行的標(biāo)準(zhǔn)是在某一時刻執(zhí)行所獲得的價值是否大于不提前執(zhí)行所獲得的價值，后者是后續(xù)存續(xù)期內(nèi)期權(quán)的價值.值得注意的是，在期權(quán)的存續(xù)期內(nèi)可能有多次提前執(zhí)行的機會，而只有一次是最優(yōu)的——只有一次可以使得期權(quán)的價值最大，此時的價值才是期權(quán)真正的價值.

由于美式期權(quán)的連續(xù)性，在討論美式期權(quán)時我們往往討論另一種期權(quán)——百慕大期權(quán)，它可以在到期日前的某一固定時間點行權(quán)，也就是說在某一系列的離散時間中百慕大期權(quán)的價值可以由最優(yōu)截止問題給出.對于某一有限時間點集合0

當(dāng)t=tn時，即在最后行權(quán)時，百慕大期權(quán)的價格應(yīng)該等同于和其有著一樣標(biāo)的歐式期權(quán)的價格，此時的歐式期權(quán)的價格可以由B-S方程給出，即Un=En=(K-Sn)+.由于百慕大期權(quán)可以在到期日前的某一固定時間點行權(quán)，所以我們需要找到一個使得執(zhí)行美式期權(quán)以后可以獲得最大利潤的時停(最優(yōu)時停).那么，在某一時刻tn，期權(quán)的持有者有著兩個選擇：

(i) 執(zhí)行期權(quán)的收益En-1；

(ii) 保留期權(quán)的收益EQ[Un|Ftn-1]，

其中EQ為風(fēng)險中性測度下的期望值(在風(fēng)險中性概率測度下，任何期權(quán)的當(dāng)前價值等于其未來支付期望值的折現(xiàn))，F(xiàn)為一個σ-域.此時，某個百慕大期權(quán)在tn-1時刻的價值為

Un-1=max(En-1,EQ[Un|Ftn-1]).

問題的關(guān)鍵就變?yōu)榍蠼釫Q[Un|Ftn-1]的值，此時便可以用最小二乘法去近似求解.

3 正交多項式和LSM

運用最小二乘蒙特卡洛法(LSM)去近似求解美式期權(quán)最早由Longstaff和Schwarts于2001年給出.方法的核心就是經(jīng)過引入最小二乘法來估計繼續(xù)持有某一期權(quán)的價值的條件期望，再通過比較在某一時刻立即執(zhí)行該美式期權(quán)所獲得的收益與在該時刻所求得的繼續(xù)持有期權(quán)的價值的條件期望的大小，從而得出對于該路徑的美式期權(quán)的最優(yōu)行權(quán)時刻.對于百慕大期權(quán)這種能夠在離散時間點行權(quán)的情形，需要求解的問題則變?yōu)樵谖磥砟骋粋€固定的時間點繼續(xù)持有期權(quán)的價值的條件期望，這同樣也可以用LSM法進(jìn)行求解.于是，對于tn-1,tn-2,…t1中的某一時刻tm-1，EQ[Um|Ftm-1]可以表示為可列個Ftm-1可測函數(shù)的線性組合.不妨假設(shè)該條件期望屬于Hilbert空間L2.則由最小二乘法有

EQ[Um|Ftm-1]=∑αjPj(X)，

其中X是一個馬爾科夫過程，αj是一組常數(shù)，Pj是一組基函數(shù).于是可以得到如下算法：

Step 1輸入S0、K、T、σ、r、m、n,其中m為樣本路徑數(shù)，n為每年期 權(quán)可執(zhí)行數(shù);

Step 2生成一列服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的m維向量A(生成m條樣本路徑 數(shù));

Step 3計算末尾的期權(quán)價格

及每個時期行權(quán)的收益(EV)

EVn=max(K-Sn,0);

Step 4從時間末尾開始逆向比較某一時期繼續(xù)持有期權(quán)和行使期權(quán)的收益;

Step 4.1令i=n-1,計算Si與EVi，

其中

Δt=T/n,

EVi=max(K-Si,0);

Step 4.2計算此時繼續(xù)持有期權(quán)的條件期望值(使用LSM法)

