理解：從工具性走向關(guān)系性
——由一道命題引發(fā)的思考

□ 董從發(fā)

在一次學(xué)校自己組織的測評中有一道題引發(fā)了教師們的討論熱情：批卷老師探討如何評判學(xué)生的對錯，任課老師探討評價的意圖與導(dǎo)向，教學(xué)中心則思考如何改進(jìn)評價的形式與質(zhì)量。此題之所以引起大家的討論，是因為形形色色的答案彰顯出學(xué)生的不同理解，而教師對不同答案的解讀，折射出的是各自不同的教學(xué)觀。這道試題的呈現(xiàn)，引起了教師對考什么、怎么考的思辨。

一、案例介紹

試題內(nèi)容如下：聰聰在學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)乘法和倒數(shù)”后，對“分?jǐn)?shù)除法怎樣計算”感到很好奇，于是他翻閱了數(shù)學(xué)書，發(fā)現(xiàn)書上是這樣說的：“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。例如”聰聰雖然看懂了計算方法，但他在思考：“為什么除以一個不等于0 的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)呢？”請用你喜歡的方法說明的道理。

從測試中可以發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生不知道該如何闡述算理，“說明道理”僅停留在“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”的算法上，或者“被逼著”用以往的“平均分”知識來解釋（如圖1）。

圖1

這是兩種比較典型但還不是最低水平的回答，測試中還有近10%的學(xué)生就是把算式抄一遍或干脆空著。

當(dāng)然，也有學(xué)生能夠從本質(zhì)上理解分?jǐn)?shù)除法的道理，并將自己的解題過程用“線段圖+推理描述”的形式展現(xiàn)出來，其思維過程清晰可見（如圖2）。

圖2

二、命題解讀

分?jǐn)?shù)除法建立在分?jǐn)?shù)乘法的基礎(chǔ)上，是分?jǐn)?shù)四則運算中的最后一項內(nèi)容。這一內(nèi)容與很多知識有直接的聯(lián)系，如分?jǐn)?shù)乘法的意義、算法及其應(yīng)用，倒數(shù)、整數(shù)除法的意義、解方程等等。學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法，一方面會加深學(xué)生對乘除法關(guān)系的理解，體會數(shù)學(xué)知識方法的內(nèi)在聯(lián)系，另一方面也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)比和比例、百分?jǐn)?shù)打下基礎(chǔ)。該題的考查點在于：學(xué)生對分?jǐn)?shù)相關(guān)知識內(nèi)在的聯(lián)系是否打通，對算理是否真正理解，能否用所學(xué)知識來解決問題這三個方面。

分?jǐn)?shù)除法的計算方法并不難，大多數(shù)學(xué)生在教師未教學(xué)前就已經(jīng)可以計算，所以很多教師在教學(xué)這一內(nèi)容時往往一帶而過，沒有深入地引導(dǎo)學(xué)生思考討論“為什么這樣做”。這種粗放型的教學(xué)方式，表面上“贏得了”時間，讓學(xué)生有充裕的時間鞏固練習(xí)，但這種教學(xué)會造成學(xué)生對這一知識點的認(rèn)識停留在“工具性”理解上，無法達(dá)到“關(guān)系性”理解的水平。本命題的落腳點就是考查學(xué)生對分?jǐn)?shù)除法的理解，是記住其“形”，還是理解其“理”，學(xué)生的思維究竟達(dá)到了什么程度。

三、命題導(dǎo)向

一線教師常常有一種“你怎么考，我怎么教”的心理，所以要從源頭上改進(jìn)教師的教學(xué)，需要以命題評價為導(dǎo)向，引領(lǐng)課堂教學(xué)。本測試內(nèi)容開放，答題的方式多元，可以見證學(xué)生對題目的多維理解。這與以往追求結(jié)果的命題方式不同，這樣的命題關(guān)注的是知識形成的過程，展現(xiàn)的是學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。命題者希望通過這道題目的測試提醒教師，命題檢測的核心意義在于透過學(xué)生的解題過程，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題策略、思考方式和思維品質(zhì)，從而促進(jìn)教師更好地反思教學(xué)、推動教學(xué)。

四、教學(xué)思考

透過評價再重新審視“分?jǐn)?shù)除法”這一內(nèi)容的教學(xué)，如何引導(dǎo)學(xué)生從“工具性理解”走向“關(guān)系性理解”？是否可以從對這節(jié)課教學(xué)的反思延伸開去，思考一類課的教學(xué)？圍繞這些問題，呈現(xiàn)以下思考。

（一）反思交流，重構(gòu)教學(xué)過程

測試后，通過反思測試中出現(xiàn)的問題，結(jié)合與同伴交流的結(jié)果，重新設(shè)計了“分?jǐn)?shù)除法”這節(jié)課的教學(xué)過程。