Step 4.2.1選擇所有j使得EVi(j)>0,計算回歸時所需的繼續(xù)持有期權(quán)時的價值(HV)

HVi(j)=EVi+1(j)e-rT;

Step 4.2.2選取某一組正交多項式Lk關(guān)于HVi做最小二乘回歸得到常系數(shù)a與回歸系數(shù)ak;

Step 4.2.3計算此時繼續(xù)持有期權(quán)的條件期望值E(HVi(j)),

E(HVi(j))=a+ak·Lk;

Step 4.3比較EVi(j)與E(HVi(j)),當(dāng)EVi(j)

EVi(j)=EVi+1(j)e-rT;

Step 4.4i=i-1，i=0時停止;

Step 5計算期權(quán)價格

誤差

該算法可以選取一系列不同的正交多項式作為該最小二乘回歸的基函數(shù)，從而獲取一系列不同的獨立算法，進(jìn)而比較不同的正交多項式對最終結(jié)果的影響.下面我們給出一些正交多項式并討論其對LSM算法結(jié)果的影響.

拉蓋爾多項式(Laguerre polynomials) 權(quán)函數(shù)

勒讓德多項式(Legendre Polynomials) 權(quán)函數(shù)

w(x)=1,

P0(x)=1,

P1(x)=x,

埃爾米特多項式(Hermite polynomials) 權(quán)函數(shù)

w(x)=e-x2,

H0(x)=e-x2,

H1(x)=e-x2·x,

H2(x)=e-x2(x2-1),

第一類切比雪夫多項式(Chebyshev polynomials of the first class) 權(quán)函數(shù)

Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)；

第二類切比雪夫多項式(Chebyshev polynomials of the second class) 權(quán)函數(shù)

Un+1(x)=2xUn(x)-Un-1(x);

廣義拉蓋爾多項式(generalized Laguerrepolynomials) 權(quán)函數(shù)

w(x)=xαe-x,

分別用這些正交多項式作為最小二乘回歸的基函數(shù)做LSM算法，并得出結(jié)果.

4 數(shù)值計算

取現(xiàn)價S0=36，期權(quán)協(xié)議價K=40，期權(quán)年限T=1，波動率σ=0.2，無風(fēng)險利率r=0.06，樣本路徑數(shù)m=1 000，每年期權(quán)可執(zhí)行數(shù)n=50T.使用R語言進(jìn)行編程設(shè)計，計算結(jié)果如表1所示.

表1 第一個算例的計算結(jié)果

當(dāng)我們改變參數(shù)而得到多組數(shù)據(jù)時，取S0=38,K=40,T=1,σ=0.2,r=0.06,m=1 000,n=50T，計算結(jié)果如表2所示.

表2 第二個算例的計算結(jié)果

再取S0=40,K=40,T=1,σ=0.4,r=0.06,m=1 000,n=50T，計算結(jié)果如表3所示.

表3 第三個算例的計算結(jié)果

最后，我們?nèi)0=42，K=40，T=2，σ=0.4，r=0.06，m=1 000，n=50T，計算結(jié)果如表4所示.

表4 第四個算例計算結(jié)果

通過對參數(shù)進(jìn)行不同選取，我們可以看出，選取不同的正交多項式作為基函數(shù)時其對得出的最終定價p和誤差e略有差異.綜合來看，勒讓德多項式(Legendre Polynomials)表現(xiàn)最好，第一類切比雪夫多項式(Chebyshev polynomials)表現(xiàn)較差.

本文主要討論使用最小二乘蒙特卡洛法(LSM)為美式期權(quán)定價時選取不同正交多項式作為基函數(shù)對最終結(jié)果的影響.首先，我們簡單介紹了美式期權(quán)(為了簡化模型而選用百慕大期權(quán)近似美式期權(quán))及最小二乘蒙特卡洛法(LSM).在給出算法后，我們計算不同正交多項式作為基函數(shù)下使用最小二乘蒙特卡洛法對美式期權(quán)定價的結(jié)果.值得注意的是本文所使用的B-S模型過于理想化，并不符合實際應(yīng)用計算.此外對于最小二乘法的改進(jìn)形式如偏最小二乘法、加權(quán)最小二乘法也可以作進(jìn)一步討論.