1.問題引入，獨立解決

2.交流反饋，建立連接

在反饋中，引導(dǎo)學(xué)生觀察：你能看懂這兩位同學(xué)的方法（如圖3、圖4）嗎？

圖3

圖4

3.溝通方法，拓展研究

師：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)可以轉(zhuǎn)化成乘這個數(shù)的倒數(shù)來算，那如果除數(shù)不是整數(shù)，該怎樣算呢？

生：也可以算走1 千米需要多少時間，時間少的快。

師：這樣的算式你會算嗎？這樣算的道理是什么？我們先來研究（師展示學(xué)生作品，如圖5）

圖5

師：你看懂了上面的哪些方法？

生：第①幅圖中的方法是對的，但是為什么這樣算沒有說明白。

……

以上教學(xué)過程，學(xué)生不再僅僅把“除以一個分?jǐn)?shù)等于乘以它的倒數(shù)”作為解決這類問題的工具使用，而是充分經(jīng)歷了知識的形成過程，深入地理解了除以一個分?jǐn)?shù)與乘以它的倒數(shù)之間的關(guān)系。

事實證明，學(xué)生有分?jǐn)?shù)乘法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，有分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系等知識經(jīng)驗，教師只要大膽放手，舍得花時間，就能讓學(xué)生的理解從“工具性”走向“關(guān)系性”。

（二）以點帶面，思考同類教學(xué)

1.關(guān)注知識本源，厘清知識脈絡(luò)

教學(xué)不能停留在知識的抽象層面，而要關(guān)注它的來龍去脈，從知識本源出發(fā)正確解讀教材，向數(shù)學(xué)本質(zhì)邁進(jìn)。人教版六年級上冊“分?jǐn)?shù)除法”單元里安排了三個例題：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，一個數(shù)（整數(shù)、分?jǐn)?shù)）除以分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)除法解決問題。這是一個由易到難、循序漸進(jìn)的過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生理解除法是乘法的逆運算，分?jǐn)?shù)除法本質(zhì)上就是分?jǐn)?shù)乘法。教學(xué)時可以從等式的意義、直觀圖、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系等學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，再逐步溝通理解，引導(dǎo)學(xué)生建立模型。

在這一系列內(nèi)容中，分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理，學(xué)生相對比較容易理解。他們可以通過直觀操作，用折紙和畫圖數(shù)形結(jié)合的方法，分析、計算得出結(jié)果。而一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理就比較難理解，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫線段圖，將新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，在數(shù)形結(jié)合中理解算理、發(fā)現(xiàn)算法。同時，“除以整數(shù)”和“除以分?jǐn)?shù)”這兩類題都可以放入“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)”的關(guān)系中進(jìn)行理解，前者是已知幾份求每份數(shù)，后者是已知1份數(shù)的幾分之幾求每份數(shù)。在教學(xué)中，教師要關(guān)注知識的本源，引導(dǎo)學(xué)生厘清知識脈絡(luò)，使學(xué)生深入理解所學(xué)知識，逐步建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.關(guān)注能力發(fā)展，提升思維品質(zhì)

學(xué)生解決一個問題，運用到的數(shù)學(xué)能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止一種，學(xué)生需要經(jīng)歷讀取分析、推理認(rèn)證、抽象概括等過程，檢驗的是綜合應(yīng)用各種能力的結(jié)果，如動手操作能力、問題解決能力、思維拓展能力等。如下面這個教學(xué)過程。

生：我覺得這里（如圖6）應(yīng)該填個小括號，這樣看起來就明白除法變成分?jǐn)?shù)了。

生：除號相當(dāng)于分?jǐn)?shù)線！

師：把你的想法寫給大家看看?。ㄈ鐖D7）

圖6

圖7

學(xué)生在完成個性化的算法建構(gòu)后，通過生生間的相互啟發(fā)、點撥、激勵，不斷修正，產(chǎn)生共鳴，達(dá)到對知識的深層理解。

綜上所述，命題評價可以有效引導(dǎo)教師優(yōu)化課堂教學(xué)。通過對評價內(nèi)容、評價結(jié)果的反思，可以有效地促進(jìn)教師教學(xué)方式的改變。如本次測試，通過對一道題目的深入分析，促進(jìn)了教師的教學(xué)從重知識向重過程、由重“教”向重“學(xué)”的轉(zhuǎn)變，讓教師們更深入地體會到要在展現(xiàn)學(xué)生思維的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升思維品質(zhì)。讓學(xué)生從“工具性理解”走向“關(guān)系性理解”，這或許應(yīng)該是小學(xué)階段教學(xué)測評最重要的價值！